厘清由來　把握特點　熟練運用

古作軍 丁建生

第八章 冪的運算

領? 銜? 人：丁建生

組稿團隊：南京師范大學第二附屬初級中學

“冪的運算”是在同學們學了乘方運算基礎上要學的新內容，也為學習下一章“整式乘法與因式分解”打下基礎。我們要想學好本章內容，重點要學好冪的運算性質，而要掌握這些性質，關鍵在于真正理解性質是怎么來的，有什么特點，如何運用。

一、學會推理，理解性質的由來

冪的性質從形式上來說就是幾個公式，但我們不能只機械地記住其結論，還要理解它們是怎么推導出來的。對于每條性質的探究，教材內容都是按照“特殊、具體數的計算→發現規律、提出猜想→結論一般化、抽象化驗證”的思路呈現的。

以探究同底數冪的乘法為例，先探究底數和指數都是具體數值的冪（如102×108、104×105），再探究底數是具體數值、指數是用字母表示的數的冪（如10m×10n、2m×2n），然后大膽猜想am×an=am+n。接下來就是對此猜想進行證明，方法是回到定義中去。由冪的定義可知，am、an分別表示m個a相乘、n個a相乘，那么am×an就是（m個a相乘）×（n個a相乘），顯然等于（m+n）個a相乘，再由乘方的定義，結果就可以寫成am+n。

再如，在探究同底數冪的除法的過程中，也是先從探究底數和指數都是具體數值的冪開始的，如23÷23、23÷24，我們先后規定了零指數、負整數指數冪的意義，并體會“規定”的合理性。有了“規定”，冪的指數范圍才擴展到一切整數。當然，在此過程中，我們還會意識到“零指數冪、負整數指數冪的底數不等于零”這個基本條件存在的意義。

事實上，數學中許多結論的得出都會經歷從特殊到一般的思考過程。同學們如果循著這樣的思路來學習本章內容，將能體會到數學知識是如何形成、生長的。

二、分析結構，理解性質的特點

我們分析性質am×an=am+n、am÷an=am-n以及（am）n=amn的特點，可以發現這三個式子的結構是：等號左邊是同底數冪的乘、除、乘方運算，而等號右邊是指數的加、減、乘法運算且底數保持不變，這實際上是將同底數冪的運算轉化成冪指數的加、減、乘法運算。它們有一個很重要的前提——“同底數”。因此，我們在對如25×（-2）7、a4×（-a）5、（s-t）3×（t-s）n等這些形式的冪進行運算時，必須先將底數“統一”。

此外，在性質（ab）n=an·bn中，等號左邊是先算積、后進行乘方（可稱為積的冪），等號右邊是先進行乘方、再算積（可稱為冪的積）。我們弄清了這里面的先后順序，就不會把（a+b）2想當然地寫成a2+b2了。

看來，只有把性質的結構、特點掌握清楚了，我們在應用時才不會混淆知識，否則，必將錯誤百出。

三、正反互通，理解性質的運用

同學們在運用冪的運算性質時，一般都會熟練地從等號左邊向等號右邊進行運用。而從右邊到左邊，大家也應該嫻熟運用，做到能根據解決問題的需要，迅速將am+n、am-n、amn、anbn寫成am×an、am÷an、（am）n、（ab）n的形式，真正實現“正反互通”。如此，解決問題時才會得心應手。

下面三個問題的解決都得益于冪的運算性質（公式）的反向運用，感興趣的同學可以嘗試做一做。

例1 計算0.1252023×82024。

在這個式子中，兩個冪的底數不同，我們首先想到將它們化成底數相同或指數相同的冪。觀察0.125與8，它們的積為1，于是，我們可將82024改寫為82023×81。

解：原式=0.1252023×82024

=0.1252023×82023×81

=（0.125×8）2023×8

=8。

例2 已知10a=5，10b=3，求102a-

103b。

我們觀察已知式和所求式，可得102a=（10a）2，103b=（10b）3。此時，只需要將10a=5，10b=3整體代入即可。

解：102a-103b

=（10a）2-（10b）3

=52-33

=-2。

例3 已知3×9m×27m=316，求m。

我們看到，已知條件中，等號右邊冪的底數是3、指數為16，等號左邊是三個冪的乘積、底數不同。但9=32，27=33，于是9m=（32）m=32m，27m=33m。等號左邊就轉化為同底數冪的乘積，結果是31+5m，這時底數是3，指數是1+5m，比較等號左右兩邊，很快得到1+5m=16，即m=3。

解：因為3×9m×27m

=3×（32）m×（33）m

=3×32m×33m

=31+5m，

所以31+5m=316。

所以1+5m=16。

所以m=3。

同學們在數學學習的過程中一定要明白知識的來龍去脈，知其然，更知其所以然；認識知識的本質屬性，靈活運用所學知識解決問題，做到學、思、用結合。這樣，我們在數學學習的道路上才會越走越遠、越學越好！

