半群 PS(n,r)的極大子半群

摘要：設 Sn，Tn，Pn 和 Pn ＼Tn 分別是Xn={1，2，...，n}上的對稱群、全變換半群、部分變換半群和嚴格部分變換半群.對0≤ r ≤ n，令 SP （n， r）=Sp r）={α P T α） r ，則sp（n r）是部分變換半群 Pn 的雙邊理想.對0≤ r ≤ n-1，考慮半群的極大子半群 PS（n，r）=P（n，r）∪Sn .進一步，獲得了半群 PS（n，r）的極大子半群和極大正則子半群是一致的.

關鍵詞：部分變換半群；正則半群；理想；極大子半群；極大正則子半群

中圖分類號：O152.7"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1009-3583（2024）-0078-03

The Maximal Subsemigroups of Semigroup PS（n，r）

YANG Ping-ping， ZHANG Liang-song， LUOs Yong-gui*

（School of Mathematics Science， Guizhou Normal University， Guiyang 550025， China）

Abstract： Let Sn，Tn，Pn and Pn ＼Tn be symmetric group， full transformation semigroup， partial transformation semigroup and the strictly par- tial trans formation semigroup on Xn={1，2，...，n} respectively. For 0≤ r ≤ n， put Sp n r）=α P T α） r} ， Sp（n r are the two- sided ideals of Pn . For 0≤ r n-1， the maximal （regular） subsemigroups of the semigroup PS（n，r）=P（n，r）∪Sn has been considered in this paper. In addition， this paper proved that the maximal subsemigroups and the maximal regular subsemigroups of are consistent.

keywords： partial transformation semigroup; regular semigroup; ideal; the maximal subsemigroup; the maximal regular subsemigroup

設 S 是半群 A 是 S 的非空子集且a， e e S.若 e2= e 則稱 e 為半群 S 的冪等元，半群 S 中所有冪等元之集記為 E（S）.類似 A 中所有的冪等元之集記為 E（A）若存在 b∈S 使得 a=aba 則稱 a 是半群 S 的正則元， A 中所有正則元之集記為 Reg（S）.如果 Reg（S）=S 則稱半 S 是正則半群， 若存在 b∈S 使得 a=aba， b=bab， 則稱 b 是a 的逆元，a 的所有元之集記為V（A）.易見， 冪等元是正則元但正則元不是冪等元.設A PS（n，r）是（正則）半群 PS（n，r）的（正則）子半群，若 A 滿足：對 a ∈ PS（n，r）＼A 意有〈A∪{a}〉=PS（n，r）則稱A 是半群 PS（n，r）的極大子半群.

設自然數n ≥2，xn ={1，2，3， ， n -1，并賦予自然數的大小序，Sn，Tn 和 Pn 分別是xn ={1.2，，3， ， n -1， n}上的對稱群，全變換半群和部分變換半群.對0≤ r ≤ n，令sp n ）= pn Tn im（α） r ，易見SP（n.r）是部分變換半群Pn 的子半群且對任意的α esp（n，r），B， Y ∈ pn都有 im（Bay） r ，即∈ Sp（n r），因而 SP（n，r）是部分變換半群Pn 的雙邊理想.記 SPn=Pn ＼Sn，稱SPn 為Xn 上的奇異部分變換半群.顯然SPn=P（n，n-1）.對0≤ r n-1，令 PS（n，r）=P（n，r）∪Sn，易證 PS（n，r）是部分變換半群Pn 的子半群.文獻[1]獲得了部分變換半群的理想 PK（n，r）的極大正則子半群；文獻[2]中考慮嚴格部分變換半群，證明了半群v n r ={α ep T\" m（α r n ≥4，2 r n -2）群是冪等元生成的且秩和冪等元秩都等于（r ＋1）s（n， r＋1）；文獻[3]得到了奇異部分變換半群 SPn 的生成元集及其秩和冪等元秩都為s（n＋1， r＋1）；文獻[4]得到了正則保序壓縮變換半群RWn 的雙邊理想 W（n，r）的極大子半群和極大正則子半群；文獻[5]獲得了有限弱Y-穩定變換半群的極大子半群；文獻[6]得到了半群PCSn 的極大子半群的分類；文獻[7]獲得了半群H ＊（n，m）（r）的極大子半群和極大正則子半群；文獻[8]獲得了變換半群 SPCn 極大子半群的分類；文獻[9]得到了變換半群 POPEIn 的極大子半群與極大冪等元生成的極大子半群的完全分類；文獻[10]確定了有限域上固定的子空間 W 是場上的向量空間的有限維子空間的情形下半群F（ V， W）的所有的極大子半群.任意取n，r∈N 且 r ≤ n，設 a ∈Jr，則 a 有如下標準形式：

