基于擾動觀測器的終端滑?；煦缦到y控制

張曉雪，王 成，翟宇凡

（淮南師范學院 金融與數學學院，安徽 淮南 232038）

自從L.M.Pecora 等［1］開創了包括混沌系統同步在內的非線性動力學研究領域以來，有關混沌控制與同步的研究受到了廣泛的關注?；煦缟婕暗念I域包括物理、化學、生物、醫學、社會經濟、信息處理和安全通信［2-3］等。包括反饋線性化、PID 控制、反推控制和終端滑膜控制在內的混沌控制技術已經用于解決混沌同步問題。最近，一些學者利用有限時間控制方法研究了混沌系統的控制問題，取得了許多有價值的成果，例如：S.P.Bhat 等［4］首次提出了非線性系統的有限時間控制方法，并用此方法處理了由終端滑模控制器引起的自適應律抖振問題；SUI S 等［5］運用有限時間控制方法研究了一類非嚴格反饋系統的穩定性問題。在此基礎上，我們為一類不確定二階混沌系統設計了一種基于擾動觀測器的終端滑?？刂品椒?，利用擾動觀測器觀測外部擾動，通過數值仿真證明擾動估計誤差在有限時間內能收斂到零，以此說明控制方法的有效性。

1 系統描述

考慮如下一類二階混沌系統

其中，x(t)=[x1(t),x2(t)]T∈R2為系統狀態，f(t,x(t))∈R為系統未知函數，d(t)∈R為未知在擾動，g(x(t))∈R為已知控制系統增益函數，u(t)∈R為控制輸出。

需要說明的是常見的二階Duffing 系統、二階水平平臺系統和二階電力系統等都可歸結為系統（1）。由于上述系統在給定某些參數條件下會出現有害的混沌現象，故研究系統（1）的穩定性控制具有重要的現實意義。

為了使設計的擾動觀測器能夠精確估計系統（1）中的未知項組成的混合擾動，使系統（1）的狀態x1(t)能夠在有限時間跟蹤參考信號x d(t)，做如下假設。

假設1：系統狀態x(t)、參考信號xd(t)以及其導數和是可測函數。

假設2：函數f(t,x(t))和外在擾動d(t)是有界函數。

g(x(t))雖然是已知函數，但在某些時間點可能會出現奇異。為了消除奇異的影響，引入輔助控制器u1(t),且u1(t)滿足

其中τ為小的正常數。

將式（2）代入式（1）中，系統（1）可改寫為

由假設2 和控制器的有界性可知，存在β>0,使得|D(t)|<β。

2 用到的引理

為了得到本文的結論，先給出兩個引理。

引理1：設V(t)為連續正定函數，若對于任意的t>t0,V(t)的導數滿足

則V(t)在有限時間ts內到達原點，滿足

其中，q1和p1為正奇數，且有q1

引理2：若0<γ≤1,a1,a2,…,an≥0,則有

3 控制系統

設計擾動觀測器為

其中，k1和k2為正的設計參數，c1和c2為正奇數，且c1

其中w(t)的導數為

由式（3）、式（7）、式（8）和式（9）可得

假設跟蹤誤差為

設計終端滑模流形為

其中，k3和k4為正的設計參數，c1和c2與（7）式中的相同。顯然，由式（10）和式（11）可求s(t)的導數

基于上述內容，可設計控制法則

其中k5和k6為正的設計參數。

4 主要結論

定理1：若擾動觀測器和控制法則分別為式（7）和式（13），則跟蹤誤差在有限時間能到達原點，且能通過擾動觀測器精確估計混合擾動。

證明：假設Lyapunov 函數為

由假設1、假設2 和引理2 可知

5 數值仿真

現在利用Duffing 振蕩模型驗證所本文給出方法的有效性。Duffing 振蕩模型為

為了證明滑?？刂频挠行?，分別取控制策略式（7）、式（8）、式（9）和式（13）中的參數為c1=3,c2=5,k1=3,k2=1,β=20,t=0.2,k3=2,k4=3,k5=2,k6=1,取系統初值[x1(0),x2(0)]T=[1,0.2 ]T,在觀測器中，取w(0)=0,利用Matlab 進行數值仿真，可得如圖1、圖2 和圖3 所示的結果。

圖1 跟蹤誤差e1（t）隨時間的變化情況

圖2 混合擾動的精確估計結果

圖3 控制輸入隨時間的變化情況

分別從圖1、圖2 和圖3 可以看出，跟蹤誤差e1(t)在有限時間到達原點，混合擾動能夠被精確有效估計，整個控制輸入在初始階段出現抖動但很快趨于穩定，這說明本文給出的控制方法是有效的。

6 結束語

在本文中，我們研究了二階非線性混沌系統的跟蹤同步問題，并得到以下結論：終端滑模面保證了跟蹤誤差 在有限時間內到達原點，利用所設計的擾動觀測器能夠精確有效地估計混合擾動，通過數值仿真證明了方法的可行性。