聚焦教學質量的高三數學微專題復習設計

李中陽 紀暉

摘要：本文以函數的最值問題為例，探討高三數學微專題復習設計方案，希望能夠為高中數學教師提供參考及幫助.

關鍵詞：高三數學微專題；復習設計；函數最值

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0062-03

“微專題”，即將某一特定知識點作為專題開展的教學[1].與傳統“串講式”的教學相比，微專題切入點小，針對性更強，同時內容緊湊，能夠實現多角度的教學.在高三數學復習中，教師也可以借助微專題的優勢，選取有效專題進行復習.轉變傳統將知識重復講解的復習教學模式，借此降低學生理解難度，引導其對知識進行更加深入的理解，實現其知識結構的優化和知識體系的完善.如此，才能讓教學質量得到有效提升.

1 教學內容分析

函數是歷年高考復習的重點，其中“函數的最值問題”因涉及知識點較多，能夠與方程、不等式的廣泛知識建立聯系，成為學生學習的難點之一.另外，“函數的最值”是高中函數的一類常見題型，解答方法多樣，不同方法均具備各自的優劣和注意點，適宜方法的選用能夠實現解題的速度和正確率的共同提高，但需要更加基礎的數學函數知識做鋪墊.學生對于函數最值的定義等有了較為深入的理解，且掌握了一定的函數最值求解方式，改變慣于使用特定的某種求解方式，能讓其從未曾考慮的求解角度出發，提升函數最值知識的認知[2].

2 教學流程

2.1 一題多解，全面回顧知識

教師出示例1：請求函數y=2x2x-3x≥4的最值.引導學生借助獨立思考、與周邊同學交流討論等方式嘗試求解.

學生1：因為y=2x2x-3=2x-3+9x-3+6≥2×2x-3×9x-3+6=24.當x-3=9x-3，即為x=6或x=0時，函數存在最小值24.但不存在最大值.

教師：這樣的方法將多層函數化為了基本不等式問題進行求解，叫作配湊法.但是，不等式中的等號能夠成立嗎？

學生1：不能成立.x=0應該被舍棄.

學生2：我想到了另一種得出不等式的方式.設x-3=a，那么x即為3+a.因為x≥4，所以a≥1.那么函數可以化為y=2a+32a=2a+9a+6，且大于22a×9a+6=24.

教師：很好.這樣巧妙地將含有x的整式運用新的未知數a替代的方法，叫作換元法.雖然實質上為第一種配湊法的變形，但更加直觀明了，解題時也需注意不等式中的等號能否成立.此外，a的取值范圍也是需要考慮的地方.

學生3：我有另一種不一樣的方法.可以將函數轉化為方程2x2-yx+3y=0，因為x≥4，所以x-3≠0，方程能夠成立.從一元二次方程的判別式即可以知道：△=y2-24y≥0，所以y≥24或y≤0.從x≥4可以知道y一定大于0，因此y≥24成立.所以函數有最小值24，但沒有最大值.

教師：這樣的方法貌似可行，但是只要△大于0，x就一定大于4嗎？能夠用哪種方法證實呢？

學生4：從二次函數的實數根分布可以得到△=y2-24y≥0--y2×2≥4f（4）=32-4y+3y≥0，因此24≤y≤32.

教師：大家可以代入一個隨機數進行檢驗.當y=40時，x2-20x+60=0，解得x=10+210或x=10-210.因為x≥4，所以x的值為10+210.也就是說x≥4時，y=40>32.所以這樣的證明仍然存在紕漏.為什么呢？

學生5：這些求解方式都假定x≥4時，二次函數有兩個實數根.當二次函數有一個實數根時又會怎樣呢？只有一個實數根意味著f（4）≤0，也就是y≥32.綜合可得函數有一個最小值24，但沒有最大值.

教師：經過大家的努力，這樣的解法終于趨向完善.這種方法從二次函數的判別式入手，叫作二次函數實根分布法.

學生6：二次函數的根的求法給了我一種思路.題目中的函數可以化為21x-3×1x2=2-31x-162+112，因此x=6時，函數有最小值24.同時因x≥4，所以0<1x≤14.當-31x-162=112時，y為正無窮；但-31x-162<112.所以函數不具備最大值.