其中，a1＜a2＜…＜ar .顯然存在 S （Sr 表示{1，2，...， r}上的對稱群），使得 A1 ≥ A2 ≥ Ar gt;1.記part（α）=（ A A2… A ），稱part（α）為 a 的劃分.注意，記是Xn 上的恒等變換.在 Jr 上引入關系～：α～即存在 ∈Sn，使得 a= .易驗證～是 Jr 上的等價關系.本文未定義的術語及符號參見文獻[11， 12].

1主要結果及證明

在文[11， 12]的基礎上繼續考慮半群SP（n，r）的極大子半群和極大正則子半群，獲得如下主要結果.

定理1 設0≤ r ≤ n-2，則半群 SP（n，r）的極大子半群有且僅有以下兩類：

（i）ps（nr，）＼[α] α e Jr ；（ii）Sp n， r）u G，其中 G 是 Sn 的極大子群.

引理1[3]設0≤ r ≤ n-3，則Jr Jr＋ Jr+I .

引理2[3]設0≤ r ≤ n-2，則sp n， r）= E（J， ）.

注意到Jo ={}，由引理1及引理2可得如下推論.

推論1設0≤ r ≤ n-2，則ps（n，r）= Sp n r）usn

引理3設α ， β e Jr，則α～β當且僅當part（α）= part（β）.

引理4[11] 設a ， β P ，則 im（ap）{ im（a）

引理5 設 I 是部分變換半群 SPn， r 的非空子集，則 I 是部分變換半群 SP（n，r）的理想當且僅當r E {0，1，2……n 使得I = Sp（n，r）.

證明：若存在r e {0，1，2……n}使得I = Sp（n， r）.對任意的α e I，對任意的β∈ spn ，由引理4可知 im（6ar）≤{ im β） ， im （a ） im （y）≤ im （a）≤r，即 eI=SP（n r），由此可見I=SP（n，r）是PS（n，r）的理想.

反之，設 I 是部分變換半群 SP（n， r）的理想，記r =max{ im（α）：α I}，則In U Js ）= ，即

若 r=n，那么In sn ，則存在αeIns 使得α n =εx， e In sn.對任意α e Ps（n ，r），α=εX α∈ I且α=aexn ∈ I，則PS（n，r） g I .由 I 是部分變換半群PS（n，r）的非空子集PS（n，r） I 可知，易見 I=PS（n，r）.

若r = n-1，則In s =且In J 1 .由InJ 1可知存在α eIJ 1. 對任意的β e Jn 1，由格林 J 關系的定義可知，存在∈ spn r ，使得= am.再由 I 是部分變換半群 SP n， r 的理想可知 ∈ I ，即Jn i g I且 Jn 1 I，則存在∈ J 1，不妨

若0≤ r ≤n-2，則I Jr ≠ ， 即存在α∈ InJr .對任意的β e Ja = Jr，由格林 J 關系的定義可知，存在 ∈ PS（n， r），使得β=α.由 I 是部分變換半群 PS（n，r）的理想可知β I，即Jα= Jr g I，由引理2可知SP（n r = U Js = E J ）. 綜上可知 I=SP（n，r）.

引理6設 S 是正則半群，則I 是半群 S 的理想，則 I 是半群 S 的正則子半群.

命題1設 0≤ r ≤ n-1，則ps（n r）=sp（n r）usn 是部分變換半群 Pn 的正則子半群.類似引理5的證明可得如下命題.

命題2 設 I 是半群 PS（n，r）的非空子集，則 I 是半群PS（n，r）的理想當且僅當存在s 0 1，2 r -1， r 使得 I=SP（n，s）或 I=PS（n，r）.

