半群 In,r 的極大(逆)子半群

摘要：設(shè) Sn 和 In 分別是Xn={1，2，...，n }上的對(duì)稱(chēng)群和對(duì)稱(chēng)逆半群.對(duì)0 r ≤ n，令I(lǐng) r）=α In ： im（α） r}，則 I（n，r）是對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的雙邊理想.對(duì)0≤ r ≤ n-1，考慮半群Inr=I（n r）us 的極大（逆）子半群的完全分類(lèi).證明了半群 In，r 的極大子半群和極大逆子半群是一致的.

關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)群;對(duì)稱(chēng)逆半群；理想;極大子半群;極大逆子半群

中圖分類(lèi)號(hào)：O152.7"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1009-3583（2024）-0085-04

The Maximal Inverse Subsemigroup of a Semigroup In，r

XIAO Jian， YU Jiang-hui， LUO Yong-gui

（School of Mathematics Science， Guizhou Normal University， Guiyang 550025， China）

Abstract： Let Sn and In be symmetric group and symmetric inverse semigroup on Xn={1，2，...， n} respectively. For 0 r n， put I（n， r）=α eI ： im（α）≤ r}， I（n，r） are the two-sided ideals of symmetric inverse semigroup In . For 0 r ≤ n-1， we need to consider complete classification of the maximal inverse subsemigroup of a semigroup In = I（n， r）usn . This paper proved that the maximal sub- semigroup and the maximal inverse subsemigroup of In，r are consistent.

keywords： symmetric group; symmetric inverse semigroup; ideal; maximal subsemigroup; maximal inverse subsemigroup

設(shè) G 是群，P 是 G 的非空子集，〈P〉表示群 G 的子集P 生成的子群 Q.設(shè) G 是群，H 是 G 的真子群，對(duì) G 的任意子群 Q 都有 H Q G 推出 Q=H 或 Q= G， 則稱(chēng) H 是群 G 的極大子群（如果 G 是群， H 是 G 的真子群，對(duì)任意的a ∈G＼H都有G =＜HU{a ＞，那么稱(chēng)H 是 G 群的極大子群）.設(shè) S 是半群，A 是 S 的非空子集，a，e ∈S.若 e2=e， 則稱(chēng) e 是 S 的冪等元，A 中所有冪等元之集記為 E（A）.若存在 b∈S 使得 a =aba，則稱(chēng) a 是S 的正則元，A 中所有正則元之集記為Reg（A）.如果 Reg（S）=S，則稱(chēng) S 是正則半群（如果半群 S 中的每個(gè)元素都是正則的，那么稱(chēng) S 是正則半群）.若存在 b∈S 使得 a =aba 且 b=bab， 則稱(chēng) b 是 a 的逆元，a 在半群 S 中的所有逆元之集記為 V（a）.設(shè) S 是正則半群， 若半群 S 中的每個(gè)元素都有唯一的逆元， 則稱(chēng) S是逆半群.易見(jiàn)， 冪等元是正則元但正則元不一定是冪等元， 逆半群是正則半群但正則半群不一定是逆半群， 子群是逆子半群但逆子半群不一定是子群.若 SA A， 則稱(chēng)A 是半群 S 的左理想;若 AS A， 則稱(chēng) A 是 S 半群的右理想;若 A 既是半群 S 的左理想又是半群 S 的右理想， 則稱(chēng) A 是半群 S 的雙邊理想， 簡(jiǎn)稱(chēng)理想（如果 SAS A， 那么稱(chēng)A 是半群 S 的理想）.〈A〉表示半群S 的子集A 生成的子半群.設(shè)S 是（逆）半群， M 是 S 的真（逆）子半群，對(duì) S 的任意（逆）子半群 T 有 M T S 推出 T=M 或 T=S，則稱(chēng)M 是 S 的極大（逆）子半群（如果 S 是（逆）半群，M 是 S 的真（逆）子半群，對(duì)任意的 a ∈S＼M 都有S = MU a ，那么稱(chēng)M 是S的極大（逆）子半群）.如何刻畫(huà)半群 S 的極大子半群一個(gè)大家感興趣的問(wèn)題.當(dāng)半群 S 是逆半群時(shí)， 又如何刻劃半群 S 的極大逆子半群.對(duì)于有限半群具有某種性質(zhì)的極大（逆）子半群的研究目前已有許多結(jié)果[1-9].

