如何理解新課標初中階段的“數據分類

李健 秦德生

【摘 要】 為了適應大數據時代，新課標初中階段增加了“數據分類”內容.數據分類有兩種類型，一種是體現判別思想的數據分類，一種是體現聚類思想的數據分類，新課標初中階段的“數據分類”體現了聚類思想.結合聚類分析的定義、特點等討論得出，新課標初中階段的“數據分類”是聚類分析中的最優分割法的一種特殊、簡化形式，能夠滿足為初中生提供入門級的“聚類”學習的基本需求.

【關鍵詞】 新課標；數據分類；聚類分析；大數據

大數據時代背景下，加強基礎教育階段的“數據”學習，成為數學課程設置符合時代發展的必然選擇.造就當今之大數據時代的主要因素有三：保存數據能力的增強，生產數據能力的增強，使用數據能力的增強［1］.其中，唯有使用數據能力密切關聯到基礎教育階段的數學課程.為了適應大數據時代，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱《標準》）初中階段增加了“數據分類”的內容.隨之而來的問題是，絕大多數一線教師對這一新增內容并不熟悉，該內容也自然成為教學關注要點.

在《標準》初中階段關于“數據分類”的教學提示中，明確指出：要引導學生通過對實際問題中數據的分類，了解數據分類的意義和簡單的數據分類方法［2］76.那么，《標準》初中階段的“數據分類”究竟指什么？我們應該如何理解它呢？

1 兩種不同思想的“數據分類”

從字面意義來看，“數據分類”是指將數據分成不同的類.那么，一個需要重點關注的問題就是：要將數據分到什么樣的類當中？一般而言，“數據分類”有兩種形式：第一種是事先知道可以將數據分入哪些類別中，分類的重點是判別不同數據各自屬于哪一類；第二種是事先不知道可以將數據分入哪些類別中，分類的重點是基于數據特征構建出不同類別.

第一種分類形式的核心思想是：先確定劃分類別，再按準則將數據判別到已知類別中.在日常生活中，這種基于判別思想的數據分類極為常見.例如，某公司招聘員工時，招聘方希望通過筆試考核篩選出部分應聘人員進入面試，為此事先確定了兩個類別及相應的分類標準：筆試成績60分以下為“淘汰”，60分及其以上為“晉級”.按照這一分類準則，就可以將所有參加筆試者按成績分到“淘汰”與“晉級”兩類當中.

第二種分類形式的核心思想是：事先無類別劃分，按照“組內親近，組間疏遠”的原則將數據聚成不同類別.例如，在上述利用筆試成績篩選應聘人員進入面試的例子中，招聘方可以事先不確定進入面試的及格線，也就是不給出具體的類別，而根據應聘者筆試成績，按照一定的原則（如組內離差平方和最小原則）將所有應聘者按成績劃分為“淘汰”和“晉級”兩類.

在多元統計分析中，具有第一種分類思想的分類方法稱為判別分析，在此稱之為體現判別思想的“數據分類”；具有第二種分類思想的分類方法稱為聚類分析，在此稱之為體現聚類思想的“數據分類”.

2 聚類與聚類分析

在知曉了兩種不同分類思想的“數據分類”后，我們再來看《標準》中的“數據分類”究竟屬于哪種類型.《標準》關于“數據分類”的內容要求指出，知道按照組內離差平方和最小的原則對數據進行分類的方法［2］74.由于這種方法需要基于一定的原則確定類別，所以屬于體現聚類思想的“數據分類”.因此，《標準》中的“數據分類”，更確切地說，應該稱之為“數據聚類”.

為了更好地認識這種體現聚類思想的“數據分類”，有必要了解聚類與聚類分析.聚類的思想自古有之，《周易·系辭上》有言：方以類聚，物以群分，吉兇生矣.意指各種方術因種類相同而聚合，天下萬物因類別不同而區分，可以通過聚類洞悉事物的本質特征.聚類的目標在人們心目中是很明確的，聚類可以幫助人們找到特征相似的對象，進而可以將紛繁復雜的對象歸類處理.

