做數學 行推理

趙犇 顧香才

課題信息：南京市“十四五”規(guī)劃課題2021年度重點課題“‘做數學理念下初中生邏輯推理素養(yǎng)的實踐研究”，課題編號為LZD/2021/17.

摘要：“做數學”對初中學生邏輯推理能力素養(yǎng)的培育至關重要.基于教學案例，分析“做數學”的教學價值，“做數學”理念下的新課堂應當普及并推廣.以“做”為支架，革新課堂設計策略，“先做后學”可以更好地促進學生全面發(fā)展.

關鍵詞：“做數學”；邏輯推理；教學案例；教學策略

新課標指出：推動育人方式變革，著力發(fā)展學生核心素養(yǎng)［1］.課堂教學模式改革已成趨勢，“做數學”便是一種更開放、更靈活的新的教學方式.“做數學”，讓學生享受完整的數學學習，是發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)的高效載體.基于“做”中學的主動探究，利于培養(yǎng)學生形成有理有據的思維習慣，學會理性地看待世界.本文中從“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的教學現(xiàn)狀與解決思路、教學價值、教學案例、教學設計策略展開說明.

1 邏輯推理素養(yǎng)培育的教學現(xiàn)狀與解決思路

1.1 “做數學”培育邏輯推理素養(yǎng)的缺失

“提出概念—概念辨析—例題講解—針對練習—反饋練習—反復訓練”這一套重識記輕理解、重模仿輕思維、重結果輕過程的數學教學流程是當下初中數學課堂的寫照，部分教師“唯分論”的教學難以涉及“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)的培育.

另一方面，部分教師僅僅依托課本，教學上大多是數學內部到數學內部、生活情境再到數學內部等，不會上“做數學”理念下邏輯推理的課.此外，專家講座等一系列區(qū)域教研活動中，“做數學”理念下邏輯推理的課堂也涉及尚淺.

1.2 “做數學”在教學過程中未真正滲透

目前發(fā)現(xiàn)的部分“做數學”邏輯推理的課堂，有些教師仍然放不開.課堂上體現(xiàn)了“做數學”的工具性，可思維的指向性過于明確，缺乏“做數學”的探究性，反而限制了學生邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展.

例如，如何畫一個角等于已知角？準備的工具有紙張、剪刀、圓規(guī)、直尺、筆等，部分教師在學生思考、動手操作后，自己通過演練展示或讓作法符合課本的學生口述再進行模仿，這樣的教學處理未滲透“做數學”理念.其一，沒有考慮學生在已有知識經驗的基礎上，是否會選擇圓規(guī)畫角；其二，模仿并不能體驗數學的完整性，缺失個性發(fā)展的知識建構.在“做數學”課堂實踐中，學生首先能夠通過“比角—裁角”得到角等于已知角，再小組合作討論，發(fā)展邏輯推理，通過“比角—移角（三邊相等）”得出較之課本上使用圓規(guī)的更一般化的作法.

1.3 “做數學”培育邏輯推理素養(yǎng)的嘗試

解決當下“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的教學現(xiàn)狀，可從以下方面進行嘗試：組建團隊，提高新課堂普及率，創(chuàng)新開發(fā)新課堂；建立完整教學機制，總結歸納出適合當地學情的課堂教學方式（本文中的課設策略可供參考）；建設教學、工具資源庫，收集典型案例進行匯編.

2 邏輯推理素養(yǎng)培育的教學價值

2.1 科學育人，提升邏輯推理素養(yǎng)

“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的課堂教學，通過選材、操作、觀察、推理、感悟等一系列教學活動，先做后學，有別于傳統(tǒng)灌輸、機械模仿的教學，改變了知識的呈現(xiàn)形態(tài)和學生的學習方法.這樣，不僅促使學生在“做”中記，也促使學生在“做”中推理、“做”中說，這種全身心多感官的學習，使得學生能更好地解決問題.

“做數學”邏輯推理素養(yǎng)培育的課堂教學是一種新穎的科學育人教學方式，可以高效地提升學生的邏輯推理素養(yǎng)，有助于學生體驗數學、感悟數學.另外，“做數學”還極大地激發(fā)了學生的學習興趣，調動了學生的學習熱情，引起了學生的好奇心，使學生以一種積極的態(tài)度投入到實驗探究的活動中［2］.

2.2 有效“培師”，促進教學發(fā)展

“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的課堂教學內容異常豐富，情境的創(chuàng)設、操作可行性的辨別、課堂完整性的把控等都需要教師精心備課，在備課過程中，資源庫、工具等的最終呈現(xiàn)也需要教師操作性的支持.

“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的課堂是教師發(fā)揮個人創(chuàng)造性的一個優(yōu)良平臺，教師對數學內容、數學教學法、教育學理論的理解會更加深入，能更有效地將原理知識運用到實驗的設計和實驗教學的控制中，使自己的策略性知識得到有效增長［3］.

