一類(lèi)三物種食物鏈模型解的全局存在性

摘" 要：在生態(tài)學(xué)中，三物種食物鏈模型是一類(lèi)極其重要的模型，它能夠描述食餌、中間捕食者和高級(jí)捕食者之間的相互作用及數(shù)量隨時(shí)間、空間變化規(guī)律。在本研究中，考慮了一類(lèi)具有非線性趨食敏感函數(shù)的食物鏈模型，在齊次Neumann邊界條件下，當(dāng)模型中的初值和參數(shù)都滿(mǎn)足一定條件時(shí)，利用拋物方程正則性理論及必要的先驗(yàn)估計(jì)，得到在高維情形下該模型解的全局存在性。

關(guān)鍵詞：食物鏈模型 趨食性 全局存在性 先驗(yàn)估計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：Q141;O175

Global Existence of the Solution of a Three-Species Food Chain Model

WANG Yuxia1" WANG Hui1，2*

1.School of Mathematics and Statistics， Yili Normal University;2.Institute of Applied Mathematics， Yili Normal University， Yining， Xinjiang Uygur Autonomous Region， 835000 China

Abstract： In ecology， the three-species food chain model is a very important model， and it can describe the interaction among prey， intermediate predators and higher predators and the change" law of their number over time and space. This study considers a food chain model with the nonlinear prey-taxis sensitive function. Under homogeneous Neumann boundary conditions， when both the initial value and parameter in the model meet a certain condition， the regularity theory of parabolic equations and the necessary prior estimation are used to obtain the global existence of the solution of the model in the case of high dimensions.

Key Words：Food chain model; Prey-taxis; Global existence; Prior estimation

1 引言

在生態(tài)系統(tǒng)當(dāng)中，捕食行為是物種相互作用的基本特征之一，捕食者依靠獵物作為其食物來(lái)源。在1991年，Hasting和Powell[1]提出了一類(lèi)如下食物鏈模型

模型（1）中，函數(shù)，和分別表示時(shí)刻食餌、中間捕食者和高級(jí)捕食者的種群密度，參數(shù)分別表示中間捕食者和高級(jí)捕食者的自然死亡率，函數(shù)是指功能反應(yīng)函數(shù)，多種類(lèi)型的功能反應(yīng)函數(shù)表現(xiàn)出了豐富的動(dòng)力學(xué)行為[2-7]。當(dāng)考慮到生物體在環(huán)境中的自由擴(kuò)散及其感知到其他刺激時(shí)會(huì)做出趨向性等反應(yīng)（即會(huì)根據(jù)外界環(huán)境來(lái)改變自身的運(yùn)動(dòng)方向），JIN H等人[8]將生物種群的自由擴(kuò)散和捕食者沿著食餌密度的梯度方向運(yùn)動(dòng)的趨食機(jī)制與模型（1）相結(jié)合，研究了以下三物種食物鏈模型

模型（2）中，為一個(gè)具有光滑邊界和齊次Neumann邊界的有界區(qū)域，模型（2）中表示三個(gè)物種的自由擴(kuò)散;和為趨食敏感項(xiàng)，分別表示中間捕食者受食餌刺激作趨向運(yùn)動(dòng)、高級(jí)捕食者受中間捕食者（這時(shí)的中間捕食者是高級(jí)捕食者的食餌）刺激作趨向運(yùn)動(dòng)，其余各項(xiàng)表示物種的種內(nèi)作用（自身的增長(zhǎng)與耗散）和種間關(guān)系（捕食與被捕食）。參數(shù)均為正常數(shù)，其中分別表示食餌和中間捕食者自由擴(kuò)散系數(shù)，分別表示中間捕食者對(duì)食餌及高級(jí)捕食者對(duì)中間捕食者的捕食能力;參數(shù)和表示趨食敏感項(xiàng)系數(shù)。JIN H等人[8]在二維情形下得出了模型（2）經(jīng)典解的全局存在性和有界性。關(guān)于食物鏈模型的其他研究，如擴(kuò)散項(xiàng)具有密度依賴(lài)[9]或交叉擴(kuò)散[10]等也得到了一些學(xué)者的關(guān)注。然而，考慮到在真實(shí)情況下，種群密度對(duì)捕食運(yùn)動(dòng)的影響是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程。特別地，當(dāng)捕食者朝著食餌密度刺激方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，食餌會(huì)離開(kāi)其原來(lái)位置，從而食餌會(huì)損失掉一部分，這時(shí)捕食者與食餌的趨向運(yùn)動(dòng)呈對(duì)數(shù)關(guān)系，這反映了生物種群動(dòng)態(tài)中的非線性特征。通過(guò)理解食物鏈中的物種相互作用，可以更好地揭示生態(tài)系統(tǒng)中的生物多樣性和穩(wěn)定性。

基于以上分析，給我們的研究帶來(lái)了一些啟發(fā)，考慮以下食物鏈模型

模型（3）中，為一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域，是指的單位外法線向量，參數(shù)均為正常數(shù)，初值函數(shù)滿(mǎn)足以下條件

其中。

主要結(jié)果如下：

定理1 設(shè)是一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域，假設(shè)初值滿(mǎn)足條件（4），則模型（3）存在全局解

2 局部存在性及先驗(yàn)估計(jì)

