數學方法抽象性的具象轉變探析

摘要：數學方法的抽象性給學生的數學學習帶來了距離感。應融合數學方法的形成過程和學生學習數學的思維過程，讓數學方法的抽象性更容易被學生接受，增強數學學科的親和力。教師可帶領學生深入弱抽象過程，投入探究過程，融入再創造活動，引入數學文化，淡化數學方法的抽象性，培養學生數學核心素養。

關鍵詞：數學方法；抽象性；具象教學；小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2024）02-0117-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，數學眼光主要表現為：抽象能力（包括數感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創新意識。通過對現實世界中基本數量關系與空間形式的觀察，學生能夠直觀理解所學的數學知識及其現實背景；能夠在生活實踐和其他學科中發現基本的數學研究對象及其所表達的事物之間簡單的聯系與規律；能夠在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，進行數學探究；逐步養成從數學角度觀察現實世界的意識與習慣，發展好奇心、想象力和創新意識[1]。具象思維是直觀思維的初級形式，而形象思維是直觀思維的高級形式。數學具有抽象性，對于以直觀思維為主的小學生而言，抽象的數學是有理解難度的，具象思維是幫助他們理解抽象數學的重要手段。

數學的一個最基本的特征就是高度抽象，而且數學的抽象還不同于其他學科：數學不但研究的對象是抽象的、形式化的思維材料，而且數學研究的思辨方式也是抽象的。數學的抽象特征處理得不當就會遮蔽數學學科應有的親和力，掩蓋學生學習數學的興趣，影響數學學習的效果，解決這一問題的最佳策略是數學學習的具象化。小學數學的概念、方法與思想等是隨著人類的發展以及數學本身的發展自然形成的。數學學習認識論認為學生學習數學思維過程是“從具體到抽象，從特殊到一般，由表及里，由現象到本質”。筆者提出淡化數學方法的抽象性，不是要拋棄數學抽象性，而是主張融合數學方法的形成過程和學生學習數學的思維過程，讓數學方法的抽象性更容易被學生接受，增強數學學科的親和力。

一、深入弱抽象過程，在數學化中發現

數學研究的對象是抽象的、形式化的思想材料，但現實世界中畢竟沒有這些對象物化形式的實際存在，人類可能會依據數學對象去形成相關的客觀背景，但它們依舊是人類思維抽象的產物。這種舍棄部分屬性、保留共同屬性的弱抽象過程讓部分學生感到陌生，但數學對象形成的客觀背景卻為教學提供了突破口：通過豐富感知的材料，經過觀察、比較等活動展示數學化的過程。

例如，在“倍的認識”的教學中，教師引導學生用小棒擺兩行，讓第二行的根數是第一行的5倍，開展比較：小棒的數量都不同，為什么第二行都是第一行的5倍？進一步拓展：（第一行3根，第二行15根）第二行是第一行的幾倍？如何擺6倍、10倍、100倍？如果把小棒變成相對應的綠帶子與紅帶子，紅帶子的長是綠帶子的幾倍？去掉帶子的顏色，長帶子是短帶子的幾倍？帶子變成線段，再標上長度，第二條線段的長度是第一條的幾倍？學生會自覺地想到用除法計算倍數關系。教師追問這里為什么用除法。學生發現就是求10里面有幾個2，所以用除法計算。

這個學習過程實際上和人類認識數學的抽象過程是一致的：從小棒這樣的實物之間的倍數開始動手操作，先把小棒抽象為彩帶，去掉彩帶的顏色，再把彩帶抽象為線段，最后把線段抽象為用數據表示的長度，成倍數的兩個量可以有不同的表現形式，但只要是把一個量看作1份，另一個量有這樣的5份，就是5倍的關系。學生通過兩個數量之間的5倍關系由具體到抽象的過程，認識到求兩個量之間的倍數關系用除法。抽象的數量之間倍的關系經歷了這樣的生成過程，運用圖例、實物等思維“可視化”技術可將學生看不見的思維方法呈現出來，使學生思維變得清晰，從而幫助學生理解概念、發現規律、掌握方法、建構思想等[2]。

二、投入探究過程，在猜想驗證中體驗

數學的思維方式以抽象的思辨為主，嚴謹的邏輯推理對小學生而言過于抽象，學生會感到比較陌生。根據小學生的年齡特點，無論是教材的編寫人員，還是一線的教育專家都建議：數學教學中多運用合情推理的探索方法來得出結論。這種合情推理的方法就是從一類對象的部分對象都具有的某種性質中推出這類對象全體都具有這種性質，從一個或幾個特殊情形中推出一般性結論的歸納推理方法。實踐證明學生很容易接受并掌握這種方法。

