含絕對值的一元一次方程的解法淺析

羅明珍

【摘要】本文通過轉化的數學思想，從“代數法”和“零點分段法”“解析法”三個方面出發，試圖層層遞進、由淺入深地去探索兩類簡單的含有絕對值的一元一次方程的解法.

【關鍵詞】轉化；絕對值；零點分段法

絕對值符號中含有未知數的一次方程，叫做含絕對值的方程，簡稱絕對值方程. 解這類方程的基本思路是：脫去絕對值符號，轉化為普通的一元一次方程求解.

題型1 只有一個絕對值里含有未知數，如x=－2.

這個問題學生容易錯解為x=－2，但事實上，此問題等價于方程x=2，于是x=±2，只要掌握了這種方法，那么諸如x－1=－2、2x－1=－2等此類只有一個絕對值里含有未知數的方程，都能轉化為此類題型輕松求解了.

題型2 兩個絕對值里都含有未知數，且含有絕對值的兩項同號，如x+1=2x－2.

②如圖3，當－1

③如圖4，當x≥1時，x+1=x+1，2x－2=2x－2，原方程可轉化為x+1=2x－2，解得x=3.

因此，綜上所述，x=3或x=1/3.

解法3 解析法

考慮到絕對值的幾何意義本質上就是距離，于是可以把諸如題型2的問題轉化為如下問題：

在平面直角坐標系中，已知點P（x+1，2x－2），若點P到兩坐標軸的距離相等，求x的值.

如圖5、圖6，根據平面直角坐標系的知識，可知到兩坐標軸的距離相等的點一定在象限的角平分線上，因此又可分為以下兩種情況：

情況1 若點P在第一、三象限的角平分線上，則有x+1=2x－2，解得x=3.

情況2 若點P在第二、四象限的角平分線上，則有（x+1）+（2x－2）=0，解得x=1/3.

綜上所述x=3或x=1/3.

可見如果將這類問題轉化為平面直角坐標系中的問題，會變得更加形象、直觀，也更加有趣，更重要的是方法上更加具有普遍意義.

題型3 兩個絕對值里都含有未知數，且含有絕對值的兩項同號，并含有常數項，如x+1=2x－2－2.

這個題仍然可以用題型2中的解法1和解法2進行分類討論來求解，在此不作贅述. 接下來主要運用解析法來嘗試解答.

形如x+1=2x－2這類兩個絕對值里都含有未知數，且含有絕對值的兩項同號的方程我們已經會轉化為平面直角坐標系中的問題來求解. 現在x+1=2x－2－2只比x+1=2x－2多了一個常數項，有沒有可能把題型3的問題轉化為形如題型2的方程來求解呢？

沿著這個思路，我們先把題型3的問題轉化為平面直角坐標系中的問題：

在平面直角坐標系中，已知點P（2x－2，x+1），若點P到x軸的距離比到y軸的距離少2，求x的值.

如果把平面直角坐標系向下平移兩個單位，那么得到的新的點P′到x軸的距離與到y軸的距離就相等了，此時點P′的坐標為（2x－2，x+3）. 這樣一來就轉化成了題型2的問題，于是可以分為以下兩種情況：

情況1 若點P在第一、三象限的角平分線上，則有2x－2=x+3，解得x=5.因此點P′（8，8）.

情況2 若點P在第二、四象限的角平分線上，則有（2x－2）+（x+3）=0，解得x=－1/3.因此點P′（－8/3，8/3）.

有趣的是，由于新的坐標系沿著y軸方向上下移動并不會改變橫坐標的值，因此可得在原坐標系中，點P的橫坐標也為8或－8/3，從而進一步可得x=5或x=－1/3.

含有兩個絕對值的一元一次方程遠不止本文中提到的類型. 本文旨在研究含有兩個絕對值的一元一次方程的解法，希望能給初中孩子一些方法上的啟發.

參考文獻：

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