幾何推理常識(shí)

張景中

張?jiān)菏拷o我們帶來(lái)了一些幾何推理常識(shí)，一起去看看吧．

回顧一下我們學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)，它們常常用一些語(yǔ)句來(lái)表達(dá)，現(xiàn)在來(lái)研究一下這些語(yǔ)句的特點(diǎn)，例如：

1．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條，而且只有一條直線．

2．三角形兩邊之和大于第三邊．

3．三角形的面積等于底與高的乘積之半．

4．同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有一條而且只有一條直線垂直于已知直線．

5．長(zhǎng)方形的面積等于它的長(zhǎng)與寬的積．

6．直角三角形的面積等于它的兩直角邊長(zhǎng)乘積之半．

這些語(yǔ)句有一個(gè)共同的特點(diǎn)：它們都是判斷某一件事情的句子．這種判斷某一件事情的語(yǔ)句，叫作命題．

一個(gè)命題，可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題．如果一個(gè)命題是真的，就說(shuō)這個(gè)命題成立；否則，說(shuō)它不成立．

命題可真可假，非真即假，不能含糊不清，“2+5 =7”“粉筆都是黑的…‘8比9大”，都是命題．其中有一個(gè)是真的，兩個(gè)是假的．

在數(shù)學(xué)里，特別是在幾何學(xué)里，為了突出一些重要的概念和使語(yǔ)言簡(jiǎn)明，要引進(jìn)許多專用的術(shù)語(yǔ)和記號(hào)，對(duì)這些術(shù)語(yǔ)和記號(hào)所作的說(shuō)明，叫作定義，例如，具有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫作角，就是角的定義．

在用定義說(shuō)明術(shù)語(yǔ)時(shí)，又會(huì)用到原來(lái)已知的術(shù)語(yǔ)，例如，定義角時(shí)用到射線，原來(lái)已知的術(shù)語(yǔ)要用更早已知的術(shù)語(yǔ)來(lái)定義，那么，最早的術(shù)語(yǔ)怎么辦呢？只好約定一些最基本的、不加定義的術(shù)語(yǔ)．對(duì)最基本的術(shù)語(yǔ)，可以用日常語(yǔ)言描述一下，便于理解．在幾何學(xué)中，點(diǎn)、直線、點(diǎn)在直線上、直線上的兩點(diǎn)之間，都是基本術(shù)語(yǔ)．

有些真命題是從人們長(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的規(guī)律．從這些規(guī)律中選出一些最簡(jiǎn)單的、易于理解的基本規(guī)律，作為研究幾何圖形性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn)，這些基本規(guī)律叫作公理．例如，“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條，而且只有一條直線”就是公理，

公理都是真命題，

在數(shù)學(xué)中，特別是在幾何學(xué)中，以定義和公理為依據(jù)，用推理的方法說(shuō)明其為正確的命題為定理，在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能做出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明．要說(shuō)一個(gè)幾何命題是定理，就應(yīng)當(dāng)寫出證明．

如果一個(gè)幾何命題，它不是公理或定義，但看上去像是真的，實(shí)驗(yàn)也表明它很可能是真的，我們可以說(shuō)它是一個(gè)猜想，只有給出證明，才可以把它叫作定理.