基于代理模型的輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線預測方法

劉泉 李正良 彭思思 王濤

doi：10.11835/j.issn.1000.582X.2024.04.007

收稿日期：2023-06-18

基金項目：國家自然科學基金國際（地區）合作與交流項目（51611140123）；國家重點研發計劃項目（2017YFC0703901， 2018YFC0809406）；重慶市博士后研究項目特別資助（2022CQBSHBT3009）。

Supported by International （Regional） Cooperation and Exchange Program of the National Natural Science Foundation of China （51611140123）， National Key R&D Plan Project （2017YFC0703901， 2018YFC0809406） and Special Support of Chongqing Postdoctoral Research Project （2022CQBSHBT3009）.

作者簡介：劉泉（1984—），男，高級工程師，碩士，主要從事特高壓工程設計工作，（E-mail）41853374@qq.com。

通信作者：王濤（1992—），男，博士（后），（E-mail）taowang@alu.cqu.edu.cn。

摘要：為了準確、高效地評估輸電塔半剛性節點的力學特性，提出了一種基于代理模型的輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線預測方法，通過引入代理模型方法近似半剛性節點幾何尺寸與極限抗彎承載力、初始轉動剛度之間的函數關系，建立具有較高精度的預測模型，進而結合Kish-Chen冪函數模型擬合輸電塔半剛性節點的彎矩-轉角曲線。結果表明，提出的基于代理模型的輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線預測方法能減少實驗和數值模擬的成本，較好地模擬輸電塔半剛性節點實際受力-變形情況，為輸電塔半剛性節點的工程設計和理論研究提供了參考。

關鍵詞：代理模型；輸電塔；半剛性節點；彎矩-轉角曲線

中圖分類號：TM754????????? 文獻標志碼：A????? ? 文章編號：1000-582X（2024）04-086-08

A surrogate model-based prediction method of moment-rotation curve of semi-rigid joints in transmission towers

LIU Quan1， LI Zhengliang2， PENG Sisi2， WANG Tao2，3

（1. State Grid Economic and Technological Research Institute Co.， Ltd.， Beijing 102209， P. R. China; 2. School of Civil Engineering， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China; 3. School of Transportation Science and Engineering， Harbin Institute of Technology， Harbin 150090， P. R. China）

Abstract： In order to accurately and efficiently evaluate the mechanical properties of semi-rigid joints in transmission towers， a method based on surrogate model is proposed to predict the moment-rotation relationship of the semi-rigid joints. By introducing the surrogate model method to approximate the functional relationship between the geometric dimensions， ultimate flexural capacity， and initial rotational stiffness of semi-rigid joints，?? a prediction model with high accuracy is established. Furthermore， the moment-rotation curves of semi-rigid joints in transmission towers are fitted using the Kish-Chen power function model. The results show that the proposed surrogate model-based prediction method for moment-rotation curves of semi-rigid joints can reduce the cost of experiments and numerical simulations， while accruately approximating the actual force-deformation relationship of semi-rigid joints in transmission towers. This method also provides valuable insights for the engineering design and theoretical research of semi-rigid joints in transmission towers.

Keywords： surrogate model; transmission towers; semi-rigid joints; moment-rotation curves

近年來，特高壓輸電線路在我國得到了迅速發展[1]。作為電網工程中的重要基礎設施，輸電塔結構中各構件通過節點相互連接，由連接節點實現桿件之間的傳力。輸電塔節點既可以傳遞部分彎矩，也會產生一定的相對轉角，是介于鉸接與剛接之間的半剛性連接，受其構造影響，輸電塔半剛性節點的力學性能表現出明顯的非線性特征。輸電塔節點的破壞往往會導致相連桿件的失效甚至整個結構的破壞，因此，節點的安全可靠對于整個輸電塔結構至關重要。近年來，許多學者通過理論分析[2]、實驗研究[3]和數值模擬[4?5]等方法對不同類型的輸電塔連接節點展開了研究，其主要內容為：對節點極限承載力的研究以及對節點彎矩-轉角（M-θ）曲線關系的研究。在輸電塔節點的極限承載力方面，學者們對不同類型節點的實際極限承載力值進行測量[4?5]，并推導承載力理論計算公式[2，6] ，研究了影響節點極限承載力大小的因素[3]。相較于前者，關于輸電塔節點彎矩-轉角曲線關系的研究尚在起步階段，李正良等[6]對特高壓角鋼輸電塔K形半剛性連接節點進行了足尺試驗，考察節點的彎矩-轉角曲線關系；在試驗的基礎上，焦安亮等[7]推導了輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線的理論計算公式；王開源[8]通過建立精細化的角鋼塔節點有限元模型，獲取了節點對角鋼的彎矩-轉角曲線。總體而言，現有的輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線的相關研究往往通過昂貴的實驗或耗時的數值模擬等方法獲取[2，6]，存在實驗成本高、模擬耗時久、計算效率低等不足。

