神奇的數字“黑洞”

華騰飛

大家都知道，在浩瀚無邊、茫茫無際的 宇宙之中，存在著一種極為神秘的天體，人 們稱之為“黑洞”.由于“黑洞”這種物體的密 度非常大，引力特別強，任何物體一旦經過 它的附近，都會無一例外地被它“吸引”進 去，再也不能逃逸出來，就連光線也難逃被 “吸引”進去的厄運，“黑洞”的名稱便由此而 來.無獨有偶，在看似平淡無奇的數學王國中 也存在著這種神秘的“黑洞”.這些“黑洞”也 有很大的魔力，能將很多數字“吸”進去，使 它們再也找不到出路.

20世紀上葉，希緒弗斯“黑洞”（即123 數字“黑洞”）首先被提出來.后來，隨著人們 對這個問題研究與探討的深入，又發現了數 學中更多有趣的“黑洞”.對于數學中的“黑 洞”，無論是什么樣的數值，在規定的運算法 則下，最終都將會得到一個確定不變的值， 此后再也跳不出去了.

下面就談談幾種常見的數字“黑洞”，感 受數學知識的神奇與美妙吧！

三位數的“黑洞”

請你任意寫出一個三位數（三個數位上 的數字不完全相同），分別將這個三位數上的三個數字按從大到小和從小到大的順序 進行排列，重新組成兩個不同的三位數.然后 對得到的這兩個三位數求差，得到一個新的 三位數（注意，如果得到是兩位數，則百位上 數字視為0）.我們將新得到的這個三位數再 進行上述操作，會得到另一個三位數.這樣不 停地重復做下去，你就會有一個神奇的發現.

下面我們一起來看一看，究竟能發現什么秘密！

例如，任選一個三位數323.將它每個數 位上的數字按從大到小的順序排列，得到一 個新的三位數為332；再將三個數字按從小 到大的順序排列，這樣又得到一個三位數233.得到的這兩個三位數之差為332-233= 099（注意，0也應作為一個數字按序排列）. 按照上述方法重復操作，則有：990-099=891，981-189=792，972-279=693，963-369=594，954-459=495，954-459=495……

這種不斷地重復同一操作的過程，在計 算機應用技術上被稱為“迭代”.非常有趣的 是，對于任何一個各位上數字不完全相同的 三位數，經過上述的有限次迭代之后，最終 都會陷入495這個“黑洞”之中而不能自拔. 你還在懷疑嗎？那就請你再隨機取幾個三位 數試試吧！

四位數的“黑洞”

相信大家興趣盎然地試了幾個三位數之 后，肯定會提出這樣的疑問：對于任意一個數 字不完全相同的四位數，是不是也會出現相 似的情況呢？對于這個問題，回答是肯定的

希緒弗斯“黑洞”的發現，激發了數學家 們對該領域的濃厚興趣和探究激情.1955年， 卡普耶爾發現了著名的6174這個四位數 “黑洞”，即把一個四位數的四個數字分別按 照從大到小和從小到大的順序排列，得到兩 個四位數.將這兩個四位數相減，得到一個 新的四位數.然后以這個新的四位數為基礎 重復上述操作，這樣不斷地重復上述步驟，最 后都會跌入6174這個“黑洞”之中.

下面我們選一個四位數驗證一下.如對于9365，有：9653-3569=6084，8640-0468=8 172，8 721-1 278=7 443，7 443-3 447=3 996，9 963-3 699=6 264，6 642-2 466=4 176，7 641-1 467=6 174，7 641-1 467=6 174….

大家不妨再任選幾個滿足要求的四位 數試一試.你會發現，它們都將無一例外 地跌入6174這個“黑洞”之中.

多位數的“黑洞”

數學中的123原本就跟英語中的ABC 一樣平淡無奇.但是如果按照以下規則進行 運算，你就會發現其實它并不簡單.任意取一 個數字串，長度不限.依次寫出該數字串中的 偶數個數、奇數個數以及總的數字個數，再 將這三組數從左到右寫成一個新數.重復以 上步驟，看看最后會得出什么結果.

任意寫一個多位數，比如2 365 047 815 493.

數一數這個數中各數位上的數字有幾個偶 數、幾個奇數及該數是幾位數.把這三個數字 依次寫出來則又組成了一個新數，如上述數 中有6個偶數、7個奇數，是個13位數，因 此按上述要求組成的數為6713.繼續寫下去有：6713→134→123→….最終會跌入123 這個“黑洞”之中，再也出不來了.

是否每一個數最后都會跌入123這個 “黑洞”之中呢？下面我們再看一例.對于數 35926，數出這個數中各數位上的數字的偶 數個數、奇數個數及總的數字個數，可得到 235.對235重復上述程序，就得到123.再重復進行，仍得123.再如，對于數88883337777444992222，它有11個偶數、9個奇數， 是一個20位數，則按上述要求組成的數為 11920.對11920這個數重復上述操作，有11 920→235→123

為什么會出現上述的現象呢？這其中又 有什么奧秘？下面我們一起來分析一下

按上述規定的方法組成的新數，最終必 然會形成一個新的三位數，而這個數的3個 數字的奇偶性必是下述的8種情形之一： 偶、偶、偶；偶、偶、奇；奇、偶、奇；偶、奇、偶； 偶、奇、奇；奇、奇、奇；奇、奇、偶；奇、偶、偶.與 上述情形相應的可組成：303，213，123，213，123，033，123，213.其中有3種情形已形成了 123，其余的5種情形再經過一次變化也可 組成123.

平方數中的“黑洞”

對于某些自然數n，求出n的各個數位 上的數字的平方和n1，再求出n的各個數位上的數字的平方和n2……如此繼續下去，最 后會陷入1這個“黑洞”之中，難以自拔.

例如，對于1995，每個數位上數字的平 方和為12+92+92+52=188；再對188各數位上

的數字求平方和，為12+82+82=129；然后有12+22+92=86，82+62=100，12=1.經過五次求各位數 字的平方和的運算之后，就跌入了1這個“黑 洞”之中.

再如，對于87564，有：87564→190→82→68→100→1.經過五次求各位數字的平 方和的運算之后，也跌入1這個“黑洞”之中， 再也出不來了.

如果你不信的話，請再自選數字試試看.

立方數中的“黑洞”

不久之后，又有學者提出了神奇的153 數字“黑洞”，并給其取了個美妙的名字——水仙花數“黑洞”.任意找一個3的倍數（不為0），先把這個數的每一個數位上的數字都取 立方，再相加，得到一個新數.然后把這個新 數的每一個數位上的數字再取立方、求 和……就這樣反復運算下去，就會跌入153這個“黑洞”之中，難以自拔.

例如，63是3的倍數，按上面的運算規定計算如下：63+33=216+27=243→23+43+33=8+64+27=99→93+93=729+729=1 458→13+43+53+83=1+64+125+512=702→73+03+23=351→33+53+13=153→13+53+33=153

再如，對于數3，按照上述運算要求有：

3→33=27→23+73=8+343=351→33+53+13=27+125+1=153-→13+53+33=1+125+27=153……

大家還可以取3的其他倍數試一試.

任意自然數的“黑洞”

對于任意一個自然數，先將其各數位上 的數字求和，再將其和乘3，然后加上1.多次 重復這種運算操作，運算結果最終會跌入13 這個“黑洞”之中，再也出不來.

例如，對于5：5→16→22→13→13……

請大家再試一試其他自然數.

從以上幾種“黑洞”中，你是不是體會到 了數學的神奇與美妙？如果你有興趣，可對 此類問題進行深入的研究與探索，可能會有 更多、更有趣的發現！