引理7 設0≤ r n-1，S 是 PS（n，r）的子半群，若 Sn S 且對任意的α e Jr，sn[α]，則S=PS（n，r）.

引理8設0≤ r ≤n-1，則N =ps（n， r）N[α]（α e J， ）是 P n， r 的極大子半群.

證明.第一步證明 N 是半群 PS（n，r）的子半群.

注意到Jr =αUJ α且PS（n r α= sn USP n r -） U Jr [α]），顯然存在Y Spn [α. 任意取 Sp r α]，若 [α ， 則 Jr且～a.于是存在a， μ e S ，使得= ∈ Jr .由 ∈ Jr 可得 ker（）=ker（），從而part（）=part ），顯然～a.由引理3可得，part（）=part（α）.于是pat ）= part（）=part ）=part（a），從而由引理3可得～a，與6eps（n r）＼[α]矛盾.因此，Ps（nr，）N[α]是 Pn， r 的子半群.

第二步證明 N 是半群 PS（n，r）的極大子半群.

假設N 是PS（n，r）的子半群且[PS（n r）α] T，則S， = T且Tn α ， 由引理7可得 S=PS（n，r）.因此，PS（n，r）＼[a]是 PS（n，r）的極大子半群.

引理9設0≤ r ≤ n-1且 G 是 Sn 群的極大子群，則M=SP（nr）UG是 PS（n，r）的極大子半群.

證明.第一步證明 M 是半群 SPn，r 的子半群.

對任意的α， β e M，若α， β e G，則aβeG；若α， β esp（n， r），則β e Sp（n r）；若αeG，β esp（n， r），則∈ Jβ Sp（n， r）；若α esp（n r），β e G，則$∈ Ja SP（n r），即 M 是 PS（n，r）的子半群.

第二步證明 M 是半群 PS（n，r）的極大子半群.

若存在半群PS （n， r）的子半群 T 使得M=SP（nr） UG T PS（n， r）.

如果T=M=SP（n r）UG，對任意的yeps（n， r） T，則Y ∈ sn G .由 G 是群 Sn 的極大子群可知 GU{Y = S ，易見，對任意的Y PS（n r） T有 TU{Y = PS（n，r），即M=SP（n， r）UG是半群 PS（n，r）的極大子半群.

若M=SP（n， r）UG g T PS（n， r），則Tn sn G） ， 一定存在r e Tn sn ＼G）.再由 G 是 Sn 群的極大子群可知 GU{}=S ，即S T.注意到 SP（n，r） T，可得 PS（n，r） T.結合 T PS（n，r）可知 T=Pn，r 矛盾.綜上可得，M=SP（n，r） T 是PS（n，r）∪G 的極大子半群.

定理1的證明. 由引理8可知N =PS（nr，） [α]（α e Jr 是 SPn， r 的極大子半群；再由引理9可知 M =SP（n r）UG是SPn，r 的極大子半群.反之，設S 是 SPn， r 的極大子半群，則sn n s （否則，S S = 必有S SP（n， r） PS（n， r）U X PS（nr，）.結合極大子半群的定義可知S 不是半群PS（n，r）的極大子半群與 S 是半群 PS （n， r）的極大子半群矛盾. 易見 S， ns ）.（i）若S， g S，則由引理7及S 的極大性可得，存在α e Jr ，使得sn[α= ，于是S S U （SP（n，r）＼[α）= PS（n，r） [α]= N ，從而由 S 的極大性可得 S = N =ps（n r） [α].（ii）若sn ns c sn，令 G = sn n s，則 G 是 Sn 半群的子半群.假設存在 Sn 的子半群 G*，使得G C G＊.令S＊= SP（n， r）UG ，則 S*是 PS（n，r）的子半群且 SCS*，于是由 S 的極大性可得 S*=PS（n，r），從而 G*=Sn .因此，G 是群 Sn 的極大子半群.注意到S SP（n r）UG = M C PS（n r）. 再由引理9及 S 的極大性可得S = M =SP（n，r）UG.

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（責任編輯：羅東升）