鑒于此，文中提出了一種基于代理模型的輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線預測方法，即采用代理模型方法擬合節點幾何尺寸與極限抗彎承載力、初始轉動剛度之間的函數關系，并結合Kish-Chen冪函數模型擬合輸電塔半剛性節點的彎矩-轉角曲線。

1 代理模型方法及模型精度評價指標

1.1 代理模型方法

代理模型方法通過獲取少量樣本點及其響應，構建輸入輸出系統的近似映射關系，可用于替代復雜工程結構的響應分析計算過程，能夠大幅降低計算消耗。目前，常見的代理模型方法有多項式響應面 （Polynomial response surface， PRS）模型、徑向基函數 （Radial basis function， RBF）模型、克里金 （Kriging）模型、支持向量回歸 （Support vector regression， SVR）模型、響應面（Response surface method， RSM）模型等。

1.1.1 PRS模型

PRS模型[9]應用了數學和統計學相關的理論知識，在已有的輸入輸出數據基礎上，通過回歸方法求出基函數中的各個多項式的權重系數，得到輸入輸出之間的近似數學表達。PRS模型的基本形式為

，? （1）

式中：d為變量的維度；m表示多項式的次數；β0， βi， βij， …， β…im表示回歸系數，一般可通過最小二乘法獲取；xi， x， x， …， xim表示輸入變量；表示輸出響應變量；i， i1， i2， …， im表示變量具體對應的維數。

PRS模型的優勢在于構造簡單，建模所需樣本少，能夠達到較好的全局近似效果，還能對系統各個變量進行靈敏度分析，具有較好的透明性。實際工程中應用較為廣泛的是線性響應面和二次響應面模型：

，? （2）

。? （3）

式中，各物理量的含義同式（1），不再贅述。如式（2）所示，線性響應面雖然待定系數和所需樣本較少，但不能反映函數的非線性特征；如式（3）所示，二次響應面能夠體現函數的非線性特征，計算時通常采用加權最小二乘法確定系數，但對于高維非線性問題，PRS模型的局部擬合效果較差[10]。

1.1.2 RBF模型

RBF模型[11]作為一種應用廣泛的非線性代理模型方法，具有結構簡單、精確插值、魯棒性好等特點。RBF模型假設輸出為基函數的線性組合，采用插值方法進行逼近，通過一元函數對多變量問題進行描述[12]。對于一個樣本容量為n的訓練樣本集合X={x1， x2， …， xn}及其響應Y={y1， y2， …， yn}，RBF模型的一般表達式為

，? （4）

式中：λi表示權重系數，可通過求解線性插值方程組獲得； ||?||表示用于計算向量的歐氏距離的二范數；?（·）為基函數，其常用的形式包括線性函數、高斯函數、二次函數、逆二次函數、薄板樣條函數等，文中選用的二次函數為基函數為

，? （5）

式中：r表示樣本點的歐氏距離；c為實常數，文中取c=1。

式（4）中第二項表示m階的多項式回歸，其中，βj表示回歸系數，Pj（x）表示多項式且滿足如下正交條件：

。? （6）

因此，系數λ和β可通過求解下列線性方程組得到：

，? （7）

式中：為n階方陣，Φ（i， j）= ?（||xi-xj||）; P為 n×m階矩陣，P（i， j）=pj（xi）。

1.1.3 Kriging模型

Kriging模型[13]是一種基于貝葉斯數學模型的線性無偏估計模型，顯著特點在于其數學表達式中包括了線性回歸參數部分和非參數部分，即：

，? （8）

式中：G（β， x）被稱為全局近似函數，為Kriging模型的數學期望；β為回歸系數；Z（x）為一個均值為零、方差為σ2的靜態隨機過程，其協方差不等于零，可表示為

