基于聲黑洞設計理論的徑向夾心式徑-彎復合換能器*

劉洋 陳誠 林書玉

(陜西師范大學物理學與信息技術學院,陜西省超聲重點實驗室,西安 710119)

基于彎曲波在聲黑洞(acoustic black hole,ABH)結構中振幅不斷增大的特性,提出了一種新型徑向夾心式徑-彎復合換能器,該換能器由徑向夾心式圓環換能器與外圍的環形ABH 結構組成.ABH 結構的存在實現了換能器徑向振動與彎曲振動之間的轉換,提高了換能器的聲輻射性能.利用幾何聲學的方法建立了ABH結構彎曲振動的解析模型,給出了其彎曲振動的本征頻率,并結合有限元方法討論了換能器機電轉換性能隨尺寸變化的關系.通過有限元方法給出了該換能器在空氣中的輻射聲壓場、輻射聲強以及輻射指向性,仿真結果表明,ABH 結構的存在能夠改善換能器彎曲振動的機電轉換性能,提高換能器的聲輻射性能,使換能器呈現出一定的輻射指向性.最后通過實驗對換能器樣機的電阻抗特性以及振動模態進行測量,實驗結果與仿真相符合.

1 引言

徑向夾心式圓環換能器由金屬圓環和用壓電材料制成的圓環復合而成.其性能穩定,具有聲輻射面積大、接收全指向性等優點,被廣泛應用于水聲技術、地質勘探、超聲化學反應等各種超聲技術中[1-3].

聲黑洞是一種奇特聲學現象,由Mironov[4]在1988 年首先提出,可簡述為彎曲波在楔形結構中傳播時,其波速將隨板厚減小而減小,而振幅逐漸增大.理想情況下,當板厚按照二次以上冪指數減小到零時,即可實現彎曲波的零反射,因此這種結構被稱為聲黑洞.隨后Krylov 等[5-7]將其應用于一維梁中,并提出利用這種結構來操縱彎曲波,實現減振降噪等應用.

當彎曲波在聲黑洞結構中傳播時,其振幅隨厚度減小而增大的特性使得彎曲波的能量匯聚在結構尖端處并以聲能的形式向外輻射出去.聲黑洞結構的這種特性被Remillieux 等[8,9]提出可以用來改善換能器與空氣之間的阻抗匹配,提高換能器在空氣中的輻射性能.

壓電復合圓環型換能器除了徑向振動模態還具有彎曲振動模態,相對于徑向振動模態,彎曲振動模態的振動位移較大,因此更易于空氣等介質相匹配.然而關于彎曲振動模態的研究比較少,直到近十年來才有學者做過相關方面的研究.Aronov[10]在2013 年用能量法對復合圓環型換能器的彎曲振動進行了研究,給出了其彎曲振動模態的等效機電電路圖以及有效機電耦合系數的表達式,Aronov[11]同時也研究了開槽后壓電圓環的彎曲振動模態.吳德林等[12]在Aronov[10,11]的基礎上對壓電復合圓環型換能器彎曲振動的四極子模態進行了研究.相對于徑向振動,復合圓環型換能器彎曲振動模態的機電轉換性能較差,這種缺點在一定程度上限制了其彎曲振動模態的應用.

本文借助振動模態轉換的方法來改善圓環型換能器彎曲振動模態機電轉換性能.模態轉換是一種借助多個模態進行換能器設計的方法,能夠利用兩種不同振動模態的優點從而滿足換能器的設計性能要求,被廣泛應用于換能器的設計中[13-15].本文的主要設計思路是將一種環形的ABH 結構應用于換能器結構設計中,相比較于一維ABH 梁的平直結構,環形ABH 能減小結構尺寸,同時也可以與夾心式圓環換能器復合在一起,將換能器的徑向振動轉換為彎曲振動,這樣既提高了換能器彎曲振動模態的機電轉換性能又利用彎曲振動大位移的特性增強了換能器的聲輻射能力.

2 ABH 結構的彎曲振動分析

圖1(a)為所研究的徑向夾心式徑-彎復合換能器俯視圖,該換能器由一個徑向夾心式圓環換能器與外圍環組成.徑向夾心式圓環換能器則由兩個金屬環與其中間的壓電環夾心而成,壓電環的極化方向沿徑向.

圖1 徑向夾心式徑-彎復合換能器示意圖(a)換能器總體示意圖;(b) 外圍環1/4 部分的示意圖;(c) 換能器振動模態示意圖Fig.1.The schematic diagram of a composite radial bending transducer: (a)The overall schematic diagram of the transducer;(b) a schematic diagram of the 1/4 part of the outer ring;(c) a schematic diagram of the vibration mode of the transducer.

圖1(b)為截取外圍環1/4 部分的示意圖,其由厚度均勻部分與變厚度ABH 部分組成,厚度均勻部分與徑向夾心式圓環換能器耦合在一起,將徑向夾心式圓環換能器的徑向振動轉換為ABH 部分的彎曲振動.外圍環的厚度隨弧度變化,厚度表達式可以寫為

其中p為環厚度隨弧度變化的冪次,h0為ABH 部分θ=0處的最小厚度,而h1則為ABH 部分的最大厚度.

圖1(c) 為該換能器的振動模態示意圖,出于觀察方便,將圖中換能器的振動位移進行放大,換能器的實際振動位移小于圖中示意.

