固定收益資產分散風險研究

鄧 瑛 李小龍

（廣西科技師范學院 廣西 來賓 546199）

大部分經濟學文獻都致力于研究股票投資組合的分散風險，研究固定收益投資組合分散風險的研究較為少見，但實際上許多機構投資者的資產中很大一部分是固定收益證券，尤其是在歐洲和其他發達經濟體中，投資公司的分散風險和集中風險很大程度上與固定收益資產有關。固定收益資產（包括抵押擔保的債券和股票等）組合的分散風險至少與利率風險和信貸風險有關。本文重點放在研究利率風險和信貸風險的分散性，不考慮潛在的附加風險，如預付風險。

該研究的成果主要有兩點：一是構建一個能幫投資者確定應納入投資組合的最小固定收益資產數量的管理工具，該工具可以減少投資者在設計投資組合時需要做的金融分析數量；二是為投資者提供一種關于敏感性的分析方法，該方法能讓投資者根據影響信用和利率的主要因素的實時變化，調整債券投資組合中產品發行人的類型和數目。

構建信用風險的一般分散風險框架時，首先要在結構性模型和降階模型中做選擇。結構性模型是根據公司資產的動態進行建模，結構性模型雖然可以考慮利率風險，但有以下一些不足：無法計算固定收益資產投資組合的最佳分散風險水平；很難以穩健的方式校準從股票和債券數據中得到參數；加大了利用高斯假設構建投資組合信用風險模型的難度；難以形成與市場一致的框架，模型缺乏解釋能力；無法得到固定收益投資組合中固定資產的最優搭配與利率風險及信用風險參數之間的關聯公式。鑒于結構性模型的缺點，認為結構性模型不適用于固定收益資產的分散風險研究，相反，引入債券的價格信息后做出的關于利率風險和信用風險主要成分的降階模型更適用于本研究。另外，本文所構建的風險指標是市場一致或風險中性的，目的是能夠將其納入一個更一般的償付能力框架，并與套利估值程序保持一致。

模型將投資組合折現收益的變異系數作為衡量風險的指標，該風險指標有不受資產規模和價格影響的優點。當風險是完全可分散時，對于數量足夠多的債券，風險收斂于零；當利率風險或信用風險不能從投資組合中完全分散時，風險收斂于一個非零常數。本文做出了一個該風險指標的漸近值與利率和信用主要驅動因素之間的相關函數式，還研究了固定收益資產的臨界數量與主要經濟變量之間的相關性。

一、利率風險的分散性

首先研究一下政府債券投資組合利率風險的分散性，因為沒有研究純利率組合的情況就無法進一步研究一般債券投資組合的風險分散性。一般債券投資組合的風險分散性將在下一個專門研究信貸風險分散的部分中詳細討論。

（一）定義變量

設ZT表示在時間T 時任意到期零息債券的貼現收益。那么，

其中隨機變量IT等于：

在風險中性的情況下，該債券的價格為未來收益貼現的風險中性期望為：

同樣定義：

那么貼現收益的風險中性方差為：

標準差為：

（二）相互獨立的政府債券投資組合

首先考慮一個由N 個不同國家發行的政府債券組成的投資組合，假設組合中所有的政府債券都有獨立且相同的未來貼現收益，那么整個投資組合的貼現收益為：

其中wi代表這個投資組合中債券i的權重。

那么有

不妨定義

投資組合貼現收益的風險中性期望為：

因為前面假設了投資組合中所有債券的未來貼現收益是相等的。

那么有：

接下來計算投資組合貼現收益的風險中性方差：

因此

利用貼現收益的均值和方差的表達式，就可以計算出貼現收益的變異系數。因為貼現收益的變異系數與投資組合的規模無關，所以很適合作為風險指數。另外，因為變異系數的分母是債券投資組合的價格，所以用變異系數來衡量債券投資組合風險的大小是從價格的角度進行分析的。

此外，要強調，風險指數使用的是風險中性假設中的變異系數。所以作為風險指數的風險中性變異系數在計算時使用的應該是機構投資者的市場估值（也稱為風險中性估值），同時擬合的對象應該是風險中性情況下發行人數量達到一定程度的公司資產投資組合。一般來說，公司投資組合的產品中經常會帶有嵌入期權或利率期權，這種情況下，分析的背景其實就是風險中性的。

顯然，下面所展示的基于風險中性假設下的所有結論都可以結合實際情況靈活運用。此外，它的推廣性還體現在可以運用于研究多種影響因子與最優產品發行人數量之間的相關關系。例如，可以推廣到通過信用評級決定投資組合中應包含的產品發行人數目。

通過前面的論證，可以推導出變異系數應為：

當所有的權重都相同時，此表達式變為：

可以看出，變異系數與債券數量N的平方根成反比。

在極限的情況下有：

這個結果很重要，它說明了一個獨立的政府債券投資組合風險是完全可分散的。事實上，當投資組合中的政府債券數量足夠多時，以變異系數衡量的風險能夠幾近于消失。

接下來可以通過將風險指標控制在臨界閾值以下來計算發行人的臨界數量。

假設μ是投資者所選擇的風險指數cvQ(ZPT)的臨界閾值，那么以μ 為臨界閾值時債券臨界數量Nμ的最小整數的計算應如下所示。

因為μ為臨界閾值，風險指數cvQ(ZPT)要控制在臨界閾值之下，所以有：

所以Nμ的最小值應為：

然后再取最接近的大于這個最小值的整數作為最終債券臨界數量。

這個公式的解釋如下：任意債券數量大于或等于Nμ的投資組合，貼現收益的變異系數小于μ。這說明當利率風險較高時，投資組合需要更多數量的債券以維持組合風險不變。

以變異系數為風險指數能測量出固定收益投資組合單位價格的風險，繼而可以比較成本相同的投資組合包含的風險大小。但也可以簡單一點，將投資組合平均貼現收益的方差作為風險指數測量固定收益投資組合單位數量的風險（不再是投資組合單位價格的風險）。