，? （9）

式中，R（xi， xj）為空間相關函數，其相關性隨著距離增大而減小，當距離為0時，等于1；當距離無窮大時，等于0。目前，常用的空間相關函數包括高斯函數、線性函數、指數函數等，文中采用的高斯相關函數為

，? （10）

式中：d表示設計變量的維數；xik、xjk分別為任意2個樣本xi、xj在第k個維度上的分量；θk為相關性參數；δk為光滑程度參數。

1.2 模型精度評價指標

為評估代理模型的全局及局部近似程度，采用4種通用的精度評價指標來衡量代理模型的精度，包括確定性系數R2、標準均方根誤差NRMSE、相對平均絕對誤差RAAE、相對最大絕對誤差RMAE，計算公式分別為

，? （11）

，? （12）

，? （13）

，? （14）

式中：N為測試樣本點數量；y（xi）是測試樣本點所對應的函數輸出結果；ymax和ymin分別為函數最大值、最小值；是函數輸出響應的平均值；y?（xi）為模型近似值；STD表示實際函數值的標準差。

上述模型精度指標中，R2整體反映了代理模型的精度，當值越接近1，模型越精確；NRMSE和RAAE為全局精度指標，其值越小，模型精度越高；RMAE則是1個局部指標，描述的是設計空間內某個局部區域的誤差，故其值越小越好。

2 Kish-Chen模型

國內外關于半剛性連接節點彎矩-轉角曲線的研究主要集中于框架結構領域，學者們提出了線性模型、多項式模型、B樣條模型、冪函數模型、指數模型等擬合半剛性節點的彎矩-轉角（M-θ）曲線。其中，Kishi等[14?15]在大量實驗數據基礎上，對Lui等[16]、Ang等[17]建議的多參數模型進行了改進，提出了Kish-Chen三參數冪函數模型，模型因形式直觀、易于實現且具有明確的物理含義而頗受研究者青睞[18]，是應用最為廣泛的半剛性節點M-θ曲線預測模型之一。

Kish-Chen冪函數模型使用初始剛度、極限彎矩承載力、形狀系數3個參數描述梁柱節點的半剛性，其數學表達式為

，? （15）

式中：Ki為初始轉動剛度；ω是曲線擬合得到的形狀系數；θ0為相對塑性轉角，可通過極限抗彎承載力Mu和初始轉動剛度Ki計算得到：

。? （16）

文中采用Kish-Chen模型擬合輸電塔半剛性節點的M-θ曲線，由式（16）可知，輸電塔半剛性節點的極限抗彎承載力Mu和初始轉動剛度Ki是建立M-θ曲線預測模型的關鍵。

3 輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線預測方法

輸電塔半剛性節點的極限抗彎承載力Mu和初始轉動剛度Ki與節點的幾何尺寸密切相關，一般通過實驗測試或有限元分析計算得到。由于實驗研究成本高且資源相對有限，精細化數值模型計算較為耗時，連接節點的構造又較為復雜，完全依賴實驗或者數值模擬對半剛性節點進行參數分析難以實現。因此，提出一種更加簡單易行、精度高的方法對于深入研究輸電塔半剛性節點幾何尺寸與其力學性能之間的關系具有重要現實意義。代理模型方法[19]是解決這類問題的有效途徑之一。為進一步降低成本、提高計算效率，文中采用代理模型方法擬合輸電塔半剛性節點幾何尺寸與極限抗彎承載力Mu、初始轉動剛度Ki之間的近似函數關系，并將預測的M?u和K?i帶入Kish-Chen模型中擬合輸電塔半剛性節點的M-θ曲線，發展了基于代理模型的輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線預測方法。其步驟如下：

