研究習(xí)題 學(xué)習(xí)對(duì)稱

習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是同學(xué)們鞏固知識(shí)、錘煉方法、訓(xùn)練思維、提升素養(yǎng)的重要陣地，同學(xué)們要養(yǎng)成主動(dòng)研究習(xí)題的良好習(xí)慣，為提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)．

1．習(xí)題呈現(xiàn)，

人教版數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)第80頁(yè)第1 1題內(nèi)容如下：如圖1，三角形COR是中三角形AOB經(jīng)過(guò)某種變換后得到的圖形，觀察點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)之間的關(guān)系，三角形AOB中的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)M經(jīng)過(guò)這種變換后得到點(diǎn)N，點(diǎn)N的坐標(biāo)是什么？

2．思路梳理．

本題以三角形經(jīng)某種變換為問(wèn)題情境，讓同學(xué)們探索對(duì)稱變換的特點(diǎn)．解題關(guān)鍵是明白變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間遵循的基本規(guī)律，不同的變換，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間遵循的基本規(guī)律是不同的，這一點(diǎn)同學(xué)們務(wù)必清楚把握，明確了題意，找準(zhǔn)了方向，只要同學(xué)們有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，接下來(lái)的解答就會(huì)變得容易．

3．解法展示．

根據(jù)題意，知點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)C（2，-3），不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，故點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，因?yàn)辄c(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），所以點(diǎn)Ⅳ的坐標(biāo)為（X，-y）．

4．解后反思．

平面直角坐標(biāo)系中有三種對(duì)稱，分別是關(guān)于X軸對(duì)稱，關(guān)于y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．學(xué)習(xí)時(shí)，務(wù)必把三種對(duì)稱作為一個(gè)整體來(lái)認(rèn)識(shí)和掌握，全面把握三種對(duì)稱的特點(diǎn)．對(duì)于三種對(duì)稱，我們分析如下：

（l）點(diǎn)A，B分別位于平面直角坐標(biāo)系中x軸的兩側(cè)，AB丄x軸，垂足為C．若AC=BC，則A，B兩點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱．其特點(diǎn)為：①AB∥Y軸；②A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同：③A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．

（2）點(diǎn)A，B分別位于平面直角坐標(biāo)系中y軸的兩側(cè)，AB丄y軸，垂足為C，若AC=BC，則A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．其特點(diǎn)為：①AB∥X軸；②A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同：③A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．

（3）A，B是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，線段AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若AO=OB，則A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其特點(diǎn)為：①原點(diǎn)是線段．AB的中點(diǎn)；②A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)：③A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．

5．實(shí)際應(yīng)用．

例1 （2023年懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，-3）關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)P，的坐標(biāo)是（ "）．

A．（-2，-3）

B．（-2，3）

C．（2，-3）

D.（2，3）

分析：這是對(duì)稱的直接應(yīng)用，解答時(shí)，同學(xué)們要把握三點(diǎn)：一是看清楚已知點(diǎn)的坐標(biāo)，這是解題基礎(chǔ)；二是看準(zhǔn)題中說(shuō)的是哪一種對(duì)稱，這是關(guān)鍵，審題失誤，就會(huì)導(dǎo)致解題出錯(cuò)；三是寫準(zhǔn)結(jié)論，嚴(yán)格按照題中所說(shuō)的對(duì)稱去求解，規(guī)范解題步驟，提升解題能力．

解：點(diǎn)P（2，-3）關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)P，的坐標(biāo)是（2，3），故選D．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．

例2 （2023年金華，改編）如圖2，兩盞燈籠／A．B的坐標(biāo)分別是（-3，3），（1，2）.若將點(diǎn)B先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B’，則關(guān)于點(diǎn)A，B’的位置描述正確的是（ ）．

A．關(guān)于X軸對(duì)稱

B．關(guān)于y軸對(duì)稱

C．關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱

D．兩點(diǎn)重合

分析：先運(yùn)用平移規(guī)律，確定平移后得到的點(diǎn)B’的坐標(biāo)，再觀察點(diǎn)A的坐標(biāo)與點(diǎn)B’的坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而作出選擇即可．

解：因?yàn)辄c(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-3，3），（1，2），將點(diǎn)B先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B’，所以點(diǎn)B，的坐標(biāo)為（3，3）.觀察點(diǎn)A與點(diǎn)B’的坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)，它們的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，故點(diǎn)A，B’關(guān)于y軸對(duì)稱，故選B．

點(diǎn)砰：根據(jù)對(duì)稱求點(diǎn)的坐標(biāo)是對(duì)稱知識(shí)的順向應(yīng)用，利于順向思維的訓(xùn)練；而根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征判定對(duì)稱是對(duì)稱知識(shí)的逆向應(yīng)用，利于數(shù)學(xué)逆向思維的訓(xùn)練，利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)探索精神．

例3 已知點(diǎn)A（-2，1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），則a+b=____．

分析：先確定點(diǎn)A（-2，1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，再確定a，b的值，然后代人計(jì)算即可，

解：因?yàn)辄c(diǎn)A（-2，1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），所以a=2，b=l，所以a+b=3．故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．

試一試

1．（2023年臨沂）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽了8棵樹(shù)，如圖3所示．A，B兩樹(shù)的位置關(guān)于豎直方向的小路對(duì)稱，在分別以兩條小路的中心線為x軸、y軸的平面直角坐標(biāo)系（水平方向的小路的中心線為x軸）內(nèi)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）．

A.（6，2） " "B．（-6，-2）

C.（2，6） " "D．（2，-6）

2．已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，6]，則下列結(jié)論正確的是（ " "）．

A．點(diǎn)A到x軸的距離為5

B．點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為6

C．點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，-6）

D．點(diǎn)A關(guān)于y，軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，6）

參考答案：1．A "2．D