分車模式下地鐵客貨協(xié)同運輸與時刻表聯(lián)合優(yōu)化

摘要：【目的】為了研究分車模式下地鐵客貨協(xié)同運輸與時刻表聯(lián)合優(yōu)化問題，對列車、需求與潛在的時空軌跡之間的關(guān)系進行了重構(gòu)，從而構(gòu)建了整數(shù)線性規(guī)劃模型，替代了傳統(tǒng)的非線性規(guī)劃模型。【方法】該模型的目標函數(shù)包含了貨運列車的運用數(shù)量、客運需求的等待時間以及貨運需求的滯留時間，所需滿足的限制條件主要包括客貨需求的流平衡約束、客貨列車的容量約束、客運需求的最長等待時間約束以及貨運需求的最長滯留時間約束等。通過松弛表示客貨流量分配的整型變量，原始模型可等價地轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)規(guī)劃模型，這可提高模型的求解效率。以北京地鐵原八通線為場景構(gòu)造一系列算例，并利用商業(yè)求解器Gurobi 對其進行求解。【結(jié)果】實驗結(jié)果表明：相較于原始模型，Gurobi 能夠更快地求解松弛模型；相較于原時刻表，優(yōu)化后的時刻表能夠減少系統(tǒng)的廣義成本。【結(jié)論】所提出的方法不僅能夠滿足分車模式下的地鐵客貨協(xié)同運輸需求，而且可以有效控制分車模式下的地鐵貨運對客運需求的影響。

關(guān)鍵詞：地鐵貨運；客貨協(xié)同運輸；分車模式；時刻表

中圖分類號：U121 文獻標志碼：A

本文引用格式：邸振，左晗锜，羅俊. 分車模式下地鐵客貨協(xié)同運輸與時刻表聯(lián)合優(yōu)化[J]. 華東交通大學學報，2024，41（6）：81-89.

【研究意義】基于地鐵的客貨協(xié)同運輸是近年來的研究熱點[1-4]，在運營操作上有客貨分車和客貨共車兩種模式[5-6]，且有關(guān)后者的研究居多。客貨共車模式雖然在資源的利用率上更有優(yōu)勢，但對乘客的影響較大。因此，研究分車模式下地鐵客貨協(xié)同運輸與時刻表聯(lián)合優(yōu)化問題，具有一定學術(shù)意義和實際應(yīng)用價值。

【研究進展】對于給定的地鐵時刻表，Di等[7]研究了客貨共車模式下的車廂分配和流量控制聯(lián)合優(yōu)化問題，該問題被構(gòu)建成一個整數(shù)線性規(guī)劃模型，并采用了基于Benders 分解的精確算法進行求解。邸振等[8]更加細致地考慮了貨運需求的運輸方式約束和客貨需求的時間窗約束，利用商業(yè)求解器Cplex 對所構(gòu)建的模型進行求解。此外，楊婷等[9]構(gòu)建了基于地鐵的地下物流路徑優(yōu)化模型，并采用了遺傳算法求解。鄭長江等[10]設(shè)計了基于道路和地鐵的地上地下協(xié)同配送模式。

當?shù)罔F時刻表作為決策變量加入到基于地鐵的客貨協(xié)同運輸優(yōu)化問題時，所構(gòu)建的模型多為非線性的。例如，Behiri 等[11]在客貨共車模式下沒有考慮車廂分配，構(gòu)建了地鐵客貨運輸與時刻表協(xié)同優(yōu)化問題的數(shù)學模型，由于所構(gòu)建的模型為非線性混合整數(shù)規(guī)劃模型，故采用了啟發(fā)式求解算法。Ye等[12]和Hou 等[13]也考慮了類似的問題，他們分別采用了變鄰域搜索算法和遺傳算法進行求解。Ozturk等[14]，Sahli 等[15]先后研究了利用城市軌道交通進行貨運的時刻表優(yōu)化問題（所構(gòu)建的模型也是非線性的）；但由于僅僅考慮了非客運時段，他們的研究并不是實質(zhì)上的客貨協(xié)同運輸?shù)臅r刻表優(yōu)化。