談及數學中的“聚類”，一個比較常見的定義是：把一個數據對象的集合劃分成若干個子集，使子集內對象彼此相似、子集間對象不相似的過程［3］.盡管這個定義比較形象，但形式化程度不高，在數學上的可操作性不強.接下來，再看一個可操作性稍強的定義：給定n個對象的某種表示，根據某種相似度度量，發現K個簇，使得簇內對象的相似度高，簇間對象的相似度低［4］.簇內對象的相似度越高，簇間對象的相似度越低，則聚類效果越好；反之，則聚類效果越差.在這一定義方式下，找到合適的數學符號表示相似度，就成為“聚類”的關鍵之一，有助將現實世界中的“聚類活動”轉化為數學世界中的“聚類分析”.

3 從聚類分析看“數據分類”

為了進一步理解《標準》中的“數據分類”，有必要進一步從聚類分析的視角審視“數據分類”.

按照聚類分析的定義，為了使聚類具有數學上的可操作性，需要為聚類分析提供一個操作標準，其關鍵在于定義數據之間的相似度.在聚類分析中，基于聚類對象的不同，又可以將其分為兩類.第一類是對數據指標的聚類，數據指標的相似度可以用各種相似系數進行刻畫，如相關系數等；第二類是對數據本身（也稱為樣品）的聚類，數據本身的相似度可以用各種距離進行刻畫，如閔可夫斯基距離（其特殊形式為歐氏距離）等［5］.《標準》中的“數據分類”，就屬于第二類.

結合《標準》中例85“數據分類的原則”［2］162-163可知，初中生需要掌握的“數據分類”方法為：先將一維數據按大小關系排成一列x1，x2，…，xn，且滿足x1＜x2＜…＜xn，再按照不同切割方法將該數列切割為兩組x1，…，xi和xi+1，…，xn，其中i=1，2，…，n-1，然后按照組內離差平方和最小原則遴選出最優的分類.實際上，聚類分析興起于上世紀初期，發展至今，已經形成了諸如系統聚類法、動態聚類法、K-均值聚類法、層次聚類法、模糊聚類法、最優分割法等多種聚類方法.其中，最優分割法是一種處理有序數據聚類問題的有效方法，由于該方法最早由Fisher提出，故也稱為Fisher最優分割法.

最優分割法所處理的數據不能變動順序，例如在確定兒童生長發展階段時，需要測量不同年齡段兒童的生長發育水平（如身高、智商等），此時需要按時間順序取樣，不能打亂數據的次序.最優分割法首先將有序的n個數據看作一類，然后再分為兩類、三類等等，直至分成n類（每個數據各自成為一類）為止，而其分類步驟涉及計算類的直徑、確定分類損失函數、確定分類個數、確定最優分類等［6］.其中，分類損失函數是確定分類方法的評判標準，其原理與組內離差平方和最小原則相似，即每次分類后產生的組內離差平方和的增量最小［7］.

對于《標準》中的“數據分類”，由于需要先將所有數據按大小關系排序，以及需要按組內離差平方和最小原則處理數據，所以可將其視為一種“神似”最優分割法的數據分類方法.盡管兩者非常相似，但也應注意到它們的一些差異.首先，最優分割法只要求數據有固定的順序，并不要求其一定按大小關系排序，但《標準》中的“數據分類”需要先將原始數據按大小關系順序排列.其次，由于《標準》中的“數據分類”實例僅要求將排序后的數據聚為兩類，所以也就無需像最優分割法那樣按照分類損失函數逐次聚類.

綜上所述，《標準》中的“數據分類”是聚類分析中的最優分割法的一種特殊、簡化形式.但與此同時也應看到，《標準》中的“數據分類”體現了基本的聚類思想，能夠滿足為初中生提供入門級的“聚類”學習的基本需求.

參考文獻

［1］涂子沛.數據之巔：大數據革命，歷史、現實與未來［M］.北京：中信出版社，2019：313.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］Han J.， Kamber M.， Pei J. Date Mining：Concepts and Techniques（3rd edition）［M］. Burlington：Morgan Kaufmann， 2012：444.

［4］張憲超.數據聚類［M］.北京：科學出版社，2017：1.

［5］袁志發，宋世德.多元統計分析［M］.2版.北京：科學出版社，2009：278-280.

［6］朱建平.應用多元統計分析［M］.4版.北京：科學出版社，2021：86-87.

［7］羅良清.統計建模技術Ⅰ：多元統計建模與時間序列建模［M］.北京：科學出版社，2021：94.

作者簡介 李健（1988—），男，重慶人，博士;主要從事數學課程與教學論研究.

秦德生（1974—），男，內蒙古通遼人，博士;主要從事數學課程與教學論研究.