巧設變量求解一道2023年高考數學圓錐曲線題

摘?要：與圓錐曲線相關的解答題是高考數學必考的一道題目，該類題目考察的一個主要知識點是在某個約束條件下求解某個量的最大值或最小值。對于該類題目，通過設置合適的變量以及適當的變量代換建立約束條件和目標函數求解會達成很好的求解效果。本文以2023年全國高考數學甲卷中的一道圓錐曲線題為例給出解答與說明。

關鍵詞：圓錐曲線；變量；變量代換

Set?Variables?to?Solve?a?Coniccurve?Problem?Appearing?in?2023

Liang?Zuosong

College?of?Mathematics?and?Physics，?Guangxi?Minzu?University?GangxiNanning?530006

Abstract：The?coniccurverelated??solvingproblem?is?one?of?the?compulsory?questions?in?the?college?entrance?examination.One?of?the?main?knowledge?points?of?this?kind?of?problem?is?to?solve?the?maximum?or?minimum?value?of?a?certain?objective?function?under?a?certain?constraint?condition.For?this?kind?of?problem，it?will?achieve?a?good?solution?effect??by?setting?appropriate?variables?and?appropriate?variable?substitution?to?establish?constraints?functions?and??objective??functions.This?paper?takes?a?coniccurve?solvingproblem?appearing?on??the?college?entrance?examination?paper?in?2023?as?an?example?to??give?some?explanations?and?descriptions.

Keywords：coniccurve;variable;variable?substitution

1?概述

圓錐曲線是高中數學階段需要學習的一類重要數學概念。借助圓錐曲線這一數學模型尋求某些量的最大值或最小值是高考中經常出現的題型。對于該類題型通過合理設置變量建立約束條件和目標函數是尋求解決該類問題的通性解法。在具體的解題過程中，通過設置合適的變量以及適當的變量代換建立約束條件和目標函數求解會達成很好的求解效果。下面我們以2023年一道高考數學題為例給出解答與說明。

2?巧設變量求解一道2023年高考數學題

2.1?題目陳述

2023年全國統一考試數學（理科）甲卷第20題如下：

直線x-2y+1=0與y2=2px（p>0）交于A，B兩點，AB=415。

（1）求P的值；

（2）F為y2=2px的焦點，M，N為拋物線上的兩點，MF·NF=0，求ΔMNF面積的最小值。

2.2?分析

我們只需對第二小問的解答思路進行分析。在第二小問中M，N為拋物線上的兩個變點，因此可設置的變量有如下幾種。我們常規的思考方法是設直線y=kx+b或者x=ky+b，通過代入拋物線得到M，N兩點的坐標關系。該種方法需要利用韋達定理得到兩個變量k和b之間的關系（即約束條件），計算量比較大。其實，仔細想一下，任意給定拋物線上的兩點，就得到M，N所在的直線，因此可直接設M，N的坐標分別為（y122p，y1），（y222p，y2）即可。下面利用直接設點坐標的方法建立約束條件和目標函數并且通過巧妙的變量代換進行求解。

2.3?解答

解：（1）將直線方程化為x=2y-1代入y2=2px得：

y2-4py+2p=0

令A的坐標為（x1，y1），B的坐標為（x2，y2），則：

y1+y2=4p，y1y2=2p

從而：

AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=5y1-y2

=5（y1+y2）2-4y1y2

=415

整理得：

2p2-p-6=0

解得：

p=2或p=-32（舍去）

（2）由p=2得，拋物線焦點F坐標為（1，0）

設M，N的坐標分別為（y124，y1），（y224，y2）則：

MF=1-y124，-y1

NF=（1-y224，-y2）

由MF·NF=0得：

y124-1y224-1+y1y2=0

整理得：

y12y22+16y1y2+16=4y12+4y22

進一步整理得：

（y1y2+4）2=（2y1-2y2）2（1）

ΔMNF的面積可表示為：

=12FM×FN

=12ijk

0y124-1y1

0y224-1y2

=12y124-1y2-y224-1y1

我們注意到求解含有絕對值的最值問題不易處理，因此我們進一步轉化為求ΔMNF面積的平方的最小值這一等價問題。

因此對上式兩邊平方進一步整理得：

S2ΔMFN=164y2-y12（y1y2+4）2（2）

題目做到這里，該問題轉化為在約束條件（1）的基礎上求解目標函數（2）的最小值問題。我們注意到直接求解以上問題也是有一定難度的。但仔細分析便會發現，（1）和（2）中都含有y1y2+4和y1-y2兩個因式。于是可設變量替換y1y2+4=m；2y1-2y2=n，這樣上述問題便轉化為較簡單的形式。下面，我們進一步給出后面的解答。