設(shè)自然數(shù)n ≥2，X ={1，2，3， ， n -l， n ， 并賦予自然數(shù)的大小序.Sn，In 和 Pn 分別表示Xn 上的對(duì)稱(chēng)群，對(duì)稱(chēng)逆半群和部分變換半群.對(duì)0≤ r ≤ n ，令I(lǐng)n， r）={α I ： im α r ， 易見(jiàn) I（n，r）是對(duì)稱(chēng)逆半群In 的逆子半群且對(duì)任意的α eIn， r）， Y ∈ In， 都有 im（βay） r l， 即6areI（n r）， 因而 I（n，r）是對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的雙邊理想.記 SIn =In ＼Sn，則稱(chēng) SIn 是Xn 上的部分一一奇異變換半群.顯然 SIn =I（n，n-1）.對(duì)0≤ r ≤ n-1，令I(lǐng)n r =I n r usn ， 易證 In，r 是對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的子半群.文[1]證明了 Sn 對(duì)稱(chēng)群的極大子群的分類(lèi).文[2]獲得了對(duì)稱(chēng)逆半群In 的極大逆子半群 M 有且僅有兩類(lèi)： M = I（n，n -2）usn 和 M=（n n-）UG= UG ， 其中 G 是群 Sn 的極大子群， 進(jìn)一步證明了對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的理想 I（n， r）的極大逆子半群的分類(lèi);文[3]研究了域 F 上的有限維向量空間的對(duì)稱(chēng)逆半群 I（ V）的極大逆子半群的分類(lèi)，進(jìn)一步獲得了I（ V）的理想的極大逆子半群的分類(lèi);文[4]討論了有限部分一一保序變換半群 OIn 的極大逆子半群的分類(lèi);文[5]進(jìn)一步證明了 OIn 的理想 K（n，r）的極大逆子半群的分類(lèi);文[6]繼續(xù)研究了有限部分一一保序或保反序變換半群 DOIn 的理想 KD （n，r）的極大逆子半群的分類(lèi);文[7]證明了 E-類(lèi)保序嚴(yán)格部分一一變換半群。IE＊（X）的極大逆子半群的分類(lèi);文[8]研究了保距變換半群的一些基本性質(zhì)并且確立了保距變換半群的極大逆子半群的分類(lèi);文[9]證明了域 F 上 n 階方陣半群 Mn（F）的極大逆子半群的分類(lèi).

設(shè) A 是 Xn 的子集合， E 表示集合 A 上的恒等變換， 易見(jiàn)恒等變換是冪等元， 但冪等元不一定是恒等變換.對(duì)任意的α e In， 令ker（α）={（x y）∈ dom（α）× dom（α）：xα= yα} ，則 ker（α）是dom（α）上的等價(jià)關(guān)系， 稱(chēng)ker（ a）為 a 的核.通常用 im （a）表示集合ta：x dom α）}，稱(chēng) im（a）為 a 的像.

通常，設(shè) S 是半群，對(duì)任意的 a ∈S 分別用 La，Ra， Ha=La nRa Da Ja表示 a 所在的 L-類(lèi)， R-類(lèi)，-H 類(lèi)， D-類(lèi)， J-類(lèi).為敘述方便， 引用 Green-等價(jià)關(guān)系[10，11].在半群In，r 中L，R，J有如下刻畫(huà)：對(duì)任意的a， β e In r有αL

1主要結(jié)果及證明

在文[1]和文[2]的基礎(chǔ)上考察半群 In，r 的極大子半群和極大逆子半群，獲得如下主要結(jié)果.