1） 選取輸電塔半剛性節點幾何尺寸作為設計變量，抽取n個訓練樣本點，通過實驗或數值分析模型計算相應的極限抗彎承載力Mu、初始轉動剛度Ki響應值；

2） 基于已知訓練樣本點及其響應，分別建立輸電塔半剛性節點Mu和Ki的PRS、Kriging、RBF預測模型；

3） 選取N個測試樣本點及其響應值，并根據式（11）～式（14）計算PRS、Kriging、RBF模型的精度；

4） 選擇當前精度最高的預測模型，輸入某一輸電塔半剛性節點的幾何尺寸，得到相應的輸電塔半剛性節點的極限抗彎承載力M?u和初始轉動剛度K?i；

5） 將代理模型預測結果M?u和K?i帶入式（15）～式（16）所示Kish-Chen冪函數模型，擬合輸電塔半剛性節點M-θ關系曲線。

4 算例分析

為驗證文中提出的基于代理模型的輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線預測方法，以參考文獻[20]中輸電塔K形連接節點為例，構造如圖1所示，根據文中方法計算其彎矩-轉角曲線關系。

文獻[20]中給出了此類節點參數數據，選取其中鋼材屈服強度fy=420 MPa、螺栓等級強度ng=10.9級、螺栓個數nl=4、節點板厚tj=10的41組數據，將其分為用于構建代理模型的訓練樣本以及用于檢驗模型精度的測試樣本，分別如表1和表2所示，共涉及3個節點幾何尺寸設計變量：肢寬（b）、肢厚（t）、螺栓直徑（d）。

根據表1所示的訓練樣本集合，分別采用PRS、Kriging、RBF 3種代理模型方法建立輸電塔半剛性節點極限抗彎承載力Mu、初始轉動剛度Ki的預測模型，并依據表2中測試樣本集合比較當前代理模型精度。

根據式（11）～式（14）計算3種不同代理模型方法的建模精度，結果如表3所示。由表3可知，采用PRS模型方法建立的輸電塔半剛性節點極限抗彎承載力Mu預測模型的整體精度和局部精度優于其他方法；然而，對于輸電塔半剛性節點初始轉動剛度Ki，使用RBF模型所得結果更佳，精度更高。

文中分別采用PRS和RBF模型方法建立輸電塔K形連接節點的極限抗彎承載力Mu和初始轉動剛度Ki的預測模型，進一步將計算結果帶入式（15）～式（16）所示的Kish-Chen冪函數模型，最終得到輸電塔半剛性節點的近似M-θ關系曲線，將部分節點的擬合結果與文獻[20]中有限元模擬的M-θ關系實際曲線進行比較，如圖2所示。

圖2分別為2種不同規格的輸電塔半剛性K形節點彎矩-轉角關系曲線，節點的tj =10 mm，d=20 mm，模型中形狀系數ω的取值為文獻[20]中建議的平均值。由圖2可知，文中基于代理模型以及Kish-Chen模型的預測方法擬合的輸電塔半剛性K形節點M-θ關系曲線與實際曲線整體吻合效果良好，表明文中方法具有一定的可靠性，適用于輸電塔半剛性節點的彎矩-轉角曲線計算。

5 結? 論

文中提出了一種普適的輸電塔半剛性節點彎矩-轉角關系預測方法，該方法基于代理模型建立輸電塔半剛性節點極限抗彎承載力和初始轉動剛度的預測模型，并結合Kish-Chen模型擬合輸電塔半剛性節點的彎矩-轉角曲線關系。結果表明，使用PRS和RBF代理模型方法所得輸電塔半剛性K形節點幾何尺寸與極限抗彎承載力、初始轉動剛度的預測模型精度較高，最終擬合的輸電塔半剛性節點彎矩-轉角曲線效果良好。文中方法通過引入代理模型能大幅減少計算消耗，同時能夠有效預測輸電塔半剛性連接節點的受力-變形性能，廣泛適用于各類輸電塔半剛性節點的彎矩-轉角關系計算，為輸電塔節點受力分析及設計提供了參考。

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（編輯? 陳移峰）