在“分數除以整數”的教學中，創設探究過程，讓學生獲得觀察猜想和舉例驗證的體驗。

（一）搭建觀察猜想的平臺

數學的歷史表明，數學的發展與數學猜想密切聯系。猜想時，往往要將問題加以特殊化和具體化，對觀察到的現象和情況進行分析、比較、綜合、歸納，把其中本質的性質抽取出來，目的是為了提出合理的猜想。它不是對問題的所有可能的情況進行歸納，而是從若干個別的事實中看到真理的端倪或身影，從中受到啟發，提出假設和猜想。

教師出示這樣的題組：“老師帶來了同樣大小的4個橙子分給小朋友，每人吃2個，一共可以分給幾個小朋友？每人吃1個呢？每人吃?個呢？”通過追問“為什么這里都用除法？”，讓學生感知4里面有幾個“1份”。教師引導學生通過分圓片來觀察思考：“4里面有幾個?呢？”學生觀察圓片可以很快看出4里面有8個? ? ?。仔細對比4÷? ? ?、4×2這兩個式子，有些思維能力較強的學生當時就能提出這樣的猜想：似乎一個數除以幾分之一等于乘幾分之一的倒數。

（二）提供舉例檢驗的空間

小學數學探究活動中的檢驗，并不是通常意義上的數學證明，即不是邏輯推理的論證，因此這樣的猜想驗證才會被小學生接受。這種探究性的檢驗，實際上是借助特例或反例，對所提出的猜想進行思想驗證。通過這樣的檢驗，或提高猜想的可信度，或對原來的猜想進行改進，或推翻原來的猜想。

針對提出猜想后學生感覺到還需要再探究一些例子，教師及時呈現以下例子：“如果每人吃? ? 個，可以分給幾人？如果每人吃? ? 個呢？”讓學生分組研究，學生邊操作邊思考，找到解決問題的辦法，認識到4÷? ? 和4÷? ?這兩個例子都可以用整數乘這個分數的倒數來算。有學生持懷疑態度：這個結論有可能是對的，但目前我們還不能確定。然后再追問：怎么才能確定這個結論是正確的呢？有學生提出：可以用4除以一個任意的分數試試看。教師再引導：是不是每個人所舉的例子都可以用乘倒數算呢？學生發現全班同學的幾十個例子中都找不到反例，結論正確的情況越多，結論的可靠性就越大。此時，教師深入提問：“有沒有同學的例子能代表所有的同學所舉的例子？”啟發學生舉出一般性的例子：“4個橙子，如果每人吃? ? ?個，可以分給幾人？（n不為0）”當然，這個例子概括了這種問題的所有情況，已涉及代數的內容，具有很強的抽象性。

通過以上層層深入的幾個步驟，學生充分地自主探究、體驗，思維從具體到抽象、從特殊到一般。這樣探究的方式，學生樂于接受，同時還可提升不完全歸納的可靠性，培養學生科學嚴謹的學習精神。

三、融入再創造活動，在親身實踐中提煉

數學思想方法是對數學對象的本質認識，是對數學認識過程中提煉概括的基本觀點和根本想法，對數學活動具有普遍的指導意義，是數學的靈魂。數學思想方法不能單獨存在，而是蘊含在數學知識中，特別蘊含在數學概念和原理的形成過程中。這就要求我們有意識地安排從中領悟數學思想方法的過程[3]。實踐中應當充分利用概念和原理的形成過程，讓學生在教師的指導下經歷數學思想方法的再創造過程，即悟數學思想方法。悟需要實踐過程，需要一個循序漸進、逐步逼近思想本質的過程。

重疊問題在日常生活中應用比較廣泛，具有濃濃的生活味。集合是比較系統抽象的數學思想方法，針對小學生的認知水平，讓學生通過生活中容易理解的題材去初步體會集合思想，學生能夠用自己所悟到的數學思想方法來解決問題[4]。因此，在“重疊問題”的教學中，集合圖的生成及理解一定要作為重中之重，因為集合圖滲透著集合的數學思想。集合圖的生成過程就是集合思想的滲透過程。學生初次接觸，對于他們來說是一個認知的跨越，也是一個思維的跨越。