3 “做數學”培育邏輯推理素養(yǎng)的教學案例

3.1 認識簡單的幾何體

蘇科版七年級上冊“認識簡單的幾何體”這一節(jié)的教學，不能由教師空洞地告知學生簡單幾何體的特征去模仿記憶.備課時需要融入“做數學”理念，讓學生在“做中學”“做中思”“做中說”.課堂上，提供了《實驗手冊》后面的立體圖形展開圖和一個不透明的布袋.

課堂教學的關鍵環(huán)節(jié)如下：

問題? 在我們學校同學們看到了哪些幾何體？通過身邊的實物向同伴介紹它們的特征.

活動1：學生自發(fā)選擇教室內已有幾何體進行介紹，對于沒有的幾何體，根據《實驗手冊》中的展開圖制作后再介紹.

活動2：三人一組設計小游戲，向其他同學證明你認識了圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、球等這些簡單的幾何體，并能用規(guī)范語言詳細地描述它們的特征.

活動3：學生分小組展示.

甲組設計了將這些制作的幾何體放在不透明的布袋中，其中一人按同伴要求或者其他小組要求先在布袋中摸出指定的幾何體，并描述其特征，小組內第三人對其描述作出補充的小游戲.

乙組設計了“摸—描述—畫”幾何體的游戲，全班參與度高，“畫”這一環(huán)節(jié)學生熱情高漲.

丙組設計了由一人指出幾何體頂點、面、棱的數量，另一人明確是什么幾何體以并給出幾何體的名稱，看誰更快速說出頂點、面、棱的數量的小游戲.這個小游戲的最后，全班學生發(fā)現(xiàn)了棱柱

頂點、面、棱的數量關系，并進行了小組驗證.

活動4：師生總結.

“認識簡單的幾何體”的實驗類型偏向于驗證性，主要依托“做數學”發(fā)展學生的空間觀念.在課堂實踐中，學生由現(xiàn)成幾何體到制作幾何體的動手操作實現(xiàn)了學生學習的主動性.

小組圍繞棱柱頂點、面、棱的數量關系設計小游戲并進行驗證，體現(xiàn)了在“做數學”中培育邏輯推理能力，促進理性思維的發(fā)展.

3.2 簡單平面圖形的折紙游戲

“紙藝”有著悠久的歷史文化，其中圖形豐富多彩，蘊含了大量的數學邏輯推理.在學習完四邊形的相關內容后，基于“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的教學構思，實踐了一節(jié)簡單平面圖形的折紙游戲的課堂教學.課堂上，提供了若干長方形與正方形的紙張、剪刀、直尺等工具.

課堂教學的關鍵環(huán)節(jié)如下：

活動1：展示學生的課前紙藝作品，給予獎勵.

問題? 同學們可以制作出其他簡單的幾何圖形嗎？互相展示，說明這樣折紙的理由.

活動2：學生自發(fā)動手制作，折出各式各樣的平面

圖形，相互分享.

其中，由正方形紙片折出等邊三角形的學生經過了個人的大量嘗試和小組討論，最后由小組展示成果，如圖1～4所示.

每一種折等邊三角形的方式，由學生合作推理后說明其合理性.圖1～圖3均可由折疊知三邊相等，而圖4需結合“直角三角形中等于斜邊長一半的直角邊所對的角為30°”，進一步由“含60°角的等腰三角形是等邊三角形”來說理.

活動3：師生總結.

簡單平面圖形的折紙游戲是基于“做數學”理念下的探究性課堂.僅僅借助課本對特殊四邊形的逐個研究無法滿足學生對四邊形的高度認知的需求，而本節(jié)課讓學生在“做”中思，“做”中說，在折紙過程中不斷嘗試對每個命題進行證明或證偽，培育學生邏輯推理能力.

3.3 正方體的截面探究

正方體被平面所截的截面可能的形狀，是中考的熱點問題，而初中學生難以通過大腦直觀想象解決.動手實踐，化抽象為具體，可以讓學生更好地解決問題.課堂上，提供了若干正方體橡皮泥、塑料切刀作為工具.

課堂教學的關鍵環(huán)節(jié)如下：

問題? 正方體被平面所截的截面可能的形狀有哪些？將你的成果和同桌對比分享，并設計一個小游戲，讓其他同學加深對截面形狀的認知.

活動1：學生極大興趣地對正方體橡皮泥進行切割嘗試，討論交流.

活動2：由學生自由展示被截后的橡皮泥，并描述如何操作.

活動3：小組設計“你說我截”的游戲——

一名學生指定截面形狀，另外一名學生投影展示如何截取，其他學生給予評價.如：等邊三

角形、正六邊形等.其中，是否能截出直角三角形和鈍角三角形，全班學生在嚴謹的邏輯說理后（代數推理），得出“不能”的結論.

