基于數(shù)值算法和CAD的機器人工作空間三維建模

魯 可，曹 毅，李秀娟

（河南工業(yè)大學 電氣工程學院，河南 鄭州 450007）

0 引言

機器人的工作空間定義為在結構限制下末端執(zhí)行器能夠達到的所有三維位置的集合[1]。工作空間也稱為工作容積或者工作包絡面。機器人工作空間的大小代表了機器人的活動范圍，它是衡量機器人工作能力的一個重要的運動學指標[2]。

在機器人工作空間的計算中，我們最關心的是其相應的形狀和體積。機器人工作空間的這兩方面非常重要，因為它們影響著操作臂的設計和操作臂的靈活性。目前，機器人工作空間的求解方法主要有解析法、圖解法以及數(shù)值法[1]。分析法可以確定工作空間邊界曲面的閉合形式描述，但是這些方法通常與機器人運動學的非線性方程和倒置矩陣相關，因而非常復雜[3]。相對而言，數(shù)值法較為簡單靈活。由于概率方法與逆雅可比計算無關，比較容易實現(xiàn)，因此研究人員通常所選擇的概率方法是蒙特卡洛方法[4,5]。本文主要是通過一種基于數(shù)值方法和三維實體建模的方法來確定三維操作臂工作空間的3D形狀和體積。

1 機器人操作臂的示例

本文列舉了一種機器人操作臂的例子來闡述3D 建模方法。機器人操作臂如圖1 所示，它包含一個回轉關節(jié)和兩個移動關節(jié)（RPP 模型）。該機器人操作臂的前向運動學方程為：

圖1 一個RPP 機器人操作臂的模型Fig.1 A RPP robot manipulator model

對于RPP 模型來說，回轉關節(jié)（J2）的活動范圍沒有限制，兩個移動關節(jié)（J1 和J3）的移動范圍分別為a1∈[0,1]和a3∈[0,1]。

2 主工作平面下的機器人運動學分析

在模型中，如果第一個關節(jié)固定，那么機器人操作的其余部分可以視作一個平面機器人，也就是說機器人的運動被限定在一個平面內(nèi)。當機器人的第一個關節(jié)變量等于零時，定義這個平面為主工作平面。機器人在主工作平面上相應的運動學方程如下所示：

假設機器人在主工作平面上的邊界閉合曲線可以得到，那么其3D 實體工作空間可以在Unigraphics 軟件中通過沿關節(jié)1 的Z0軸旋轉或伸展平面曲線計算得出。

由上述可知，獲得機器人的3D 工作空間有兩個重要步驟。首先是確定平面機器人的邊界閉合曲線，然后通過將閉合曲線輸入到Unigraphics 軟件中來生成3D 工作空間。

3 生成近似平面工作空間

本文依據(jù)從機器人關節(jié)空間到工作空間的運動學映射關系，采用蒙特卡洛方法[6]計算機器人的工作空間。工作空間生成的原理就是關節(jié)變量與工作空間的映射關系[7]。

（1）生成近似工作空間。操作臂的關節(jié)空間采用蒙特卡洛方法來獲得近似工作空間。一個由隨機點構成的工作空間如圖2 所示。

圖2 蒙特卡洛點的分布圖Fig.2 Distribution of monte Carlo point

圖3 搜索輪廓點Fig.3 Search of outline points

（2）繪制邊界曲線。首先，我們將每一層的工作空間被劃分成不同的列。這樣問題即簡化成在一條線上尋找邊界點。由于每列至少有一個蒙特卡洛點，邊界點可以用以下步驟獲得：①沿著Y 軸尋找極值ymax, ymin和相應的點Emax，Emin；②根據(jù)Y 坐標的值，將蒙特卡洛點分配到相應的列；③沿著X 軸在每一列上尋找邊界點；④連接邊界點建立邊界曲線。從點Emax,依次尋找最近的點，用直線連接，直到所有的點構成閉合曲線為止。