【創(chuàng)新特色】在非高峰時段，城市軌道交通的列車之間具有較大的時間間隔，在其間開行貨運專列對乘客的影響較小，但現(xiàn)有文獻較少研究分車模式下的地鐵客貨協(xié)同運輸與時刻表聯(lián)合優(yōu)化問題。另一方面，地鐵時刻表優(yōu)化問題往往被構(gòu)建成非線性模型，雖然某些模型可以線性化，但所引入的中間變量及較大實數(shù)可能對算法或者求解器的效率產(chǎn)生較大影響。考慮到已有研究的不足，本文主要研究分車模式下的地鐵客貨協(xié)同運輸與時刻表聯(lián)合優(yōu)化問題，將問題構(gòu)建為線性整數(shù)規(guī)劃（ILP）模型。

【關(guān)鍵問題】本文對列車、需求與潛在的時空軌跡之間的關(guān)系進行了重構(gòu)，這為構(gòu)建問題的ILP 模型及利用商業(yè)求解器求解該模型奠定了基礎(chǔ)。通過松弛部分整型變量，將原始模型等價地轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)規(guī)劃模型，從而提高模型的求解效率。

1 問題描述

城市軌道交通在非高峰時段的冗余運力和較長的發(fā)車間隔，為城市軌道交通運營企業(yè)開發(fā)貨運、協(xié)同組織客流和貨流提供了可能。在客貨分車模式下，本文對客運列車之間加入貨運列車并重新編制時刻表問題進行研究，從而達到地鐵客貨協(xié)同運輸與時刻表聯(lián)合優(yōu)化的目的。

如圖1（a）所示，某地鐵線路有3 個車站，黑色的折線表示列車原有的運行圖，其中在高峰時段的列車之間間隔較小，而在非高峰時段列車之間的間隔較大。在非高峰時段，部分客運列車被允許改為貨運列車運行，如圖1（b）所示，或者加開貨運列車，如圖1（c）所示。因此，本文所研究的時間域為非高峰時段，在該時段內(nèi)，每個車站有乘客需求（以人數(shù)計）和貨物需求（以標準貨運單元的數(shù)量計，記為SFU）。無論是客運列車改為貨運列車還是加開貨運列車都會對乘客出行產(chǎn)生一定影響。如果直接將某客運列車改為貨運列車，部分乘客的等待時間延長，緊隨貨車之后的那趟列車較為擁擠。如果直接在某兩列客運列車之間加入貨運列車，則可能導致列車之間的時間間隔不足以滿足安全性的要求。綜上所述，假如城市軌道交通運營企業(yè)要開發(fā)客貨分車模式下的貨運業(yè)務(wù)，就必須根據(jù)客運和貨運需求對時刻表重新編制和優(yōu)化。

假設(shè)已經(jīng)給出分車模式下的地鐵客貨列車時刻表，如圖1（d）所示，其中黑色折線表示客運列車的運行圖，紅色折線表示貨運列車的運行圖。接下來就要將時間依賴的客運需求合理地分配到客運列車上，將時間依賴的貨運需求合理地分配到貨運列車上，從而高效地完成運輸任務(wù)。

2 數(shù)學模型

本節(jié)將上述問題構(gòu)建為ILP 模型，為此需要一些假設(shè)：

假設(shè)1 在所考慮的時段內(nèi)，客運列車和貨運列車的總數(shù)是固定的，且它們的運輸能力是固定的；

假設(shè)2 地鐵運行過程中的停站時間和區(qū)間運行時間是已知的；

假設(shè)3 乘客需求和貨運需求的時空分布均是已知的，乘客需求量以人為單位計量，貨運需求量以SFU為單位計量；

假設(shè)4 所有的客運需求和貨運需求必須得到滿足。

為了建模和敘述的方便，所需要用到的符號、參數(shù)及變量如表1所示。

2.1 約束條件

考慮一條包含車站集 S = {1，2，…，s } max 的地鐵線路，在非高峰時段[0，T] 內(nèi)有列車集I = {1，2，…，i } max 在該線路上運行。第1 節(jié)所敘述的問題實際上包括3 方面的決策：① 所有列車的運行圖；② 貨運列車的分布；③ 客貨需求的分配。

針對所有列車的運行圖而言，在假設(shè)1 下，首先給出運行圖選擇集 K = {1，2，…，k } max ，即列車潛在的時空軌跡備選集，如圖2 所示。在該圖中，相鄰兩個潛在的時空軌跡之間的時間間隔為Δ 。需要說明的是，Δ 取值越小，潛在的時空軌跡就越多，優(yōu)化結(jié)果越精確，但同時問題的規(guī)模越大。