教師：這樣的方法叫配方法，也十分適用.還有其他方法嗎？

學生7：我認為可以從導數知識入手求解.將函數求導，y′=4xx-3-2x2x-32=2x2-12xx-32=2xx-6x-32=0.即為x=0或x=6時，y′為0，可以得到如表所示（表1），觀察表格可知，當x=6時，函數存在最小值24.

教師：這樣的方法叫作導數法，能夠借助求導得到函數各定義域內的極值和端點值，進行橫向比較，其中最小的值即為整體函數的最小值，最大的值為整體函數的最大值.

2.2 巧用變式，發展學生思維

教師：如果將之前例題中的“x≥4”變為“x≥8”，這樣的題目應該怎樣求解呢？我建議大家首先嘗試一下換元法和配方法.

學生8：我嘗試用換元法解答：設x-3=b，因為x≥8，所以b≥5.y=2b+32b=2b+9b+6≥22b×9b+6=24，因此得出函數最小值為24.

教師：很好，將換元法的知識代入題目中.但有沒有需要思考的地方呢？

學生9：應當思考不等式中的等號能否成立.如果等號成立，b2=9，這時b=±3，但從題目中條件可以知道b≥5，等號無法成立.這樣的解答錯了.

教師：那應當怎樣解決呢？大家可以從函數的單調性入手.y=x+9x的單調性是怎樣的呢？將其求導，y′=1+-9x2=x2-9x2，當其為0時，x=±3且x≠0，可以將函數的單調性以如下表所以（表2）：

教師：依據表格，也能夠畫出函數y=x+9x的圖象（圖1）.

教師：可以看到，函數y=x+9x在區間5，+∞為增函數，因此當x=5時原函數的最小值為，為1285，但沒有最大值.

學生10：我使用配方法求解.y=2x2x-3=2-31x-162+112.因為x∈8，+∞，所以0<1x≤18.函數對稱軸與x軸的交點坐標為16，0，并不在x的取值區間內.因此函數的最小值不為這時的24.函數圖象開口向下，因此在x取值區間內，fx=-31x-162+12為增函數.當1x=18，即x=8時，函數有最小值1285，但沒有最大值.

2.3 繼續深入，鍛煉學生能力

教師：如果將題中x的取值區間變為x≥tt>3的話，前面介紹的兩種方式還能夠適用嗎？請大家再次嘗試獨立挑戰.

學生12：運用換元法時，設x-3=c，y=2c+32b=2c+9c+6≥22b×9c+6=24.但x≥t，因此c≥t-3，當t>6時不等式無法取等號.只能借助函數單調性判斷出函數最小值為2t2t-3.當3

學生13：我運用配方法解答.將函數配方為2-31x-162+112，當t>6時，x≥t，因此160，1x，所以函數最小值為ft=2t2t-3.當3

3 結束語

在問題鏈設計時，筆者認為應當注意如下幾點：

（1）圍繞教學大綱.教材是高中數學教學和復習的基礎，也是問題鏈設計的基本素材[3-4].教師應當抓住問題鏈層層遞進、逐級深入的特點，發現大綱中知識點的橫、縱向聯系，借此有意引導學生思維，使其在多角度思考中探究知識的本質.

（2）尊重學生主體.促進學生學習主觀能動性的發揮是問題鏈設計的關鍵.教師應當把握班級學生學習特點，借助引導性、啟發性原則以及學生思維發展區中的問題，推動其自主發現構建，在題目變化中推翻原有知識結構，完善新的知識體系，鍛煉思維能力，從而保障教學過程的啟發性、科學性.

（3）注重情感、態度、價值觀.學生情感、態度、價值觀的培養是新課改下各學科教學的必然要求.設計問題鏈時，教師應當“見微知著”，利用不斷深入的問題揭示數學知識的本質，促使學生感悟數學之美，進而實現融會貫通.

參考文獻：

[1]曹昕，洪家鳳.利用均值不等式求函數最值的六種方法[J].中學數學，2023（01）：80-81.

[2] 何海花.數學思維培養導向下初中數學函數最值和存在性問題的教學研究[J].理科愛好者，2022（06）：126-130.

[3] 汪佳婕.例談拉格朗日乘數法在解多元函數最值中的應用[J].高中數理化，2022（07）：69-70.

[4] 王惠文.探析導數中含有參數的不等式的證明策略：廣東省2021屆高三八省聯考模擬卷第22題第（2）問[J].數理天地（高中版），2022（03）：72-73.

［責任編輯：李璟］