兩類彈簧木板分離問題比較探究

摘要：彈簧木板分離問題是高中物理中的重要臨界模型，是牛頓運動定律、功能關系與胡克定律相結合的典型應用，是簡諧運動的有效拓展，對提升學生物理核心素養發揮著必要的作用.比較整體做勻加速直線運動和簡諧運動這兩種典型的物理模型并熟練應用，對解決相關問題起到事半功倍的效果.

關鍵詞：彈簧；木板；分離；模型；比較

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0115-03

彈簧木板分離問題是高中物理中的重要臨界模型，是力學板塊的難點知識，含彈簧的問題也是高頻考點.彈簧木板分離問題涉及的過程多，處理該問題所用的規律、公式復雜，不易理解，導致學生在考試中容易失分.這就需要學生學習時對這類現象及規律進行浸潤式思維，深刻領會物理概念、規律的本真，深度學習，不斷提升核心素養.因此，弄清兩類典型模型的特點，掌握應用相應規律的方法，熟悉應用模型去解決實際問題很有必要.為此，本文將對彈簧木板分離前一起做勻加速運動和簡諧運動進行分析和探討，以求達到掌握其特點并熟練應用的目的[1-2].

1 模型分類

如圖1所示，一根勁度系數為k的輕質彈簧一端固定在水平面上，另一端與滑塊B相連，滑塊A與B靠在一起（不粘連），兩滑塊的質量分別為mA、mB，系統處于靜止狀態，彈簧始終在彈性限度范圍內，從零時刻起對滑塊A施加一個豎直向上的力F作用.

1.1 勻加速運動（F是變力）

滑塊A與B向上一起勻加速直線運動，設勻加速運動的加速度已知為a.則：

運動性質：分離前二者一起做勻加速直線運動，分離后A做勻變速直線運動，B做簡諧運動.

外力變化：分離前變力，分離后是恒力.

分離臨界條件：二者加速度、速度相等，相互作用力為零.

分離前（含分離時）滿足的物理規律：如圖2所示，初始時刻，對整體，由力的平衡條件，有：

kx1=（mA+mB）g①

分離時，對滑塊B，由牛頓第二定律，有：

kx2-mBg=mBa

②

由幾何關系，得：x1-x2=12at21③

聯立解得：t1=2（mAg-mBa）ka④

在勻加速過程中，設整體的位移為x，有：

F+k（x1-x）-（mA+mB）g=（mA+mB）a⑤

成立，變形得：F=kx+（mA+mB）a⑥

函數圖像如圖3所示.且當x=0時，拉力取最小值，有：

Fmin=（mA+mB）a⑦

當x=x1-x2時，拉力取最大值，有：

Fmax=mA（g+a）⑧

由運動學公式，得：v=at1⑨

解得：v=2a（mAg-mBa）k⑩

v-t圖像如圖4所示.由于在F-x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”在數值上表示力F在這段位移所做的功，由圖3可知，外力所做的功為：

WF=12［（mA+mB）a+mA（g+a）］（x1-x2）B11

解得WF=m2Ag（g+2a）-mBa2（2mA+mB）2kB12

對整體，由動能定理，得：

WF+［-（mA+mB）g（x1-x2）］+W彈

=12（mA+mB）v2B13

彈簧彈力所做的功為：

W彈=-ΔEP彈

=m2Ba（2g+a）-mAg2（mA+2mB）B14

1.2 簡諧運動（F是恒力）

A與B向上一起簡諧運動，已知豎直向上的拉力為F.則：

運動性質：分離前二者一起做簡諧運動，分離后滑塊A做勻變速直線運動，滑塊B做簡諧運動.

分離臨界條件：二者加速度、速度相等，相互作用力為零.