令0-1 變量eik （i ∈I，k ∈K） 作為列車i 是否選擇潛在的時空軌跡k 作為其運行圖。當列車i 選擇潛在的時空軌跡k 作為其運行圖時，變量eik 的取值為1；否則，該變量的取值為0。

列車i 必須且只能選擇一個潛在的時空軌跡，這些變量首先需要滿足下面的等式約束

為了保證運行安全和減少需求的等待或滯留時間，相鄰列車必須滿足下面的時間間隔約束

式中：t dk1（k ∈K）為潛在的時空軌跡 k 離開車站1的時刻，在假設(shè)2 下，它是已知的參數(shù)；δmin 和δmax 分別為最小的時間間隔和最大的時間間隔，它們也都是預(yù)先給定的參數(shù)。

針對貨運列車的分布而言，為了構(gòu)建線性規(guī)劃模型，本文并不直接給出變量用于表達列車i 是否為貨運列車，而是間接地給出變量表達潛在的時空軌跡是否為貨運列車的運行圖。

令0-1變量 xk （k ∈K）表示潛在的時空軌跡 k是否為某貨運列車的運行圖。如果xk = 1 ，則表示潛在的時空軌跡k 是某貨運列車的運行圖；如果xk = 0 ，則表示潛在的時空軌跡k 不是任何貨運列車的運行圖。因此，變量xk 的取值必須滿足下面的不等式約束

式（3）說明，只有在潛在的時空軌跡k 被某列車選擇的情況下（此時不等式（3）的右端項等于1），潛在的時空軌跡k 才有可能成為貨運列車的運行圖，即xk 的取值可以為1 或0；而在潛在的時空軌跡k 沒有被任何列車選擇的情況下（此時不等式（3）的右端項等于0），即變量xk 的取值一定為0。

針對客貨需求的分配而言，為了構(gòu)建線性規(guī)劃模型，本文也不直接給出變量用于表達客貨需求被分配給列車i 的數(shù)量，而是間接地給出變量表達客貨需求被分配給潛在的時空軌跡k 的數(shù)量。

令整數(shù)變量yjk （ j ∈D ） g，k ∈K 表示貨運需求j被分配給潛在的時空軌跡k 的數(shù)量。在假設(shè)4 下，yjk 必須滿足下面的流平衡約束

式中：fj 為貨運需求j 的數(shù)量。

對于潛在的時空軌跡k 而言，在任意運行區(qū)間內(nèi)其容量都不能被超出。因此，變量yjk 還必須滿足下面的不等式約束

式中：cg 為貨運列車的容量。只有在變量xk 取值為1 的情況下，潛在的時空軌跡k 恰恰是某貨運列車的運行圖；通過約束式（5）可知，當變量xk 取值為0 時，任何貨運需求分配給潛在的時空軌跡k 的貨運量均為0。

令整數(shù)變量zlk （l ∈D ） r，k ∈K 表示客運需求l 被分配給潛在的時空軌跡k 的數(shù)量。類似于約束式（4）和約束式（5），變量zlk 必須滿足下面的等式約束和不等式約束

在給定上述參數(shù)下，再設(shè)置Gurobi 的停止條件為上下界之間的相對差異Gap 小于或等于10-4 ，分別求解原始模型和相應(yīng)的松弛模型，求解時間如表2 的最后兩列所示。從求解時間可以看出，相較于原始模型，Gurobi 能夠更快地求解松弛模型，尤其對于規(guī)模較大的算例Ⅳ，求解時間減少了65%。

下面以算例Ⅱ為例，詳細敘述分車模式下地鐵客貨協(xié)同運輸與時刻表聯(lián)合優(yōu)化的結(jié)果。需要說明的是，算例Ⅱ之所以僅有192 組貨運需求，因為在該算例中設(shè)置了僅有車站1、4、7、9、11 和13 可以辦理貨運業(yè)務(wù)。

圖4 給出了優(yōu)化后客運列車和貨運列車的運行圖，其中灰色為列車潛在的時空軌跡（時間間隔為60 s），藍色為客運列車的運行圖，紅色為貨運列車的運行圖。由于前期的客運需求量較大且乘客的最大等待時間約束較小，所以前期的客運列車運行圖鋪畫較密，相對而言，貨運列車運行圖鋪畫較為均勻。通過比較，上述結(jié)果與客貨運需求的時空分布是耦合的。

