一“橋”飛架數(shù)與形

“代數(shù)學(xué)”與“幾何學(xué)”在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，是各自獨(dú)立的領(lǐng)域，由法國數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)建的平面直角坐標(biāo)系，在這兩個(gè)領(lǐng)域間架起了一座“橋”，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化．

一、探索現(xiàn)實(shí)問題，實(shí)現(xiàn)維度跨越

在幾何學(xué)l{1．能夠直觀地看到兩條相交的直線確定一個(gè)點(diǎn)，利用代數(shù)方法確定點(diǎn)的位置時(shí)，則需要找到相應(yīng)的定位方法．

1．一維定位：確定直線上點(diǎn)的位置，

要確定直線上點(diǎn)的位置，則需要確定基準(zhǔn)點(diǎn)與基準(zhǔn)方向，即原點(diǎn)與正方向，同時(shí)，必須對(duì)單位長(zhǎng)度做好規(guī)定，在明確了原點(diǎn)、正方向、坼位長(zhǎng)度的直線（數(shù)軸）上，任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)就叫作這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)．用數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就能確定這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置．

以教室座位為例，如罔1所示，一排有若干個(gè)席位（座位問距離相等）．老師想給每個(gè)座位命名，若E同學(xué)的座位被命名為I，G同學(xué)的座位被命名為3，請(qǐng)問老師應(yīng)該如何為B同學(xué)的座位命名．

我們可以將這排座位抽象為一條直線上的一個(gè)個(gè)的點(diǎn)．E同學(xué)的座位被命名為1，G同學(xué)的座位在其右邊，被命名為3，可以確定向有的方向?yàn)檎较颍畠勺幌嗖?，正好對(duì)應(yīng)兩個(gè)座位間隔，由此可確定單位長(zhǎng)度為相鄰座位的問距，并推斷出D同學(xué)的座位為原點(diǎn)（如圖2）．故B同學(xué)的座位應(yīng)該被命名為-2.

如圖3（1），這是B同學(xué)班級(jí)部分座位平面圖，各個(gè)座位與前后左右鄰座的問隔相同．此時(shí)如何為H同學(xué)的座位命名呢？

畫出數(shù)軸，由圖3（2）可以看到，雖然B同學(xué)和Ⅳ同學(xué)的座位在橫向上都可以用-2來表示，但兩人的座位在縱向上所處位置不同．利用一維定位的方法，無法對(duì)H同學(xué)的座位進(jìn)行命名，必須增加新的條件才能解決問題．

2．二維定位：確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置．

在平面內(nèi)再畫一條與已知數(shù)軸垂直，且原點(diǎn)重合的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系．水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向：豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，習(xí)慣上取向上為正方向：兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)．

在平面內(nèi)確定一個(gè)點(diǎn)的位置，只需要一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)就可以了，這個(gè)數(shù)對(duì)之所以叫作有序?qū)崝?shù)對(duì)，是因?yàn)閿?shù)對(duì)中兩個(gè)實(shí)數(shù)有順序之分，比如，當(dāng)a≠b時(shí)，（a，b）所表示的點(diǎn)與（b，a）所表示的點(diǎn)的位置是不同的，

平面內(nèi)的點(diǎn)在橫向上的位置會(huì)在x軸上體現(xiàn)，在縱向上的位置會(huì)在y軸上體現(xiàn)．從圖4中可以看到，將H同學(xué)的座位抽象為一個(gè)點(diǎn)，分別向X軸、y軸作垂線，得到了與X軸、y軸相交的兩個(gè)點(diǎn)（垂足）．這兩個(gè)點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)-2.1．顯然，垂足N在X軸上的坐標(biāo)為-2，垂足M在y軸上的坐標(biāo)為1．我們可以用有序數(shù)對(duì)為H同學(xué)的座位命名，即（一2，1），而這個(gè)有序數(shù)對(duì)就是H同學(xué)的座位在平面內(nèi)的坐標(biāo)．

學(xué)會(huì)了如何表示平而內(nèi)的點(diǎn)的位置，大家可以試試對(duì)上面問題中所有的座位進(jìn)行命名，

二、分析圖形變化，總結(jié)特征規(guī)律

不難發(fā)現(xiàn)，平面直角坐標(biāo)系建立后，坐標(biāo)平面被兩條坐標(biāo)軸分成了I．Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個(gè)部分（如圖5所示），每個(gè)部分稱為象限，分別叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限．探索發(fā)現(xiàn)，每個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)以及坐標(biāo)軸上的點(diǎn)都具備一定的特征：

當(dāng)點(diǎn)P（x，y）位于第一象限時(shí)，xgt;0，ygt;0;當(dāng)點(diǎn)P（x，y）位于第二象限時(shí)，xlt;0，ygt;0;當(dāng)點(diǎn)P（x，），）位于第三象限時(shí)，xlt;0，），0．ylt;0.

當(dāng)點(diǎn)P（X，y）在X軸上時(shí)，y=0;當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在，，軸上時(shí)，x=0.

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移，圖形上所有點(diǎn)的位置都發(fā)生了變化，根據(jù)點(diǎn)的變化特征，我們可以得出以下結(jié)論：

將點(diǎn)P（x，y）向右或左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x+a，_y）或（x-a，y）；將點(diǎn)P（x，y）向上或下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，y+b）或（x，y-b）． 試一試

1．（2023年臺(tái)州）在中國象棋棋盤（不完整）中，建立如圖6所示的平面直角坐標(biāo)系，已知“車”所在位置的坐標(biāo)為（-2，2），則“炮”所在位置的坐標(biāo)為（ "）．

A．（3，1） " "B．（1，3）

C．（4，1） " "D．（3，2）

2．（2023年紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（m，n）先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，最后所得點(diǎn)的坐標(biāo)是（ " "）．

A．（m-2，n-l） " "B．（m-2，n+l）

C．（m+2，n-l） " "D.（，n+2，n+l）

參考答案：1．A "2．D