挖掘試題價值 促進深度學習

胡立業 練育宏

摘要：本文從一道調研試題出發，通過歸納、類比、變式、抽象等手段探究圓錐曲線的一類性質，旨在挖掘試題的潛在價值，促進學生深度學習，發展核心素養.

關鍵詞：探究；推廣；類比；變式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0050-03

“深度學習”就是教學中教師引領學生圍繞具有挑戰性、能夠解決實際問題的學習主題，以任務和項目為驅動，全身心積極參與，主動學習，解決問題，體驗成功，獲得自身發展的有意義的學習過程[1].那么，我們研究一道試題需要從哪些角度出發呢？筆者以 2022年江蘇省無錫市高三期末調研試卷的解析幾何題為例展開研究.1 試題呈現

例題如圖1，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F2，焦距為4，且橢圓過點（2，53），過點F2且不平行于坐標軸的直線l交橢圓于P、Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為R，直線PR交x軸于點M.

（1）求△PF1Q的周長；

（2）求△PF1M面積的最大值.

2 試題解法

本文主要對第（2）問進行探究.

解由（1）得橢圓C方程為：x29+y25=1，

設直線l的方程為：x=my+2，Px1，y1，Qx2，y2，Rx2，-y2，

PR：y=y1+y2x1-x2x-x1+y1，

令y=0得：My1x2+x1y2y1+y2，0.

由x=my+2

5x2+9y2=45得：5m2+9y2+20my-25=0.

△=900m2+1≥0，y1+y2=-20m5m2+9，

y1y2=-255m2+9.

S△PF1M=12y1x2+x1y2y1+y2+2|y1|

=122my1y2y1+y2+4|y1|

=134|y1|≤1345.

評注本題在設線時，之所以用此形式主要考慮到面積表達式化簡的方便，在面積表達式化簡時要注意合理運算（分離常數）.除此方法外，也可由對稱性得到∠OMQ=∠OMP，進而轉化為直線MQ、MP的斜率互為相反數去處理.

在以上解題過程中，我們不難發現y1x2+x1y2y1+y2為一定值，即點M是一個定點，這里可引導學生思考：這是巧合還是必然呢？此結論能否作進一步的推廣呢？此結論有何潛在的價值呢？

3 試題研究

3.1 一般化研究

對于一般的橢圓滿足以上條件，是否同樣有直線PR過某一定點呢？

研究1（曲線一般化）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F，過點F且不平行于坐標軸的直線l交橢圓與P、Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為R，直線PR交x軸于點M，求證：M點為定點.

證明設直線l的方程為：x=my+c，Px1，y1，Qx2，y2，則Rx2，-y2，

PR：y=y1+y2x1-x2x-x1+y1，

令y=0得：My1x2+x1y2y1+y2，0，

由x=my+c

b2x2+a2y2=a2b2，

得：（b2m2+a2）y2+2b2mcy+b2c2-a2b2=0，

△>0，y1+y2=-2b2mcb2m2+a2，

y1y2=b2c2-a2b2b2m2+a2=-b4b2m2+a2，

y1x2+x1y2y1+y2=2my1y2+c（y1+y2）y1+y2=2my1y2y1+y2+c=b2c+c=a2c，故Ma2c，0.

若將以上結論中的焦點推廣到一般情形，是否能得到更一般的性質呢？

研究2（點一般化）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過點Nn，0 -a

解設直線l直的方程為：x=my+n，Px1，y1，Qx2，y2，則Rx2，-y2，

PR：y=y1+y2x1-x2x-x1+y1，

令y=0得：My1x2+x1y2y1+y2，0，

由x=my+n

b2x2+a2y2=a2b2

整理得：（b2m2+a2）y2+2b2mny+b2n2-a2b2=0.

△>0，y1+y2=-2b2mnb2m2+a2，y1y2=b2n2-a2b2b2m2+a2，

y1x2+x1y2y1+y2=2my1y2+n（y1+y2）y1+y2=2my1y2y1+y2+n=a2-n2n+n=a2n，故Ma2n，0.

評注從特殊到一般，從具體到抽象，屬于歸納推理，是合情推理的一種，也是我們研究問題常用的方法，這樣的研究能有效發展學生的“數學抽象”“邏輯推理”等素養.

3.2 變式研究

如果把以上結論中的部分條件與結論加以置換，命題還能成立嗎？

變式1如圖2，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過點N（n，0）0

證明設直線l的方程為：x=my+n，Px1，y1，Qx2，y2

由x=my+n

b2x2+a2y2=a2b2整理得：（b2m2+a2）y2+2b2mny+b2n2-a2b2=0，

△>0，y1+y2=-2b2mnb2m2+a2，y1y2=b2n2-a2b2b2m2+a2，

kMQ+kMR=y1x1-a2n+y2x2-a2n

=2my1y2+n-a2ny1+y2my1+n-a2nmy2+n-a2n，

又2my1y2+（n-a2n）（y1+y2）

=2b2n2m-2ma2b2-2b2n2m+2ma2b2a2+b2m2=0.

故OM的平分∠PMQ.即點Q、R關于x軸的對稱.

變式2如圖3，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），與坐標軸不平行的直線l交橢圓于P、Q兩點，存在點Mm，0（m>a或m<-a），使得OM平分∠PMQ，求證：直線l恒過定點.（答案：a2m，0） 證明過程略.

3.3 類比研究

橢圓有上述性質，雙曲線、拋物線是否也有同樣的性質？通過探究，我們發現雙曲線、拋物線也有此性質，證明過程此處不再贅述.

結論1已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過焦點Fc，0且不平行于坐標軸的直線l交橢圓于P、Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為R，直線PR過定點Ma2c，0.

結論2已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），過焦點Fc，0且不平行于坐標軸的直線l交雙曲線于P、Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為R，直線PR過定點Ma2c，0.

結論3已知拋物線C：y2=2pxp>0，過焦點Fp2，0且不平行于坐標軸的直線l交拋物線于P、Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為R，直線PR過定點M-p2，0.

結論4已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過點Nn，0 -a

結論5已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過點Nn，0 -a

4 結束語

教學中，教師要善于發現一些優質試題，引導學生深度學習，激發學生的學習興趣，提升學生發現、提出問題及分析、解決問題的能力，從而促進其核心素養的養成與提升.

參考文獻：

［1］ 郭華.深度學習及其意義［J］.課程·教材·教法，2016（11）：25-32.

［責任編輯：李璟］