默比烏斯與古羅馬的默比烏斯環

夢隱

本期封面是德國數學家、天文學家默比烏斯（August Ferdinand Mbius，1790—1868）的畫像。默比烏斯生于德國薩克森州的普福爾塔（Pforta），據說其家族與宗教改革領袖馬丁·路德有關，他就讀的普福爾塔中學出了許多名人，包括歷史學家蘭克（Leopold von Ranke，1795—1886）與哲學家尼采（Friedrich Wilhelm Nietzsche，1844—1900）。成年后的默比烏斯相繼在萊比錫大學、哥廷根大學與哈勒大學學習，1815年在數學家普法夫（Johann Friedrich Pfaff，1765—1825）指導下完成了題為《恒星之掩星》的博士論文。普法夫也是大數學家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）的導師，因此名義上默比烏斯與高斯師出同門；不過高斯比他大13歲，數學成就更是其他任何人都無法企及的。

實際上，1813年默比烏斯曾向高斯學習理論天文學，當時高斯已擔任哥廷根天文臺臺長多年了。1816年，默比烏斯被任命為萊比錫大學的天文學與高等力學教授，直到1868年去世，他一直在這所德國第二古老的大學工作。同高斯一樣，默比烏斯的表面身份是天文學家，然而他們兩人的天文學工作都幾乎鮮為人知，在數學領域卻千古留名。以默比烏斯命名的數學概念或工具包括默比烏斯平面、默比烏斯變換、默比烏斯函數、默比烏斯配置、默比烏斯反演等，涉及射影幾何、數論與拓撲學等多個數學分枝，但是最廣為人知的還是他晚年發現的一種既簡單又奇妙的拓撲結構，它可以通過把一個長條紙帶旋轉180°之后再將兩端粘上制得，這就是被后人稱為“默比烏斯帶”或“默比烏斯環”的數學模型：這是只有一個表面的環狀物，如果一只螞蟻沿著默比烏斯環前行，它將永遠走不到頭；再假如這只螞蟻有意識，它知道順時針或逆時針方向是什么意思，但是游歷一周返回出發點時卻發現原先認識的旋轉方向完全相反了。用拓撲學的術語講，默比烏斯環是一個不可定向（non-orientable）的表面；實際上每個不可定向的曲面都包含一個默比烏斯環。

另一位叫利斯廷（Johann Benedict Listing，1808—1882）的德國數學家也提出了這一單面環帶的幾何模型，時間可能還要早幾年，他也是“拓撲學”（Topologie）這一術語的提出者。不過默比烏斯環（或帶）的叫法已經約定俗成，況且他研究這一題材的軌跡也更為清晰。為了準備參加法國科學院有關多面體幾何理論的競賽，默比烏斯曾考慮通過折疊與粘合三角形來逐步構造多面體，在這一過程中發現了單面曲面。在他身后出版的著作全集里，收錄了一篇未曾發表的1858年文稿，其中包含了圖1中那種扭轉了3、4、5個半圈的環帶：默比烏斯系統地分析了這類環帶，發現旋轉180°的次數如果是奇數，產生的環帶只有單面；如果次數是偶數，則環帶仍然具有正反兩面。默比烏斯環還有很多特性，這里省略。

制作一個默比烏斯環是如此容易，很難想象沒有人更早發現過它，只不過沒有認識其數學內涵而已。的確，在利斯廷與默比烏斯之前，沒有人從數學上去考察它。有趣的是，在意大利的古羅馬時代遺跡森提農（Sentinum）的別墅中，人們發現了一幅公元200—250年前后制作的馬賽克壁畫，畫面中央是羅馬神話中的永恒時間之神，站在一條繪著黃道十二宮的環帶之中，仔細觀察，可以發現這是一條默比烏斯環。這件藝術珍品后來被德國人買走，從1828年起就在慕尼黑的古代雕塑博物館展出。默比烏斯或利斯廷是否參觀過這件藝術品就不得而知了。

封二圖A就是這幅馬賽克壁畫。永恒時間之神的名字是Aion，有人翻譯成“艾詠”或“艾永”，我則建議譯作“愛永”，其形象通常是一個裸體男性，伴隨象征死而復生的蛇或周而復始的輪環。圖中的愛永站在一個象征時間輪回的默比烏斯環狀的黃道帶內，帶面上鑲著代表十二宮的圖形（十二宮的順序不夠準確）。黃道環兩側各有一棵大樹，左邊的枝頭似已結出果實，右邊正在長出新葉。右側地面上半臥的女子是羅馬人的大地女神特魯斯（Tellus），相當于希臘神話的蓋婭（Gaia），圍繞她的四名孩童象征一年中的四個季節。

古羅馬壁畫、雕塑乃至錢幣上都有伴著黃道帶的愛永形象，但是莫比烏斯環形狀的圖像可能僅此一件。封三圖C是在法國發現的羅馬時代馬賽克拼嵌地板中的愛永形象，圖中的黃道帶不是默比烏斯環。

默比烏斯環引起許多藝術家的興趣，最有代表性的就是荷蘭畫家埃舍爾（Maurits Cornelis Escher，1898—1972）了。封二圖B和封三圖D就是他的作品，深得科學家們的喜愛。李政道在《科學與藝術》一文中就引用了埃舍爾的《騎士》圖，以此說明用藝術手法表達科學思想的意義。楊振寧則將它作為自己《基本粒子發現簡史》（上海科學技術出版社，1963）的封面，借此闡釋物理學中對稱、互補與締合變換等觀念。

默比烏斯環給一些建筑師帶來靈感，同時也成了一些裝潢藝術家的素材，圖2其實就是默比烏斯1858年手稿中那個壓扁了的默比烏斯環，現已成為國際公認的回收循環利用標志，有許多不同的變體。

使用皮帶輪作為傳動設置的工匠可能早就發現并利用了默比烏斯環的性質，因為將長條皮帶扭轉半圈后再聯結起來，帶子的兩面都會接觸到旋轉的輪子，磨損的速度只有正常安裝形式的一半；此外，這種形式的傳動帶也不太容易左右卷曲。對于這種技術的早期文字記錄可以追溯到1871年，那是在莫比烏斯的著作出版之后；不過中世紀穆斯林伊斯梅爾·賈扎里（Ismail al-Jazari，1136—1206）的一幅繪圖手稿中就出現了默比烏斯環狀配置的鏈條泵圖像。

默比烏斯環也經常出現在科幻小說、電子游戲與影視作品中，通常的梗子就是把宇宙想象成如同默比烏斯環那樣的構造，如《黑暗之墻》。1950年，美國天文學家多伊奇（Armin Joseph Deutsch，1918—1969）發表了一篇科幻短篇《一個叫做默比烏斯的地鐵線》（A Subway Named Mobius），描繪波士頓地鐵開辟了一條按照默比烏斯環設計的新線路，進入這條線路的波士頓MTA86號列車失蹤了，系統管理者搞不明白它如何消失了，更無法解釋它好像仍消耗電力在系統里運行。2019年美國華特迪斯尼推出的《復仇者聯盟4：終局之戰》（Avengers： Endgame）中，大英雄托尼·斯塔克（Tony Stark）嘗試借由莫比烏斯環模擬時空攔截與時間指向，竟然獲得成功。

參考資料

［1］ 李國偉. 默比烏斯把紙帶轉了幾圈［A］. 李國偉. 數學文化攬勝集（藝數篇）［M］. 北京： 高等教育出版社， 2004．