基于算理算法一致性的“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元整體教學(xué)重構(gòu)

周琪 沈彩虹 周小芳

【摘?? 要】凸顯數(shù)學(xué)課程的整體性和一致性是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基本前提?，F(xiàn)行教材尚未很好地體現(xiàn)數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性。教師在原有單元教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，抓住“計數(shù)單位”這一核心要素，提煉除法的本質(zhì)就是“計數(shù)單位的細(xì)分”這一“理”，并利用乘除法關(guān)系，提煉“做除法想乘法”這一“法”，嘗試用算理統(tǒng)領(lǐng)算法，從而貫通理法，落實(shí)運(yùn)算的一致性。又根據(jù)調(diào)整后的單元教學(xué)目標(biāo)，將整個單元重構(gòu)為“口算除法”“初識算理”“鞏固算理，形成算法”“總結(jié)算法”“優(yōu)化算法”和“實(shí)現(xiàn)貫通”6個課時，打通算理和算法之間的壁壘，實(shí)現(xiàn)整數(shù)除法算理算法的一致性，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，使學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維，為整數(shù)除法的貫通和小數(shù)除法的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】整數(shù)除法；單元整體教學(xué)；算理算法的一致性

一、問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）倡導(dǎo)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合的理念［1］。以整數(shù)除法為例，現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”是小學(xué)階段整數(shù)除法最后學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在此之前，教材已系統(tǒng)地編排了與整數(shù)除法相關(guān)的大部分知識和技能，包括除法的意義、用乘法口訣求商、除法運(yùn)算（口算與筆算）、豎式的書寫格式、余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系等。在此基礎(chǔ)上編排“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，既承接了多位數(shù)乘兩位數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的除法的學(xué)習(xí)，又為后續(xù)小數(shù)除法的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。進(jìn)一步梳理、分析教材編排可以發(fā)現(xiàn)，貫通三個年級的整數(shù)除法學(xué)習(xí)存在共性：一方面，情境和意義是一致的，均為基于平均分的“計數(shù)單位”細(xì)分；另一方面，乘法與除法的關(guān)系也是一致的，即除法是乘法的逆運(yùn)算，也就是做除法想乘法。這表明整數(shù)除法在算理和算法上都具有一致性。因此，將這一階段的除法進(jìn)行整體化教學(xué)，有助于學(xué)生構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)，并幫助學(xué)生理解整數(shù)除法的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以實(shí)現(xiàn)整數(shù)除法運(yùn)算的一致性。

然而，現(xiàn)行教材在“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元教學(xué)目標(biāo)的制訂上存在以下問題：一是重法輕理，強(qiáng)調(diào)計算的方法，過于注重繁雜的技能，從而忽略了計算的“道理”；二是理不入法，缺少方法的統(tǒng)領(lǐng)，學(xué)習(xí)步子較小，用多個課時訓(xùn)練計算技巧，卻未凸顯除法運(yùn)算的一致性；三是與原有知識的關(guān)聯(lián)性不足，未能讓整數(shù)除法的算理和算法系統(tǒng)化，缺乏一致性［2］。因此，有必要重新構(gòu)建整體的知識網(wǎng)絡(luò)，突出算理，總結(jié)算法，由算理統(tǒng)領(lǐng)算法，運(yùn)用類比遷移的思想方法，突出知識和結(jié)構(gòu)上的整體性和一致性［3］。

在2022年版課標(biāo)發(fā)布但新教材尚未出版的過渡階段，教師如何準(zhǔn)確把握“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”這一單元的內(nèi)容，幫助學(xué)生理解算理、鞏固算法，實(shí)現(xiàn)理法的貫通，并感悟整數(shù)除法運(yùn)算的一致性，為后續(xù)小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，是落實(shí)2022年版課標(biāo)的課程理念的關(guān)鍵。本研究將基于“數(shù)的運(yùn)算的一致性”，嘗試對該單元的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)進(jìn)行整合與優(yōu)化。

二、重構(gòu)：單元整體教學(xué)再設(shè)計

（一）單元教學(xué)目標(biāo)重構(gòu)

在原有單元教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，抓住“計數(shù)單位”這一核心要素，提煉除法的本質(zhì)就是“計數(shù)單位的細(xì)分”這一“理”，并利用乘除法關(guān)系，提煉“做除法想乘法”這一“法”，嘗試用算理統(tǒng)領(lǐng)算法，據(jù)此對單元教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行調(diào)整，具體如表1所示。

重構(gòu)后的單元教學(xué)目標(biāo)，其主要變化體現(xiàn)在以下兩個方面：一是關(guān)于口算與筆算的算法，新目標(biāo)突出乘法口訣的作用，即統(tǒng)一了“法”；二是在理解算理、探究算法并有效關(guān)聯(lián)舊知的過程中，新目標(biāo)強(qiáng)調(diào)除法運(yùn)算是將計數(shù)單位逐步細(xì)分的過程，以此感受除法運(yùn)算的內(nèi)在一致性，即凸顯了“理”。由此，在算理算法的自主探究與溝通中，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識。可見，重構(gòu)后的單元教學(xué)目標(biāo)更加精練地強(qiáng)調(diào)了算理算法的一致性，突出了算理在教學(xué)中的重要性。

（二）單元教學(xué)課時重構(gòu)