是否分離的條件及規律：初始位置，對整體，由力的平衡條件，有：

kx1=（mA+mB）g①

設振幅為A，此時在F的作用下二者的加速度最大且滿足：

F=kA=（mA+mB）amax②

若在滑塊B運動的最高點分離，由對稱性，對滑塊A，有：

mAg-F=mAamax③

對滑塊B，滿足：mBg-kx2=mBamax④

解得：F=mA（mA+mB）2mA+mBg⑤

得出結論：若F

二者永不分離；若F>mA（mA+mB）2mA+mBg⑦

二者一定會分離；且分離時彈簧的壓縮量

x2=mBFmAk⑧

平衡位置：設二者做簡諧運動的平衡位置對應彈簧的壓縮量為x3，由對稱性，則振幅

A=x1-x3=x3-x2⑨

且F+kx3=（mA+mB）g⑩

解得振幅A=mA（mA+mB）g-mBF2mAkB11

函數圖象：若不分離，v-t圖像為標準的正弦函數.

2 應用品鑒

例1如圖5（a）所示，光滑斜面的傾角為30°，一根輕質彈簧一端固定在斜面底端，另一端與滑塊A相連，滑塊B與A靠在一起（不粘連），兩滑塊的質量均為m，系統處于靜止狀態.從零時刻起對滑塊B施加一個平行斜面的變力F，兩滑塊的v-t圖像如圖5（b）所示，t0時刻F的大小是零時刻F大小的2倍，重力加速度大小為g，彈簧始終處于彈性限度內，則下列說法正確的是（）.

A.t0時刻前兩滑塊的加速度大小均為g3

B.t0時刻兩滑塊的速度大小均為16gt0

C.彈簧的勁度系數為2mt20

D.0到t0時間內彈簧彈性勢能的減少量為572mg2t20

解析由圖5（b）所示圖像可知，t=t0時刻兩滑塊開始分離，此時它們的加速度大小、速度大小分別相等，它們間的作用力為零，設此時彈簧的壓縮量為x，設t=0時彈簧的壓縮量為x0，彈簧的勁度系數為k，則t0時刻拉力大小為2F0，施加拉力前，對A、B整體，由平衡條件得：

kx0=2mgsin30°①

t=0時刻，對A、B整體，由牛頓第二定律得：

F0+kx0-2mgsin30°=2ma②

t0時刻，對滑塊B，由牛頓第二定律得：

2F0-mgsin30°=ma③

解得：a=16g，選項A錯誤；由圖（b）所示圖像可知，在t0內， A、B一起做初速度為零的勻加速直線運動，t0時刻兩滑塊的速度大小為：

v=at=16gt0

④

選項B正確；由圖5（b）所示圖像可知，在t0內， A、B一起做初速度為零的勻加速直線運動，位移大小為：

x0-x=12at20⑤

t0時刻，對滑塊A，由牛頓第二定律得：

kx-mgsin30°=ma⑥

解得彈簧的勁度系數為：k=4mt20，選項C錯誤；任意時刻在A、B系統在斜面上的位移為s，則此時有：

F+k（x0-s）-2mgsin30°=2ma⑦

即F=ks+2ma，則F-s圖像如圖6所示，根據A中分析可得：F0=13mg，則此過程中F做的功即為圖像與坐標軸圍成的面積，有：

W=F0+2F02·12at20⑧

設彈簧彈性勢能的減少量為EP，則根據功能關系，F做功與彈簧彈性勢能的減少量之和等于系統重力勢能與動能的增加量，即

W+EP=122mv2+2mgsin30°·s⑨

解得：EP=572mg2t20，

或EP=12kx20-12kx2=572mg2t20⑩

選項D正確.

3 結束語

彈簧木板分離問題本質還是彈簧的臨界問題[3]，對學生物理核心素養要求較高.彈簧問題幾乎在每年的高考試題中都有所體現，解決彈簧問題的關鍵是畫出物體運動的情境圖，然后進行正確的受力分析、運動過程分析、做功分析、能量分析、沖量分析、動量分析[4].

參考文獻：

[1]?孫志華.芻議簡諧運動中的能量問題[J].中學物理教學參考，2022，51（16）：19-21.

[2] 王立良.彈簧木塊分離模型：由清華大學強基試題說起[J].高中數理化，2022（08）：13-15.

[3] 楊天才.一道試題的變形[J].數理化解題研究（高中版），2007（01）：31-33.

[4] 顏福莉，楊天才.不可或缺的彈簧[J].中學生理科應試，2022（08）：21-24.

［責任編輯：李璟］