MATLAB軟件輔助高等數學教學

鄭洪清

關鍵詞： MATLAB 函數 定積分 高等數學

中圖分類號： G642;O13-4 文獻標識碼： A 文章編號： 1672-3791（2024）01-0182-04

高等數學作為理工類本科生的一門公共基礎課，具有知識點繁多、內容抽象和計算復雜等特點，再加之學時受限，導致眾多學生對該門課程學習效果較差。因此，在高等數學授課過程中，如何展示知識點的應用場景、抽象內容可視化、復雜計算簡單化和激發學生的學習興趣和動手能力是每位教師必須思考的問題。已有多位學者將MATLAB 軟件輔助高等數學教學的研究［1-4］和提升學生能力的研究［5-6］，這些研究基本上都是調用MATLAB 軟件的自帶函數進行求解，而對函數的內部實現機制并未探討，這樣會導致有的學生對有些概念比如定積分的定義理解不透。尤其對計算機類專業學生來說，如何利用代碼理解定積分的“分割取近似，求和取極限”的這一過程是學習的一個難點。本文將探討對計算機類專業學生來說如何使用MATLAB 軟件輔助高等數學學習，主要展示某些知識點在計算機中的應用場景以及如何利用定義自行編寫代碼求解定積分，此舉不僅使學生體驗了知識點的應用場景，還激發了學生的學習積極性和動手能力，同時也培養了他們利用專業知識解決數學問題，實現學科的交叉融合，達成學以致用之目的。

1 MATLAB 展示函數的應用場景

在高等數學的第一章分別介紹了分段函數、反函數、復合函數和初等函數等，這些函數大都在中學時期都已經學過。傳統的教學方法通常展示函數圖像并介紹其性質，對其應用場景涉及甚少，學生在學習過程中感覺枯燥乏味，浮光掠影。而利用MATLAB 軟件教學則可以呈現知識點的具體應用場景，例如：在講解冪函數y = x^a 時，可以通過MATLAB 軟件形象展示其指數取不同數值時函數的圖形，如圖1 所示。

在MATLAB 軟件中編寫如下代碼便可實現上述圖像。

%利用MATLAB 繪制冪函數圖像

x=0：0.01：1；%聲明變量x，且指定x 的范圍從0 到1，間隔為0.01

r1=［0.04，0.1，0.2，0.4，0.67，1，1.5，2.5，5，10，25］；%聲明指數變量并指定其取值

xx=0.01：0.089：1；

for i=1：length（r1）

plot（x，x.^r1（i））；%畫冪函數圖形

hold on；%連續繪制

text（xx（i），xx（i）.^r1（i），num2str（r1（i）））；%標注指數及位置

end

那么該函數在現實問題中有何具體應用呢？為拓展其應用范圍和激發學生學習興趣，將其應用于灰度圖像的增強處理。

例1 利用冪函數應用圖像2，注意觀察指數取不同數值時圖像效果的變化情況。

從圖2 和圖3 的效果圖可知，指數取不同數值時圖像對比度完全不同，當指數為1.1 時圖像效果對比度顯著增強；當指數為0.9 時圖像效果對比度明顯變暗。讓學生直觀感受原來簡單的冪函數還有灰度圖像增強或減弱作用，大大激發了學生學習樂趣。對于其他分段函數和對數函數等都可以仿照該方式進行教學，體會學以致用。

在MATLAB 軟件中編寫如下代碼便可實現灰度圖像增強或減弱效果：

img=imread（'Fig_einstein_low.tif'）；%導入圖像

a1=1.1；%指數值

a2=0.9；%指數值

［r，c］=size（img）；%獲取圖像的行列

img1=double（img）；%將圖像數值轉換為雙精度

for i=1：r

for j=1：c

img2（i，j）=img1（i，j）.^a1；%計算冪函數值

img3（i，j）=img1（i，j）.^a2；%計算冪函數值

end

end

subplot（1，2，1）；

imshow（uint8（img2））；

title（'指數a=1.1 時'）；

subplot（1，2，2）；

imshow（uint8（img3））；

title（'指數a=0.9 時'）；

2 MATLAB 在定積分中的應用

2.1 一元函數定積分

一元函數定積分的幾何意義是求曲邊梯形的面積，采用“分割取近似，求和取極限”的思想，具體如圖4 所示。高等數學中介紹定積分的求解方法一般使用牛頓—萊布尼茨公式，很少利用定義求解，是因為利用定義求解過程繁瑣且容易出錯，但對有些函數來說，很難找到其原函數，因此，需要借助定積分的定義求其數值解。雖然可以直接調用MATLAB 的integral 函數求定積分，但大部分學生對利用定義求解定積分的過程并未理解，對integral 函數求定積分的內部實現機制并不明白。尤其對計算機類專業學生來說，如何用定義實現定積分的求解過程比較重要：一方面可以深入理解定積分的定義及幾何意義；另一方面實現學科的交叉融合及為后續課程學習夯實基礎。

