高中立體幾何中球體問題的兩類降維方法探究

吳婷

【摘要】高中立體幾何有著深厚的數學文化背景，與社會實踐息息相關.而立體幾何中的球體是現實生活中最常見的數學模型之一.學生通過立體幾何球體部分知識的學習能更好地提升數學學科素養，以適應今后的社會發展.然而，在實際教學過程中，不少學生表現出對球體問題的畏難情緒，主要原因在于基礎知識概念的模糊、空間想象能力不足以及立體幾何到平面幾何的知識遷移能力不足等.基于此，文章從將球體問題降維至球心所在平面，將球體問題降維至其他輔助平面兩個方面指導學生使用“降維思想”，促使學生利用“降維思想”去解決球體問題.學生掌握這兩種降維方法對于掌握立體幾何中的球體問題有著重要意義.

【關鍵詞】立體幾何；球體；降維思想

引 言

降維思想泛指將一個復雜的數學問題轉化為一個相對簡單的問題，從而達到簡化解決數學問題的思維模式.在處理與球相關的問題時，教師可以指導學生進行立體幾何和平面幾何知識間的遷移，實現數學上的降空間維度，從而將原本復雜的空間球體問題轉化為更容易理解和求解的平面問題.對于高中數學立體幾何球體問題的降維策略，教師可嘗試指導學生進行以下兩大類降維處理方法.

一、將球體問題降維至球心所在平面

過球心的平面截球產生的截面圓即“大圓”，大圓中涵蓋了球的關鍵要素，所以在進行有關球的計算時，可以將空間問題降維轉化至大圓所在平面，即運用轉化化歸思想實現化球為圓來解決問題.在平面內可以利用相似三角形關系、勾股定理、正余弦定理等幾何原理求解.

點評 該題通過投影技巧，將三棱錐中線段平方和問題降維至外接球小圓內的線段平方和問題，結合向量方法優化處理，亦可在該小圓所在平面建系實現幾何問題代數化.

結 語

通過以上兩種降維策略，學生可以更深刻地理解“空間問題平面化”的重要思想，在解決球體問題時更好地理解和應用相關的數學知識.同時這兩種降維處理的方法可以幫助學生減少對空間概念的畏懼，更加直觀地理解和解決復雜的立體幾何問題.因此，在教學中，教師可以通過實際案例和練習來引導學生善于利用動態的思維，根據問題中的關鍵信息進行加工分析，提高他們解決立體幾何球體問題的能力.任何一種思維形態的形成都是始于問題，成于思考，用于實踐.教學中的灌溉滲透有利于學生邏輯思維和空間想象能力的發展，能更好地落實立德樹人的根本任務.

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