定理1設(shè)1≤ r ≤ n-1且M 是逆半群 In，r 的非空子集， 則 M 是逆半群 In，r 的極大子半群當(dāng)且僅當(dāng)M = In， r -1）US 或M = I（n r）UG，其中 G 是對(duì)稱(chēng)群 Sn 的極大子半群.

定理2設(shè)1≤ r ≤ n-1且M 是逆半群 In，r 的非空子集， 則 M 是逆半群 In，r 的極大逆子半群當(dāng)且僅當(dāng) M = I（n， r -1）usn或M = I（n， r）UG， 其中 G 是對(duì)稱(chēng)群 Sn 的極大子半群.

定理3設(shè)1≤ r ≤ n-1， 則半群 In，r 的極大子半群和極大逆子半群是一致的.

為完成定理的證明需如下引理與推論.

若r = n ， 那么Insn ≠ ， 則存在α∈Ins 使得αn = n ∈s nI.對(duì)任意的α e In，α= x ·αeI，且α=α· n e I， 則In I .結(jié)合I I 必有I = In.若0≤ r ≤ n-1，則InJr #0必存在α∈InJr.對(duì)任意的β eJα= Jr ， 存在。，C e In 使得= oar.再由I 是In 的理想可知β e I， 即Jα=Jr I .結(jié)合推論1有I（n r I可得In=I（n，r）.反之，如果存在 r ∈{0， 1，2，...， n}使得 In=I（n， r）.對(duì)任意的α且 eI ， 由引理2可知lim（βar） = im（（a）T）≤min lim ） ， lim（T）|}≤min lim ） li，m（α） im（z） im（α） r， 即 I =（ nr）.易見(jiàn) In=I（n，r）是對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的理想.

引理4[10] 設(shè) S 是逆半群，I 是半群 S 的理想， 則 I 是半群 S 的逆子半群.

命題1設(shè)0≤ r ≤ n-1， 則M = In， r）usn是對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的逆子半群.

證對(duì)任意的α， β∈ In，r，若α ， β e S ，則aβes ;若α ， β= I（n r）或α e sn， β eIn r）或α e I（n r）， β e sn ， 由引理2可知aβeI（n r）， 即 In，r 是對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的子半群.再由引理3及引理4可知 I（n，r）是對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的逆子半群.結(jié)合 Sn 既是對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的子半群又是對(duì)稱(chēng)逆半群 In 的子群可知M = I（n， r）usn是逆半群 In，r 的逆子半群.

類(lèi)似于引理3的證明可得如下命題：

引理7設(shè)0≤ r ≤ n-1且 G 是對(duì)稱(chēng)群 Sn 的極大子半群，則M = I（n， r）UG是逆半群 In，r 的極大子半群.

證類(lèi)似于命題1的證明可得M = I（n r）UG是逆半群 In，r 的子半群.若存在逆半群 In，r 的子半群 T 使得M = I（n， r）UG g T In .

如果 T =M =In r）UG ，對(duì)任意的∈ n T，則t∈S G .由G 是群Sn 的極大子群可知 GU = S ， 易見(jiàn)，對(duì)任意的 ∈ n r T有 TU }= In ， 即M = I（n r）UG是逆半群 In，r的極大子半群.

如果M= I（n r）UG C T In r ， 則Tn（sn G）#0 ， 一定存在t Tn S G）.再由 G 是群 Sn 的極大子群可知 GU }=S ， 即S T，注意到I（n， r）= T可得In r T .結(jié)合T I r可知T =Ir即M = I（n r）UG是逆半群In，r 的極大子半群.

引理8

引理9

引理10

遵義市某蔬菜基地土壤質(zhì)量評(píng)價(jià)

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（責(zé)任編輯：羅東升）