根據(jù)調(diào)整后的單元教學(xué)目標(biāo)，將整個單元重構(gòu)為“口算除法”“初識算理”“鞏固算理，形成算法”“總結(jié)算法”“優(yōu)化算法”和“實(shí)現(xiàn)貫通”6個課時，每課時的主要內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)如圖1所示。

此單元教學(xué)課時的重構(gòu)將算理算法的一致性貫穿始終，強(qiáng)調(diào)除法的算理為“計數(shù)單位細(xì)分”，算法為“做除法想乘法”，并基于“先講算理，后識算法，理法貫通，承前啟后”的原則，開展階梯式教學(xué)，最終實(shí)現(xiàn)算理算法的一致性。

（三）各課時關(guān)鍵任務(wù)設(shè)計

本次單元教學(xué)重構(gòu)旨在幫助學(xué)生先理解除法的本質(zhì)是“計數(shù)單位細(xì)分”，再優(yōu)化除法運(yùn)算的方法，最后貫通理法，感受整數(shù)除法運(yùn)算的一致性。各課時的關(guān)鍵任務(wù)如表2所示。

從各課時的關(guān)鍵任務(wù)來看，試商等技巧并非筆算教學(xué)的重點(diǎn)，幫助學(xué)生理解試商的“道理”才是解決筆算難點(diǎn)的“通法”。因此，本次單元教學(xué)的重構(gòu)將重點(diǎn)放在理解算理上，讓學(xué)生在理解算理的同時掌握算法，從而打通算理和算法之間的壁壘，實(shí)現(xiàn)整數(shù)除法算理算法的一致性。在安排課時時，也盡可能地把時間用于教學(xué)解決一般問題的“通法”，引導(dǎo)學(xué)生理解除法的本質(zhì)，為整數(shù)除法的貫通和小數(shù)除法的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

三、效果：實(shí)現(xiàn)算理算法統(tǒng)整

實(shí)施單元教學(xué)重構(gòu)后，利用后測試卷，從算理和算法兩個方面檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況。

從后測數(shù)據(jù)可知，在僅進(jìn)行了6課時的學(xué)習(xí)，且未進(jìn)行大量練習(xí)和技巧訓(xùn)練的情況下，實(shí)驗(yàn)班與對照班在除數(shù)是兩位數(shù)的除法的算法掌握上并未出現(xiàn)顯著差異。在一些特殊的“障礙點(diǎn)”上，如商的書寫位置、筆算除法的豎式以及商中間或末尾有0的情況，也未出現(xiàn)顯著差異。然而，對于商末尾有0的除法的習(xí)題，實(shí)驗(yàn)班在尚未進(jìn)行例題講解的情況下，其正確率依然略高于對照班。這充分說明，用算理統(tǒng)領(lǐng)算法是可行的。另外，對于算法在除數(shù)是三位數(shù)的除法和小數(shù)除法上的遷移，實(shí)驗(yàn)班的表現(xiàn)也明顯優(yōu)于對照班?？梢姡憷淼睦斫鈱λ惴ㄟw移有積極的促進(jìn)作用。

通過單元教學(xué)重構(gòu)，學(xué)生不僅在算法掌握程度上有所提升，對算理的理解和運(yùn)用水平也有顯著提高。對后測數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析可知，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生對除法豎式是記錄“計數(shù)單位細(xì)分”過程的理解較為深刻。超過65%的學(xué)生能夠用橫式表示豎式中每一步計算的道理（如圖2），并能表示出每一步細(xì)分的“計數(shù)單位”。在小數(shù)除法中，約43.48%的學(xué)生能夠運(yùn)用計數(shù)單位的細(xì)分來解釋小數(shù)除法的運(yùn)算過程（如圖3）。這表明掌握除法的本質(zhì)，有助于貫通整數(shù)除法和小數(shù)除法。

綜上所述，重構(gòu)后的學(xué)習(xí)路徑在教學(xué)的過程中不斷地進(jìn)行改善和優(yōu)化，引導(dǎo)學(xué)生厘清整數(shù)除法的脈絡(luò)，形成完整的、具有邏輯性的除法知識結(jié)構(gòu)。學(xué)生通過學(xué)習(xí)，不僅理解了“計數(shù)單位細(xì)分”的含義，體會到整數(shù)除法算理的一致性，還掌握了除法運(yùn)算的方法，感受到整數(shù)除法算理算法的一致性。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

［2］鞏子坤，張希，金晶，等.程序性知識課程設(shè)計的新視角：算理貫通，算法統(tǒng)整［J］.課程·教材·教法，2021，41（6）：89-95.

［3］閆紅，張仰勇.大觀念下指向?qū)W生核心素養(yǎng)的單元整體設(shè)計：“除數(shù)是兩位數(shù)筆算除法”單元整合的思考［J］.黑龍江教育（教育與教學(xué)），2020（2）：55-57.

（浙江省杭州市富陽銀湖實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

*本文系浙江省哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃課題“基于認(rèn)知發(fā)展模型的義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升研究（編號：23NDJC265YB）”、浙江省高校重大人文社科攻關(guān)計劃項(xiàng)目“建設(shè)高質(zhì)量教育體系背景下義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升路徑研究（編號：2023GH005）”的研究成果。鞏子坤為本文的通訊作者。