具體來說，假設投資者將λ 作為新風險指數VarQ(ZPT)的臨界值，在以方差為風險指數的方法中，債券數量的最小整數Nλ的取值過程應如下：

所以N?λ的最小值應為：

這個公式的解釋如下：任意債券數量大于或等于N?λ的投資組合，平均貼現收益的方差小于λ。

（三）相互關聯的政府債券投資組合

下面進一步討論投資組合中的政府債券相互關聯的情況，這種情況更符合實際。

假設一個投資組合中有N 個相互有關聯的政府債券，它們的貼現收益仍假定是同分布的，但彼此是相關聯的而且任意兩個發行人之間的關聯債券數目相同。同樣，債權投資組合的貼現收益為：

與相互獨立的債券組合類似，可設貼現收益的風險中性期望為：

那么投資組合平均貼現收益的風險中性方差滿足:

所以有

基于假設，可以改寫為：

令投資組合中任意兩個債券貼現收益的風險中性協方差為：

令

那么根據以上假設有：

當所有債券的權重相等時有

所以

那么

從而有

由上式可知，在產品之間有關聯性的投資組合中，投資組合的利率風險是不能通過增加投資產品的多樣性完全分散掉的，因為（31）式中的極限只能為正數。（31）式說明產品之間關聯性越強，關聯指數ζ越高時，投資組合的殘差風險越大。

最后，目標是要計算出滿足條件時Nμ的最小整數取值，根據條件有：

所以Nμ的取值為：

接下來，推廣（18）式和（33）式，同時考慮利率風險和信用風險。

二、利率風險和信貸風險的交互分散性

公司債券既有利率風險也有信用風險。為簡單起見，假設所有的公司債券都是以同一種貨幣發行的。與之前的假設一樣，假定所有債券都是期限相同的零息債券，因為息票債券可以看作是多個零息債券的組合。通過推導可以得到一個用于理解關聯投資組合信用風險分散性與主要利率風險和信用風險相關性的含參解析式。

假設一個有信用風險的零息債券的貼現收益為Zi,cT（“i”表示第i 個債券，“c”表示“信用風險”，“T”表示債券到期時間），那么貼現收益Zi,cT可表示為：

其中，τi表示債券i的終止時間，0 ≤Ri≤1表示可贖回收益率，P(τi＞T)表示債券到期贖回的概率，P(τi≤T)表示債券提前終止（或發生違約）的概率。假設無論是否發生違約事件，贖回金都在原定到期時間T時支付。

對于可違約債券的投資組合：

那么，

或者

根據Cox回歸模型，債券i違約風險λi的大小可能是一個與市場利率r 及其他債券違約風險有關的隨機過程。假定?表示含有市場利率r、信用風險指數λi和可贖回收益率Ri信息的濾流。根據濾流? 的條件，信用風險指數λi可以看作是一個關于時間的確定性函數，而且債券i 的終止時間τi可以看作是這個非齊次泊松過程（隨機過程）第一次跳躍的時間。

以下兩個式子是得到普遍認同的：

和

其中定義：

利用條件期望的塔性，可將等式（37）重新寫為：

或

當利率風險和信用風險是相互獨立的時候，（42）式可以簡化如下：

如果進一步假設可贖回收益率是不變的，那么

進一步定義

那么有

接下來研究固定收益投資組合的方差。

首先，根據（35）式有：

或

利用條件期望的塔性，可將等式（48）重新寫為：

因為IT是信息?T的已知條件，所以又可改寫為：

（50）式可展開寫為：

因為可贖回收益率Ri是信息?T的已知條件，所以（51）式又可以寫成：

三、結論與擴展

研究主要的成果是找到了一個新的確定機構投資者固定收益投資組合臨界數量的模型及分析了投資組合中發行人臨界數對主要利率風險和信用風險影響因素的敏感性。研究得出的一個重要結論是：分析可違約資產的風險分散性必須考慮利率風險，均值回歸力（或者說央行干預市場的力度）對投資組合利率風險的分散性影響很大，而在贖回收益率、違約相關系數或守信概率較低的情況下，信用風險更具分散性。

本研究對投資者的幫助主要在：投資者可以通過模型確定基于投資者選定的風險下，應納入其投資組合的固定收益發行者的最小數量。通常投資組合中會包含10 到50 個不同的債券，不同債券的投資金額會不一樣，因此確定滿足投資者風險期望的發行人數量的過程比較復雜，但是計算時間越快，參數越符合市場的實際情況，本研究能科學縮短投資者的計算時間，簡化計算過程，幫助投資者做出兼顧當下市場上利率情況和信用情況的最優投資策略，以及幫助投資者根據市場上主要信用和利率影響因素的變化，及時調整債券投資組合的結構。

研究的局限性在于沒有給出測量利率風險和信貸風險的方法。Vasicek模型中對信用風險的表達可能過于簡單，若要提升該研究的精準性建議使用能更準確測算信用風險的利率模型。此外，信用風險評估因子的選取范圍可以更廣。還有關于信用評級較低的債券，是否應該花更大的代價以保證更高的風險分散性，是一個值得繼續深入研究的問題。