活動4：師生總結.

“正方體的截面探究”是發(fā)展學生幾何直觀素養(yǎng)的有效載體，“做數學”便于學生從三維到二維的轉換理解.在“你說我截”的游戲中有意引導是否能截出直角三角形和鈍角三角形，結合代數推理，能更好地促進學生對“做數學”下邏輯推理的感悟.

3.4 發(fā)現(xiàn)生活美——白銀分割和白銀矩形

生活中充滿了數學美，如對稱美、黃金分割美……用一雙善于發(fā)現(xiàn)美的眼睛觀察，會發(fā)現(xiàn)生活中常用的A類紙（A0，A1……）長與寬的比均為2∶1，在相似的小結與思考中，對此可以開展一節(jié)“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的教學.課堂上，提供了若干A類紙（A0，A1……）、直尺作為工具.

課堂教學的關鍵環(huán)節(jié)如下：

問題? 你能發(fā)現(xiàn)生活中常見的A類紙的美嗎？

活動1：學生觀察并用提供的工具動手測量后，得出A類紙的長與寬之比為2∶1，并自主類比黃金分割給出了白銀分割和白銀矩形的定義.

追問1：對折A4紙，你還發(fā)現(xiàn)了什么？

活動2：學生操作發(fā)現(xiàn)對折后新矩形與原A4紙矩形相似，并說理驗證.

追問2：能用任意矩形紙片折一個白銀矩形嗎？

活動3：學生大量折紙嘗試，小組激烈討論后，分享折紙和推理過程.

活動4：師生總結.

“發(fā)現(xiàn)生活美——白銀分割和白銀矩形”是“做數學”下的驗證性課堂，數學源于生活而又高于生活，“如何用任意矩形紙片折一個白銀矩形”是本節(jié)認知中基于邏輯推理素養(yǎng)培育問題的集中體現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)、驗證、解決、應用問題的過程對培養(yǎng)學生的能力和品格顯得尤為重要.

在上述教學案例中，部分學生在實際操作中可以反復動手累積經驗獲得最終的成果，但不能夠清晰明確其“做數學”后的原理，因而需要由教師或小組引導，進一步達成邏輯推理素養(yǎng)的培育.“做數學”的理解性、驗證性、探究性三種實驗類型都能有效促進學生全身心體驗完整的數學學習，而融入邏輯推理素養(yǎng)的培育更加使得學生多元化綜合發(fā)展.因此，普及“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的課堂勢在必行.

4 “做數學”培育邏輯推理素養(yǎng)的設計策略

結合新課標及新時代科學育人的數學教學要求，對“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的教學現(xiàn)狀與解決思路、教學價值、教學案例等進行大量研究后，可以初步形成相關的教學設計策略，如圖5所示.

以上設計策略具有參考性，任何教學都需堅持全面性原則，不同的學生要進行不同層次的“做數學”理念下邏輯推理素養(yǎng)培育的教學.課堂教學過程中，對于基礎薄弱的學生“做數學”的工具性、操作性、實踐性應給予更多選擇與幫助，問題解決中邏輯推理思維的培養(yǎng)適當方向化、明確化.對于綜合能力較強的學生，教師應放開手讓學生多角度去實踐思考，提高思維的廣度和深度.

另一方面，“做數學”邏輯推理素養(yǎng)培育的教學設計應具備學科支持性、可開發(fā)性、推廣性等.基于目前的教學現(xiàn)狀，區(qū)域的數學教研應該鼓勵教師嘗試開發(fā)不同學段、同課異構的創(chuàng)新教學，并收集典型案例進行匯編以供教師學習實踐，建設教學資源庫和工具資源庫，讓教學課堂可以常態(tài)化開展.

5 反思

“做數學”源于生活，腦、手、口多感官全身心的融入學習過程中，可以激發(fā)學生學習的樂趣，讓學生領略數學的操作美、簡潔美.基于新課標，革新課堂教學，培育數學邏輯推理能力在“做數學”的教學方式中體現(xiàn)得淋漓盡致.新課堂及教學雖處于萌芽狀態(tài)，但能高效地讓學生從“做”中學會用數學的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數學的思維思考現(xiàn)實世界、用數學的語言表達現(xiàn)實世界，進一步促使學生以嚴謹的邏輯推理思維發(fā)現(xiàn)并解決問題.這顆萌芽必將在一線教師的創(chuàng)新實踐下，迅速成長為數學教育教學中的參天大樹！

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章建躍.“做數學”的育人價值探討［J］.教育研究與評論，2021（3）：27-29.

［3］喻平，董林偉.初中數學實驗的本質解析［J］.課程·教材·教法，2016（8）：89-95.