幾何符號語言訓練初探

耿征

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求訓練學生合情推理和演繹推理的能力，而這兩種能力主要體現在幾何符號語言的表達上.幾何符號語言作為數學語言的重要分支，在幾何學中既是幾何知識的載體，又是學生邏輯推理的重要體現，可以說幾何的學習離不開對幾何語言的理解與掌握.在初中數學學習中，所有幾何知識的學習都涉及符號語言的訓練和表達.可見，提高幾何符號語言的表達能力至關重要.

關鍵詞：幾何；符號語言；訓練策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0023-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，學生要會用數學的語言表達和描述現實世界.在這種理念的指導下，筆者先對兩個案例進行分析，指出學生學習幾何符號語言存在的困難，再針對困難從宏觀和微觀兩個方面給出解決策略.

1 案例分析

例1如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F.求證：∠CFE=∠CEF.

證明因為∠ACB=90°，所以∠CEF+∠1=90°（直角三角形兩銳角互余）.因為CD是△ABC的高，所以∠AFD+∠2=90°（直角三角形兩銳角互余）.因為AE平分∠CAB，所以∠1=∠2=12∠CAB（角平分線的定義），所以∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）.因為∠AFD=∠CFE（對頂角相等），所以∠CFE=∠CEF（等量代換）.

在此證明過程中，像“因為∠ACB=90°，所以∠CEF+∠1=90°（直角三角形兩銳角互余）”、“因為AE平分∠CAB，所以∠1=∠2=12∠CAB（角平分線的定義）”、“∠CEF+∠1=90°，∠AFD+∠2=90°，∠1=∠2，所以∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）”這些符號語言的描述，是相關結論最基本的描述，但對于“因為AE平分∠CAB，所以∠1=∠2=12∠CAB（角平分線的定義），所以∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）”，有的學生都說不出來，這說明學生不理解角平分線的定義，因此無法有條理地寫出證明過程.

由此可以看出，在證明幾何命題時，學生需根據已知條件和所證結論選擇合適的幾何定理作為推理的依據，并將幾何定理或概念用符號語言表示出來，這是學生學習幾何符號語言的第一個困難.

例2如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點，連接BM，DM，MN.求證：MN⊥BD.

解析根據已知條件∠ABD=∠ADC=90°，易得△ABD和△ADC都是直角三角形.根據圖形結構特征，BD是△ABD的斜邊，AC是△ABC的斜邊.又因為M、N分別是AC、BD的中點，根據直角三角形斜邊上中線的性質可得BM=AM=MC，DM=AM=MC，所以BM=DM，即△BMD是等腰三角形.由等腰三角形“三線合一”性質可知MN⊥BD.

顯然，本題主要考查直角三角形斜邊上中線的性質和等腰三角形“三線合一”的性質，這是《義務教育數學課程標準（2022年版）》規定的最基礎最核心的內容，是學生必須掌握的基礎知識.從圖形方面來看，本題涉及直角三角形和等腰三角形，這學生最常見的基本圖形.學生見到這個圖形很多遍了，但是仍然存在困難，不知道該如何下手.為什么會這樣呢？筆者認為，符號語言的學習，歸根結底就是對每個定理的符號語言的學習.符號語言表達能力的訓練，本質上是對文字語言的理解，就是用圖形和符號理解幾何命題.而符號語言表達的本質，就是圖形和符號的聯想，即由圖形想到相應的符號語言.由此可以看出，學生缺少文字語言和圖形語言、符號語言之間的互相轉化的能力，是幾何符號語言學習的第二個困難，是影響學生幾何推理能力的關鍵.

2 解決策略

2.1 從宏觀方面而言，需建構知識體系

學生對幾何圖形的認識，是一個由簡單到復雜的過程.先是認識點、線，再到形、體；先是每種圖形的定義、表示方法，再到每種圖形的性質和判定；先是孤立學習每個圖形，再到圖形之間的聯系和結合.

2.1.1 建立圖形體系

對于點而言，初中階段僅僅認識其表示方法；對于線而言，包括直線、射線和線段，根據直線的位置關系，有相交線和平行線兩種，而相交線又會產生角；對于形而言，初中階段主要研究三角形、四邊形和圓三種圖形，如圖3所示.

2.1.2 建立圖形性質和判定體系

以四邊形為例，初中階段主要從旋轉角度研究特殊的四邊形，包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形，而每一種圖形的性質和判定研究的過程又很相似，具體見表1和圖4.

2.2 從微觀上而言，需建立不同語言相互轉化的橋梁

數學語言包括文字語言、圖形語言和符號語言.在初中數學學習中，所有的數學問題基本是通過這三種語言來描述的，許多數學問題的解決也是依靠數學語言之間的轉換實現的[1].

2.2.1 明確每個命題的本質——條件和結論

在學習“三角形內角和定理”時，教師可提出問題：你能將其改寫為“如果…，那么…”的形式嗎？學生思考并回答：如果一個圖形是三角形，那么它的三個內角的和是180°.教師總結，此命題的條件就是“一個三角形”，結論就是“三個內角的是180°”.教師由此引導根據條件畫出幾何圖形，并根據條件和結論，用符號語言描述這個命題，然后利用所學知識進行證明.學生完成后，教師總結，得到三角形內角和定理，如表2所示.

每個命題都是由條件和結論組成的，而這也正是每個命題的本質，明確了條件和結論，學生就不會再出現條件和結論分離的情況.因此，每個命題的學習，都需先引導學生明確條件和結論.

2.2.2 有意識強化三種語言之間的聯系

對于每一個命題，文字語言、圖形語言和符號語言是不可分割的.在初中數學教學中，教師需有意識引導學生強化三種語言之間的相互轉化.

例3如圖5，在△ABC中，AC=5，BC=4，AB的垂直平分線DE分別交AB、AC于點E、D.求△BCD的周長.

解析根據已知條件可知DE是線段AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可知DA=DB.從而△BCD的周長為BC+CD+DB=BC+CD+AD=BC+AC=9.

顯然，本題主要考查線段垂直平分線的性質，即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.解決本題的關鍵是實現文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉化，從而建立已知條件與所求結論之間的邏輯關系，為問題解決創造條件.在解決本題時，教師可引導學生在圖5中標注已知條件中的垂直平分線，并根據垂直平分線的性質表達推理過程.即“因為ED垂直平分AB，所以DA=DB”.顯然，當學生在圖形中標注垂直平分線時，就自然能夠寫出相應的符號語言.

因此，對學生而言，每一道幾何命題都是強化訓練的一次機會.每遇到一個問題，教師都要引導學生借助關鍵詞找到相應的圖形.這樣就能夠將文字語言、圖形語言和符號語言緊緊聯系在一起.

3 結束語

在日常教學中，有意識地從宏觀方面構建幾何圖形體系，從微觀方面關注每個定理三種語言之間的轉化，可以有效提高學生幾何符號語言表達能力，從而提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，提升學生的幾何推理能力.

參考文獻：

［1］ 郭鑫培，閆瑞敏.“玩轉”數學語言 解題不再困難[J].中學數學，2022（15）：89-91.

［責任編輯：李璟］