通過上述四個步驟，可以得到RPP 機器人在主工作平面的邊界曲線，如圖4 所示。

保存所得到的連續(xù)的邊界曲線到一個以.dat 為后綴的文件中。這個文件格式總共包含3 列，第1 列為x 軸坐標，第2 列為y 軸坐標，第3 列為z 軸坐標。

4 確定3D 工作空間

圖4 RPP 機器人在主工作平面的邊界曲線Fig.4 Boundary curve of main workspace of RPP robots

機器人的工作空間的3D 模型可以幫助人們更好的理解3D 空間中工作空間的形狀和體積。在這里我們選用Unigraphics 軟件來建立機器人工作空間的3D 模型。

我們將主工作空間平面的邊界曲線輸入到Unigraphics 軟件中。利用該軟件菜單“Insert→Curve→Spline”，在Spline popup 菜單中單擊“Through Points”，然后在“Spline Through Points”中選擇“Spline Through Points”，并設置曲線維度為1，單擊“Points from file”。我們選擇包含邊界點的文件，單擊“OK”即可。在菜單“Insert→Design Feature→Revolute”中，選擇邊界曲線為部分幾何，單擊Z 軸作為旋轉軸，然后輸入轉動角度為（-90°, +90°），就可以得到3D 工作空間的實體模型。

對于RPP 機器人，其主工作平面的工作空間的邊界曲線如圖4 所示。采用上述步驟，將邊界曲線輸入到Unigraphics 軟件中，由于第一個關節(jié)為棱柱，我們可以將邊界曲線沿Z 軸第一個關節(jié)的運動范圍a1（0,1）旋轉，生成RPP 機器人的工作空間。如圖5 所示，RPP 機器人的3D 工作空間是一個實體的圓柱。

在Unigraphics 軟件中選擇菜單“Analysis →Mass properties”，然后點擊實體空間，可以得到RPP 機器人的工作空間的體積為3.1325。

我們還可以通過分析方法進一步的計算工作空間的體積。通過以下公式計算RPP 機器人的工作空間體積：

圖5 RPP 機器人的實體工作空間Fig.5 Entity workspace of RPP robot

其中Va是分析表達式所求的體積，相應的體積值為π，約為3.1416。

通過數(shù)值分析和建模所得到的體積與分析方法所得到的體積偏差約為0.289%。顯然，從工程的角度來看，這點偏差是微不足道的。

5 結論

本文提出了一種基于數(shù)值算法和實體建模的綜合方法，介紹和分析了機器人操作臂的工作空間。該算法基于蒙特卡洛方法，并用3D 軟件Unigraphics 進行建模。數(shù)值算法利用了從關節(jié)坐標系到任務坐標系的映射函數(shù)的性質，來獲得由點云構成的主工作平面的近似2D 工作空間。主工作平面的邊界點和曲線由平面機器人工作空間的切片得到。該方法利用隨機概率和實體建模軟件，為機器人操縱臂的設計和評價提供了一個有效和簡單的工具。

[1]劉海濤，楊樂平，朱彥偉，韓大鵬.空間機器人工作空間研究[J].組合機床與自動化加工技術，2011，8.

[2](美)理查德.摩雷；李澤湘（譯），等.機器人操作的數(shù)學導論[M].北京：機械工業(yè)出版社，1998.

[3]W. Yunfeng, G. S. Chirikjian, A diffusion-based algorithm for workspace generation of highly articulated manipulators, in Proc. of IEEE Int. Conf. of Robotics and Automation. Washington D.C，2002.

[4]D. Alciatore and C. Ng , Determining manipulator workspace boundaries using the monte carlo method and least squares segmentation,In Proc.of ASME Robotics:Kinematics,Dynamics and Controls，1994.

[5]J. Rastegar and D. Perel, Generation of manipulator workspace boundary geometry using the Monte Carlo method and interactive computer graphics, ASME J. of. Mechanical Design，1990.

[6]S.Samuel,M.Kelley,A,Pragada,Practical UNIGRAPHICS NX2 modeling for engineers[C].Wiley India Pvt.ltd, New Delhi-110002 india,2005.

[7]曹毅，李秀娟，寧祎，楊冠英.三維機器人工作空間及幾何誤差分析[J].機械科學與技術，2006，12.