為了清晰表達列車在運行過程中其運輸能力的動態(tài)利用情況，圖5 給出了算例Ⅱ中的客運列車在每一站的上車乘客數(shù)（黑色豎線）、下車乘客數(shù)（紫色豎線）和列車運行時在車上的乘客數(shù)（青色橫線），除此之外，圖5 還給出了算例Ⅱ中的貨運列車在每一站裝貨數(shù)量（藍色豎線）、卸貨數(shù)量（紅色豎線）和列車運行時在車上的貨物數(shù)量（綠色橫線）。如前所述，由于前期的需求較大，所以前期客貨列車的運輸能力均得到了充分的利用，且大部分客運列車在區(qū)間（9，10）、（10，11）或（11，12）時車上乘客達到列車的最大運輸能力，大部分乘客在第13 站下車。上述結(jié)果符合北京地鐵原八通線的實際客流特征，因為該線路是市郊線，且終點站為換乘站。

分車模式下的地鐵客貨協(xié)同運輸，因為客運列車之間穿插了貨運列車，所以難免對客運需求造成一定的影響。為了直觀反映客運需求的二次等待情況，圖6 給出了算例Ⅱ中的客運需求在各個車站的二次等待數(shù)量變化情況，同時圖6 也給出了貨運需求在車站1、4、7、9、11 和13 的滯留數(shù)量變化情況，其中每個子圖的上半部分為貨運需求的變化情況，而下半部分為客運需求的變化情況。從圖6 可知，由于前期的客運需求量較大，大部分車站在列車1 離開后仍然有乘客二次等待；由于列車1 是客運列車，可辦理貨運業(yè)務(wù)的車站在列車1 離開后自然沒有運載任何貨運需求；由于列車2 是貨運列車，每個車站在列車2 離開之后均出現(xiàn)二次等待的客運需求顯著增加的過程，同時可辦理貨運業(yè)務(wù)的車站在列車2 離開后均出現(xiàn)滯留的貨運需求顯著減少的過程。總體而言，分車模式下的地鐵貨運對客運需求中二次等待的數(shù)量有著明顯的影響。

在模型中，可通過增大客運需求等待時間懲罰系數(shù)，即β 的取值，來減小分車模式下的地鐵貨運列車對客運需求的影響。為此，在接下來的實驗中令β = 1 ，其他參數(shù)不變。作為對比，圖7 給出了算例Ⅱ在增大客運需求等待時間懲罰系數(shù)后的車站客貨量變化示意圖。首先，從總體上明顯可以看出，客運需求的二次等待數(shù)量顯著減少，尤其是在車站1、6、8、9 和10。其次，在前6 列列車運行期間，在任何車站幾乎都沒有出現(xiàn)客運需求的二次等待，相反地，在可辦理貨運業(yè)務(wù)的車站貨運需求的滯留量較大。但在第4 列列車運行之后，貨運需求的滯留情況有所緩解，這說明該列車是貨運列車。綜上所述，盡管分車模式下的地鐵客貨協(xié)同運輸不可避免地對客運需求產(chǎn)生影響，但這種影響可以通過客貨列車時刻表的調(diào)整得到一定程度的控制。

4 結(jié)論

1）將分車模式下地鐵客貨協(xié)同運輸與時刻表聯(lián)合優(yōu)化問題構(gòu)建為一個ILP 模型，模型的可松弛性質(zhì)為提高求解效率奠定了基礎(chǔ)。

2）以北京地鐵原八通線為場景設(shè)計了一系列數(shù)值實驗，并利用商業(yè)求解器Gurobi 進行求解。實驗結(jié)果表明：所提出的方法是有效的，相較于原始模型，松弛模型的求解時間顯著下降；所得到的時刻表和運輸方案不僅能夠滿足分車模式下的地鐵客貨協(xié)同運輸需求，而且可以有效控制分車模式下的地鐵貨運對客運需求的影響。

3）進一步的研究包括：客貨需求不確定情況下的魯棒時刻表與客貨需求的運輸計劃問題；對于大規(guī)模算例而言，更為高效的求解算法；對比分析客貨分車模式和客貨共車模式對客運需求的影響差異；關(guān)于地面道路系統(tǒng)與地鐵系統(tǒng)協(xié)同解決城市貨運的問題等。

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通信作者：邸振（1979—），男，副教授，博士，碩士生導師，研究方向為交通運輸系統(tǒng)優(yōu)化。E-mail：3126@ecjtu.edu.cn。

（責任編輯：吳海燕）

基金項目：國家自然科學基金項目（72161010）