令y1y2+4=m；2y1-2y2=n

由（1）可得m=n或m=-n

若m=n，可得y1y2+4=m

2y1-2y2=m，將y1=m+2y22=y2+m2代入y1y2+4=m得

y22+m2y2+4-m=0

由：

Δ=m22-4×（4-m）0

得m82-8或m-82-8

此時S2ΔMFN=164×n24×m2=164×m24×m2=m4256

從而SΔMFN=m21612-82

若m=-n，可得y1y2+4=m

2y1-2y2=-m，將y1=-m+2y22=y2-m2代入y1y2+4=m得

y22-m2y2+4-m=0

由：

Δ=m22-4×（4-m）0

得m82-8或m-82-8

此時S2ΔMFN=164×n24×m2=164×m24×m2=m4256

從而SΔMFN=m21612-82

綜上所述ΔMNF面積的最小值為12-82。

3?總結以及推廣

運用變量代換能使一些結構復雜的數學問題變為簡單、易于求解的問題，從而達到化難為易的效果。對于圓錐曲線類高考題設置合適的變量以及變量代換建立目標函數和約束條件求解會達成較好的求解效果。在具體的變量代換中我們要善于分析與觀察，本著將表達式向簡單易求解的方向進行轉化。我們要特別注意的是，在變量代換過程中我們要求出新的變量的范圍，這樣才能確保變換后的問題和原問題等價，進而得到目標函數的最值。例如，對于雙變量x和y，以及變量代換x=Rcosθ，y=Rsinθ，我們要及時地根據x，y的范圍來確定R和θ的范圍。當x和y的范圍位于第一象限時，則x，y的范圍相應地修改為θ∈0，π2以及R∈［0，+∞）。當x和y的范圍滿足x2+y2=1時，則x，y的范圍相應地修改為θ∈［0，2π］以及R=1。下面我們給出雙變量代換的定義以及在求解優化問題中的具體應用。

3.1?雙變量代換的定義

設變量x和y以及（x，y）所處的范圍D，若存在兩個二元函數x=x（u，v），y=y（u，v）以及（u，v）∈D′，滿足對任意的（x，y）∈D存在（u，v）∈D′使得（x，y）=（x（u，v），y（u，v））以及對任意的（u，v）∈D′存在（x，y）∈D使得（x，y）=（x（u，v），y（u，v））同時成立，我們稱x=x（u，v），y=y（u，v）建立了從變量x，y到變量u，v的雙變量代換。特別的，若上述代換滿足對任意的（x，y）∈D存在唯一的（u，v）∈D′使得（x，y）=（x（u，v），y（u，v））以及對任意的（u，v）∈D′存在唯一的（x，y）∈D使得（x，y）=（x（u，v），y（u，v））同時成立，我們稱變換x=x（u，v），y=y（u，v）建立了從D到D′的一一映射。一般來說，雙變量代換都是建立了從D到D′的一一映射。

3.2?雙變量代換的應用以及原則

雙變量代換對于優化問題的轉化計算方面具有很好的應用。設z=z（x，y），其中（x，y）∈D。當我們尋求表達式z=z（x，y）的最大值或最小值比較困難時，我們可以考慮引入恰當的雙變量代換x=x（u，v），y=y（u，v）以及（u，v）∈D′。將關于表達式z=z（x，y）的最大值或最小值問題轉化為z=z（x（u，v），y（u，v））的最大值或最小值問題。如果z=z（x（u，v），y（u，v））的表達式比較簡單且在范圍D′上的最值問題比較好求，則我們完成了從困難問題到簡單問題的轉化。

因此，如何引入恰當的雙變量代換x=x（u，v），y=y（u，v）將困難問題轉化為簡單問題是一個技巧。從整體上來說，我們本著如下兩個原則。

首先，通過對z=z（x，y）表達式的深入分析，設置雙變量代換x=x（u，v），y=y（u，v）后z=z（x（u，v），y（u，v））的表達式簡單易求。例如，在上述高考題中，S2ΔMFN=164y2-y12（y1y2+4）2的面積可通過令y1y2+4=m；2y1-2y2=n化為S2ΔMFN=1256m2n2。

其次，要容易通過（x，y）所處的范圍D求出（u，v）所處的范圍D′。例如，在上述高考題中，（y1，y2）所處的范圍D應該被表述為{（y1，y2）|（y1y2+4）2=（2y1-2y2）2}。通過變量代換后得到變量m和n應滿足的關系是m=±n。這里，我們一定注意到{（m，n）|m=±n}并不是m和n的范圍。因為任意給定的m=±n，滿足y1y2+4=m；2y1-2y2=n的y1和y2不一定存在。因此我們要進一步確定變量m和n的范圍如下。若m=n，可得y1y2+4=m

2y1-2y2=m，將y1=m+2y22=y2+m2代入y1y2+4=m得y22+m2y2+4-m=0，由Δ=（m2）2-4×（4-m）0得m82-8或m-82-8。

若m=-n，可得：

y1y2+4=m

2y1-2y2=-m

將y1=-m+2y22=y2-m2代入y1y2+4=m得：

y22-m2y2+4-m=0

由：

Δ=m22-4×（4-m）0

得m82-8或m-82-8。

綜上可得，m和n的確切范圍為{（m，n）|m=±n，m82-8或m-82-8}。因此，確定通過（x，y）所處的范圍D求出（u，v）所處的范圍D′是借助雙變量代換x=x（u，v），y=y（u，v）將困難問題轉化為簡單問題的一個關鍵。

總之，在數學解題中變量代換是一種常用的重要的數學方法，變量代換的實質是實施數學中的轉化思想。這樣就可以起到化繁為簡、化難為易的效果，從而優化解題過程。我們需要注意的是，在進行變換時一定要確保等價，即準確確定新變量的范圍。

參考文獻：

［1］同濟大學數學系編.高等數學第七版［M］.北京：高等教育出版社，2022.

［2］華東師范大學數學科學學院編.數學分析第五版［M］.北京：高等教育出版社，2022.

項目：本論文受國家自然科學基金（12361067）以及校級教改項目“青年教師高等數學教學風格的形成機制及其實踐研究”資助

作者簡介：梁作松（1981—?），男，漢族，山東肥城人，博士，副教授，主要從事數學分析、高等數學等學科的教學與研究工作。