一類涉圓錐曲線的兩條直線交點坐標求解方法的研究

胡劍 李紅慶

【摘要】回眸2022年北京、浙江及全國甲、乙卷4套高考數學試題的壓軸題，研究者不難發現解析幾何是排在首位的，也的確壓準了中學數學教學中的軸線，并且深深地切入考生的痛點———數學運算策略、習慣與關鍵能力方法.通過縱向比較近5年高考解析幾何趨勢和橫向剖析2022年全國4套試題及北京、浙江等試題，研究者就會發現壓軸題其實都是涉圓錐曲線一條直線上點的坐標表示另一點的坐標的求解問題.順著命題發展延伸脈絡來觀察，涉圓錐曲線的兩條直線交點坐標求解問題會成為新的熱點.鑒于此，文章將就命題生成機理分析、命題生成案例舉隅、涉圓錐曲線兩條直線交點坐標運算問題進行闡析.

【關鍵詞】涉圓錐曲線；直線交點；坐標求解；關鍵能力；蝴蝶定理

引 言

通過縱向分析近5年高考解析幾何命題趨勢的走向，橫向研究2022年高考試題中解析幾何命題的共性，研究者發現2022年解析幾何命題都是一類涉圓錐曲線一條直線上點的坐標表示另一點的坐標的求解問題.順著解析幾何命題發展趨勢脈絡來觀察，涉圓錐曲線的兩條直線交點坐標求解問題會成為新的熱點，其本質是阿氏圓的相關元和蝴蝶定理的導向.

一、命題生成機理分析

這類問題是兩條直線中每條直線中的線段都只有一個端點在圓錐曲線上，命題涉及的條件與結論都可能隱含著圓錐曲線某個重要的性質，多數都涉及阿波羅尼斯（Apollonius）圓（以下簡稱阿氏圓）的相關元的關系，蝴蝶定理和圓錐曲線的通性問題，先從高中數學需求方面簡單地介紹阿氏圓.

（一）阿波羅尼斯（Apollonius）圓

平面內動點C到兩定點O，R的距離之比是不等于1的常數，那么動點C的軌跡就稱為阿氏圓（如圖1），其中阿氏圓N在直線OR上直徑端點為D，K，并且點C是直線OC與阿氏圓N的切點，射線CD是∠OCR的平分線（∠1=∠2），射線CK是△OCR的外角平分線（∠3=∠4），由圓的切割線定理，得到重要結論OC2=OD·OK，這個結論往往體現在命題的結論中.

（二）阿波羅尼斯（Apollonius）圓的相關元

文[1]中曾介紹過蝴蝶定理在圓錐曲線與直線位置關系中的應用，其實它也是阿氏圓的性質的具體體現，現在介紹它的其他應用，并把這些性質統稱阿氏圓的相關元的性質.

結 語

文章借助解決涉圓錐曲線的兩條直線交點的問題，明確學生的關鍵能力是數學運算及利用同構式進行化簡，從而靈活應用廣義一元一次方程的多解條件解決定值、定點、定線問題.

【參考文獻】

[1]駱銀海，李紅慶.解析幾何中一類需要優先考慮用字母運算的問題及其解法[J].數學通訊，2023（1）：32-34，37.

[2]李紅慶.跟我學解高中數學題（第2版）[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2021.

[3]李紅慶.高考數學圈題典釋（第2版）[M].北京：清華大學出版社，2013.