（作者單位：南京師范大學第二附屬初級中學）

一、學會推理，理解性質的由來

冪的性質從形式上來說就是幾個公式，但我們不能只機械地記住其結論，還要理解它們是怎么推導出來的。對于每條性質的探究，教材內容都是按照“特殊、具體數的計算→發現規律、提出猜想→結論一般化、抽象化驗證”的思路呈現的。

以探究同底數冪的乘法為例，先探究底數和指數都是具體數值的冪（如102×108、104×105），再探究底數是具體數值、指數是用字母表示的數的冪（如10m×10n、2m×2n），然后大膽猜想am×an=am+n。接下來就是對此猜想進行證明，方法是回到定義中去。由冪的定義可知，am、an分別表示m個a相乘、n個a相乘，那么am×an就是（m個a相乘）×（n個a相乘），顯然等于（m+n）個a相乘，再由乘方的定義，結果就可以寫成am+n。

再如，在探究同底數冪的除法的過程中，也是先從探究底數和指數都是具體數值的冪開始的，如23÷23、23÷24，我們先后規定了零指數、負整數指數冪的意義，并體會“規定”的合理性。有了“規定”，冪的指數范圍才擴展到一切整數。當然，在此過程中，我們還會意識到“零指數冪、負整數指數冪的底數不等于零”這個基本條件存在的意義。

事實上，數學中許多結論的得出都會經歷從特殊到一般的思考過程。同學們如果循著這樣的思路來學習本章內容，將能體會到數學知識是如何形成、生長的。

二、分析結構，理解性質的特點

我們分析性質am×an=am+n、am÷an=am-n以及（am）n=amn的特點，可以發現這三個式子的結構是：等號左邊是同底數冪的乘、除、乘方運算，而等號右邊是指數的加、減、乘法運算且底數保持不變，這實際上是將同底數冪的運算轉化成冪指數的加、減、乘法運算。它們有一個很重要的前提——“同底數”。因此，我們在對如25×（-2）7、a4×（-a）5、（s-t）3×（t-s）n等這些形式的冪進行運算時，必須先將底數“統一”。

此外，在性質（ab）n=an·bn中，等號左邊是先算積、后進行乘方（可稱為積的冪），等號右邊是先進行乘方、再算積（可稱為冪的積）。我們弄清了這里面的先后順序，就不會把（a+b）2想當然地寫成a2+b2了。

看來，只有把性質的結構、特點掌握清楚了，我們在應用時才不會混淆知識，否則，必將錯誤百出。

三、正反互通，理解性質的運用

同學們在運用冪的運算性質時，一般都會熟練地從等號左邊向等號右邊進行運用。而從右邊到左邊，大家也應該嫻熟運用，做到能根據解決問題的需要，迅速將am+n、am-n、amn、anbn寫成am×an、am÷an、（am）n、（ab）n的形式，真正實現“正反互通”。如此，解決問題時才會得心應手。

下面三個問題的解決都得益于冪的運算性質（公式）的反向運用，感興趣的同學可以嘗試做一做。

例1 計算0.1252023×82024。

在這個式子中，兩個冪的底數不同，我們首先想到將它們化成底數相同或指數相同的冪。觀察0.125與8，它們的積為1，于是，我們可將82024改寫為82023×81。

解：原式=0.1252023×82024

=0.1252023×82023×81

=（0.125×8）2023×8

=8。

例2 已知10a=5，10b=3，求102a-

103b。

我們觀察已知式和所求式，可得102a=（10a）2，103b=（10b）3。此時，只需要將10a=5，10b=3整體代入即可。

解：102a-103b

=（10a）2-（10b）3

=52-33

=-2。

例3 已知3×9m×27m=316，求m。

我們看到，已知條件中，等號右邊冪的底數是3、指數為16，等號左邊是三個冪的乘積、底數不同。但9=32，27=33，于是9m=（32）m=32m，27m=33m。等號左邊就轉化為同底數冪的乘積，結果是31+5m，這時底數是3，指數是1+5m，比較等號左右兩邊，很快得到1+5m=16，即m=3。

解：因為3×9m×27m

=3×（32）m×（33）m

=3×32m×33m

=31+5m，

所以31+5m=316。

所以1+5m=16。

所以m=3。

同學們在數學學習的過程中一定要明白知識的來龍去脈，知其然，更知其所以然；認識知識的本質屬性，靈活運用所學知識解決問題，做到學、思、用結合。這樣，我們在數學學習的道路上才會越走越遠、越學越好！

（作者單位：南京師范大學第二附屬初級中學）