首先模型（3）解的局部存在性，可由標(biāo)準(zhǔn)的Amann定理[11]得到。

引理1 設(shè)是一個(gè)具有光滑邊界的有界區(qū)域，初值滿(mǎn)足條件（4），則存在和一個(gè)三元函數(shù)組

為模型（3）的經(jīng)典解。此外，若，則對(duì)任意有

其次由拋物型方程的比較原理并參見(jiàn)文獻(xiàn)[12]的引理2.2的論證，可得出以下引理。

引理2對(duì)任意，存在常數(shù)使得

其中。

下面，根據(jù)常微分方程的比較原理得出的范數(shù)估計(jì)。

引理3 對(duì)任意，存在常數(shù)使得

證明 將模型（3）的第二個(gè)方程在上積分，由邊界條件、H?lder不等式及引理2，對(duì)任意有

結(jié)合常微分方程比較原理，可知引理3成立。

接下來(lái)，基于標(biāo)準(zhǔn)正則性理論、最大Sobolev正則性理論、嵌入定理以及幾個(gè)必要的先驗(yàn)估計(jì)，進(jìn)一步得到在上的有界估計(jì)。

引理4 設(shè)，則對(duì)任意使得

和

證明 由解的局部存在性（引理1）和標(biāo)準(zhǔn)拋物正則性理論可得上述結(jié)論。

引理5 設(shè)，對(duì)任意，存在使得

證明 由引理4，注意到，于是對(duì)模型（3）的第一個(gè)方程應(yīng)用最大Sobolev正則性理論，可得（6）式。

引理6 設(shè)，對(duì)任意，存在和使得

證明 對(duì)（6）式應(yīng)用嵌入定理，得到以上不等式。進(jìn)一步可知，對(duì)任意有

引理7 設(shè)，對(duì)任意，存在使得

進(jìn)一步，存在以及有

證明 模型（3）的第二個(gè)方程等價(jià)形式如下：

對(duì)上述方程應(yīng)用最大Sobolev正則性，存在正常數(shù)使得

為了處理（10）式右端前三個(gè)積分項(xiàng)，充分利用Gagliardo-Nirenberg不等式。令滿(mǎn)足，這里，再結(jié)合引理3及Young不等式，存在正常數(shù)和使得

其中。

首先估計(jì)（10）式右端第一項(xiàng)，由Young不等式，結(jié)合（6）及（11）式，存在正常數(shù)和可得

接著對(duì)（10）式右端第二項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，利用（7）和（12）式，并應(yīng)用Young不等式，存在正常數(shù)和使得

再由Young不等式和（7）式估計(jì)（11）式右端第三項(xiàng)，存在正常數(shù)和使得

最后，由引理4可知，及結(jié)合（10）-（15）式，可得（8）式。

引理8 設(shè)，對(duì)任意，存在使得

進(jìn)一步，存在以及有

證明 模型（3）中的第三個(gè)方程等價(jià)形式如下：

在此只需注意由（9）式可得出。根據(jù)引理7相似的論述，可得引理8，這里不再重復(fù)贅述。進(jìn)一步可知

定理1 的證明 綜合引理，驗(yàn)證引理1中（5）的各個(gè)分量都是有界的，可得模型（3）的解是全局存在的，從而定理1得證。

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了一類(lèi)三物種食餌-捕食者模型解的全局存在性，利用相關(guān)正則性理論，結(jié)合先驗(yàn)估計(jì)，得出了在高維情形下模型的解是全局存在的。關(guān)于模型（3）解的有界性、漸近穩(wěn)定性等還有待進(jìn)一步探討。

參考文獻(xiàn)

[1] HASTING A，POWELL T. Chaos in a three-species food chain[J].Ecology.，1991，72：896-903.

[2] KLEBANOFF A，HASTING A. Chaos in three-species food chains[J].J.Math.Biol.，1994，32：427-451.

[3] NAJI R，BALASIM A. Dynamical behavior of a three species food chain model with Beddington-DeAngelis functional response[J].Chaos Solitons Fractals.，2007，32：1853-1866.

[4] HSU S，HWANG T，KUANG Y.A ratio-dependent food chain model and its applications to biological control[J]. Math. Bio. Sci.，2003，181：55-83.

[5] PANDAY P，PAL N，SAMANTA S， et al. A three species food chain model with fear induced trophic cascade[J].Int.J.Appl.Comput.Math.，2019，5：100.

[6] PATTANAYAK D，MISHRA A，DANA S， et al. Bistability in a tri-trophic food chain model： Basin stability perspective[J].Chaos，2021，31：073124.

[7] 韓婉琴，石垚，包雄雄.具有合作狩獵的食物鏈模型的Hopf分支[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2023，50（5）：539-550，557.

[8] JIN H，WANG Z，WU L. Global dynamics of a three-species spatial food chain model[J].J. Differ.Equ.，2022，333：144-183.

[9] 劉佛香.擴(kuò)散依賴(lài)密度三級(jí)食物鏈模型整體解的存在性[D].廣州：華南理工大學(xué)，2022.

[10] JIN H， LU G，ZOU F. Qualitative properties for a three-species food chain model with cross- diffusion and inter-specific competition[J]. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B.，2023，28：5244 -5268.

[11] AMANN H. Dynamic theory of quasilinear parabolic equations. II. Reaction-diffusion systems[J].Differ. Integral Equ.，1990，3（1）：13–75.

[12] JIN H，WANG Z. Global stability of prey-taxis systems[J].J.Differ.Equ.，2017，262：1257-1290.