在教學中，首先，為學生提供含有重疊問題的信息：參加定點投籃比賽的同學的名單和參加運球跑比賽的同學的名單。其次，引導學生在解決問題時多加思考：需要選拔多少人參加這兩項比賽？為什么有的計算的結果比實際數量要多？再次，激發學生整理重復信息。整理的結果應該符合這樣的標準：體現形象、美觀、簡單的特點，便于觀察。最后，在課堂上讓學生充分地自主整理，學生發現了很多整理的方式：

方式1：

參加定點投籃比賽的：1、2、3、（4、5）

參加運球跑比賽的：6、7、8、9、（4、5）

括號里是兩項都參加的

方式2：

只參加定點投籃比賽的：（1、2、3）

只參加運球跑比賽的：（6、7、8、9）

兩項都參加的：（4、5）

方式3：

只參加定點投籃比賽的：（1、2、3）

兩項都參加的：（4、5）

只參加運球跑比賽的：（6、7、8、9）

方式4：（分別對應文字下方內容，括號里兩項都參加）

參加定點投籃比賽的：? ? ?參加運球跑比賽的：

1、2、3、（4、5）、6、7、8、9

教師追問：表示信息的方式各有什么特點呢？哪一種表示方式最好？找一找心目中理想的方法。多種不同的方式可以引發學生思維的碰撞。

學生的再創造源于自身對問題的深切感受和教師的恰當引導，是學生為了解決問題的必然選擇，從而使再創造成為可能。經歷這樣的再創造，學生對抽象的、集合的數學思想方法不再陌生，感覺這些方法就在自己身邊，當學生需要時，經過思考，這些數學思想方法就會得以運用。

四、引入數學文化，在具象探究中提升

教師不僅僅是數學知識的傳遞者，也是數學文化的介紹者，更是學生數學觀念的締造者[5]。數學文化是數學歷史發展的“活化石”。課堂上教師不僅能把數學文化當作開拓視野的內容，而且可以借鑒數學文化中經典方法的實際運用，引導學生在具象的探究中，創造性地解決一些數學方法探索中的矛盾。

將數學文化中的內在美引入課堂，在數學文化中追尋數學的美，不僅有利于學習困難的解決，而且有利于學生對數學方法產生親切感。例如，學生對圓周率已知曉，但教師故意“攪局”，問道：墨子說“大圓之圓與小圓之圓同”，《周髀算經》說“周三徑一”，都是書上記載，為什么會不同呢？在這樣的問題思考中，引發認知沖突，學生就會精心測量周長、直徑，認真地計算。學生的探究還是得不到3.14。甚至教師的親自動手測量計算都得不到理想的數據，學生感覺到用測量的辦法是永遠無法得到這個答案的。基于這樣的憤悱情緒，學生就會有去探尋中外數學家解決圓周率問題的動機。“割圓術”在此時的出現水到渠成，教師介紹“割圓術”：不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周長的方法。按照這樣的思路，由此而求得了圓周率為3.14和3.1416這兩個近似數值。教師讓學生討論“割圓術”和“操作測量法”比較有什么優點。學生感覺到越是把圓周分割得細，誤差就越少，其內接正多邊形的周長就越是接近圓周。如此不斷地分割下去，一直到圓周無法再分割為止，也就是到了圓內接正多邊形的邊數無限多的時候，它的周長就與圓周“合體”而完全一致了。

“割圓術”數學方法的巧妙和數學思想方法的創造讓學生在形象生動的探究過程中感受到數學的美好。在具象探究中解決圓周率的有關問題時，學生受到數學文化的熏陶、數學美的感染，被培養了這樣的觀念：當一種方法難以解決一個問題時，就得另辟蹊徑，這就是數學上的創新。

教學實踐中，教師應堅持循序漸進，逐步深入；強調從特殊到一般，從具體到抽象；克服急于求成、急功近利的思想。教師帶領學生深入弱抽象過程，投入探究過程，融入再創造活動，引入數學文化，淡化數學方法的抽象性，讓不同智力水平的學生獲得基本的數學素養。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022：5-6.

[2]徐萌.聚焦思維“可視化”，引領學生走向數學意義的深刻理解[J].教育觀察，2019（8）：100-101.

[3]陳志凱.指向思維可視化的小學數學教學策略[J].數學教學通訊，2022（4）：17-18.

[4]徐慧萍.講究教學策略 提升思維品質[J].小學數學教育，2018（9）：16-17.

[5]陳華忠.提升數學核心素養的五個著眼點[J].江西教育，2016（29）：73-74.

責任編輯：石萍

收稿日期：2023-12-11

作者簡介：程偉偉，南京市鼓樓實驗小學，主要研究方向為小學數學教學。