運行結果得如圖5 所示，所圍成陰影圖形的面積即為定積分的結果。

解1：利用integral 函數求解定積分。

在MATLAB 中編寫代碼如下：

fun=@（x）x.^2

ans=integral（fun，0，1）

運行結果ans=0.3333。

解2：利用定積分定義自行編寫代碼。

%在0-1 區間內產生n=100 個隨機點

x=rand（1，100）；

x=sort（x）；

x=［0 x 1］；

sum=0；

for i=1：length（x）-1

delta_x=x（i+1）-x（i）；

sum=sum+（x（i）+delta_x/2）.^2*（x（i+1）-x（i））；

end

運行結果與上述方法一致。

2.2 二元函數定積分

二元函數定積分簡稱二重積分，其幾何意義即是求曲頂柱體的體積，實施過程與一元函數定積分類似，均是“分割取近似，求和取極限”。下面以二重積分在直解坐標系下的計算為例加以闡釋，如圖6 所示。很多學生空間想象力較弱，不能準確繪制題目所給的區域，導致無法順利求解，但如果能借助MATLAB 軟件作圖，則能直觀展示空間圖形從而使問題迎刃而解。

例3 求由4 個平面x = 0x = 1y = 0y = 1 所圍的柱體被平面z = 0及2x + 3y + z = 6截得的立體的體積。

在MATLAB 中編寫如下代碼：

［x，y］=meshgrid（0：0.01：1）；

z=6-2*x-3*y；

meshz（x，y，z）；%將曲面加上圍裙

xlabel（'x'）；

ylabel（'y'）；

zlabel（'z'）；

運行結果得如圖7 所示。

可見，在MATLAB 軟件中也可輕而易舉地實現立體圖形的繪制，增強了學生的空間想象力。由于二重積分在計算過程是分兩次一重積分來實現的，但在計算過程中會碰到與一重積分同樣的問題，即原函數難以求解，故可調用MATLAB 軟件自帶quad2d 函數或二重積分的定義自行編寫代碼求解，這樣既理解了定積分定義的過程又訓練了交叉學科的融合。

解1：利用MATLAB 自帶函數求解代碼。

fun=@（x，y）6-2*x-3*y；

x_min=0；

x_max=1；

y_min=0；

y_max=1；

result=quad2d（fun，x_min，x_max，y_min，y_max）

運行結果ans=3.5000

解2：利用二重定積分定義自行編寫代碼。

x=0：0.01：1；

y=0：0.01：1；

sum=0；

for i=1：length（x）-1

delt_x=x（i+1）-x（i）；

dx=x（i）+delt_x/2；

for j=1：length（y）-1

delt_y=y（i+1）-y（i）；

dy=y（j）+delt_y/2；

sum=sum+delt_x*delt_y*（6-2*dx-3*dy）；

end

end

sum

運行結果與上述方法一致。

上述利用定義自行編寫代碼求解定積分的過程中，未使用求極限這一步驟，僅僅體現幾何圖形分割得越細，計算結果越精確，它是一種計算定積分數值解的有效方法，對理解定積分的定義及幾何意義均有所幫助。因此，在授課過程中教師應使用數形結合和動手實踐，讓學生對所學內容掌握得更扎實。正所謂“耳聽千遍，不如手過一遍”。

3 結語

本文以計算機類專業為例，從函數應用場景、一元函數定積分以及二元函數定積分這3 個方面展示了MATLAB 軟件輔助高等數學教學，不再停留在傳統的“黑板+粉筆”和多媒體授課方式，而是呈現知識點的具體應用場景，利用自行編寫代碼理解定積分的定義，從而激發學生的學習興趣和動手能力，實現學科的交叉融合，提高教學質量和效果。