關于兩族推廣的孿生對稱不等式的證明

摘 要 應用Karamata不等式、Popoviciu不等式、算術-幾何平均不等式和凸函數的性質，證明了兩族推廣的孿生對稱不等式.

關鍵詞 Karamata不等式；Popoviciu不等式；對稱不等式；凸函數；算術-幾何平均不等式

中圖分類號 O211 文獻標識碼 A

1 引 言

對稱不等式結構表現均衡，結論簡潔優美，其論證的方法也包含各種特別的技巧，彰顯了數學證明之美，對稱不等式問題的研究是一個充滿生命力的數學領域. 本文主要探討兩族對稱不等式的證明，一族具有置換對稱Sn的對稱性，另一族具有對稱性稍弱的循環對稱Cn的對稱性[1，2]. 一般來講，前類對稱不等式的證明相對比較容易，后類對稱不等式的證明則比較困難. 本文將利用凸函數的性質，建立兩類對稱不等式之間的一個大小關系，在證明了具有置換對稱的不等式后，進一步借助該大小關系便捷地證明了具有循環對稱的不等式的相關結果. 由于兩族對稱不等式形式結構上幾乎相同，只是對稱性有強弱差異，結論也一致，故稱之為孿生對稱不等式.

參與證明的主要預備知識是多元函數的凸性性質以及一些經典的不等式：算術-幾何平均不等式、Karamata不等式和Popoviciu不等式. 多元函數的凸性是高等數學中函數的一個重要性質，在不等式的證明、求級數之和等方面均具有廣泛地應用[3，4]. 文中引用的Karamata不等式是凸性函數所擁有的控制不等式，利用Karamata不等式可以便捷地求解一些對稱不等式的最值問題[5-8]. 文中引用的Popoviciu不等式也是關于凸性多元函數的不等式，該不等式揭示了凸函數在一組數據點的函數值之間的一種有趣關系. 巧用該不等式，可以很好地解決某些對稱不等式難題. 文獻[8]對兩族孿生對稱不等式在冪次參數p，q滿足p＞0，q＞0，p＋q＝1的情況下給出了較好的結果，本文將其推廣到p＞0，q＞0，p＋q＝2的情形. 文獻[8]簡單利用算術-幾何平均不等式和Karamata不等式的證明途徑已經不適合參數p＋q＝2的情況，無法證明得到結論. 幸運的是，Popoviciu不等式的使用可以克服證明的困難，巧用Popoviciu不等式，使得證明兩族推廣的對稱不等式的難度大大降低，得到了預期的結果，體現了數學證明之美.

5 結 論

本文應用經典的算術-幾何平均不等式、Karamata不等式、Popoviciu不等式和凸函數的相關性質，證明了兩族推廣的孿生對稱不等式. 巧用Popoviciu不等式可以克服利用Karamata不等式無法直接證明的障礙，降低了證明難度，證明了具有置換對稱性的推廣對稱不等式；另一方面，利用函數凸性，建立了兩族孿生對稱不等式之間的大小關系，從而進一步便捷地證明了具有循環對稱性的另一族對稱不等式，彰顯了對稱不等式的證明之美. 本文得到的兩族孿生對稱不等式成立有條件限制，要求冪次參數p滿足≤， p≥，希望后續有學者的深入研究可以將這一限制搬掉，得到一般參數0＜p＜2的相關證明.

參考文獻

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On the Proofs of Two Groups of GeneralizedTwin Symmetric Inequalities

YE Ruisong

（Department of Mathematics， Shantou University， Shantou 515063， Guangdong， China）

Abstract" Based on Karamata inequality， Popoviciu inequality， arithmetic-geometric mean inequality and the properties of convex function， two groups of generalized twin symmetric inequalities are proved.

Keywords" Karamata inequality; Popoviciu inequality; symmetric inequality; convex function; arithmetic-geometric mean inequality

收稿日期：2023 - 10 - 18

作者簡介：葉瑞松（1968—），男，博士，教授，研究方向：從事分形混沌及其應用，圖像信息安全，數學教育等研究. E-mail：rsye@stu.edu.cn

基金項目：廣東省基礎與應用基礎研究基金項目（2023A1515030199）