為了更方便地研究該換能器的徑-彎復合振動模態,將該換能器的振動模態分成兩部分來研究:ABH 部分的彎曲振動模態和徑向夾心式圓環換能器的徑向振動模態.由于徑向夾心式圓環換能器的徑向振動模態已有較多的研究[16-19],因此我們主要討論ABH 部分的彎曲振動模態.

關于ABH 部分的研究,可以借助一維ABH梁理論,一維ABH 結構中彎曲振動控制方程可以寫成如下形式[5]:

其中?2為拉普拉斯算子、w表示撓度、ρ 為密度、ω為角頻率、D(θ)=Eh3(θ)/[12(1-ν2)] 為抗彎剛度,ν 和E分別為材料的泊松比和楊氏模量.ω=2πf為角頻率.

在二維極坐標下ABH 部分的振動控制方程(2)可以寫為

選取ABH 部分中面處為參考位置,則r(θ)=r4+h1-h(θ)/2.通過幾何聲學近似的方法,可以將該方程的撓度解表示為如下復數形式:

其中A(θ)和Φ(θ)=kps(θ) 分別為彎曲波隨弧度變化的幅值和累積相位,其中kp=ω/cp為厚度均勻環中的波數,cp=為彎曲波的相速度,cl和ct分別為材料中縱波和橫波的波速.將(4)式代入方程(3)之中,略去kp的1,2,3 次項,可以得到彎曲波的程函方程:

?為梯度算子,R=r4+h1,ε(θ)=(R-h(θ))/R,k(θ)=Rω1/2ε(θ)1/2(ρh(θ)/D(θ))1/4,方程(5)的一個解可以表示為[7]

因此彎曲波在ABH 部分中的累計相位Φ(θ)=kps(θ)可以表示為

彎曲波在ABH 部分的累積相位Φ(θ) 可寫為由θ=0處到θ=mπ/2 的積分表達式:

(8)式中積分的下限為ABH 部分的最薄處,也就是θ=0 處,積分上限對應ABH 部分的最厚處,即θ=mπ/2.當變厚度部分中彎曲波的累計相位為[20]

此時ABH 部分可以看作為對應n倍彎曲波波長的振子,其中n的取值為N/2,N取正整數.對方程(9)求解,即得到ABH 部分n階彎曲振動模態所對應的本征頻率.需要注意的是得出上面的結果需要滿足幾何聲學近似條件[7]:

對于本文所研究的ABH 結構,代入鋁的材料參數以及k(θ),(10)式可以化簡為

其中h(θ)=Δhθp/+h0,Δh=h1-h0,θ1=mπ/2 .因為0 ≤θ≤θ1;將(11)式進一步化簡得到:

由(12)式可知,對幾何聲學近似條件影響最大的是彎曲振動的頻率,本文研究的結構尺寸以及頻率范圍(＞18 kHz)滿足該近似條件.

3 換能器的有效機電耦合系數分析

當改變ABH 部分的m參數也即變厚度部分的長度時,ABH 部分彎曲振動某一n階本征頻率與該換能器的諧振頻率將在某一m值處相等,徑向夾心式圓環換能器與外圍環的耦合最強點將出現在該m值附近.此時徑向夾心式圓環換能器的徑向振動與ABH 部分n階彎曲振動的耦合達到最強,換能器在該點的輻射性能也最佳.

換能器的機電耦合系數是描述換能器在能量轉換過程中能量相互耦合程度的一個物理量,在這里我們用換能器的有效機電耦合系數來描述ABH 部分與夾心式圓環換能器的耦合程度.當二者之間的耦合達到最強時,換能器的有效機電耦合系數最大.

換能器的有效機電耦合系數keff定義為[21],其中fm為最大導納頻率,即回路中電流最大時所對應的換能器諧振頻率,fn為最小導納頻率,即回路中電流最小時所對應的頻率.

本文設計了3 種不同尺寸的徑向夾心式徑-彎復合換能器(換能器的具體尺寸見表1),并對換能器有效機電耦合系數隨m的變化關系進行討論.徑向夾心式徑-彎復合換能器的有效機電耦合系數keff通過COMSOL Multiphysics 有限元仿真給出.

表1 幾種不同換能器的尺寸Table 1.The sizes of several different transducers.

表1 給出的是幾種不同換能器的尺寸,其中a,b,c 為徑向夾心式徑-彎復合換能器,d 為夾心式圓環換能器.

圖2 給出了a,b,c 三種換能器在不同m下的有效機電耦合系數keff,徑向夾心式徑-彎復合換能器的諧振頻率以及ABH 部分所對應的n階彎曲振動本征頻率.換能器的諧振頻率以及有效機電耦合系數keff由有限元仿真給出,ABH 部分n階彎曲振動本征頻率由求解方程(9)給出.從圖2 可以看到,隨著m的變化換能器的keff將會出現一個最大值.換能器a的keff最大值約為0.289,換能器b的keff最大值約為0.289,換能器c的keff最大值約為0.291.

圖2 不同m 下換能器的有效機電耦合系數、諧振頻率以及ABH 部分的彎曲振動本征頻率(a)a 型號換能器;(b) b型號換能器;(c) c 型號換能器Fig.2.Effective electro-mechanical coupling coefficient,resonant frequency of transducer and eigen frequency of bending vibration of ABH part with different m: (a)Model a transducer;(b) model b transducer;(c) model c transducer.

Aronov[10]給出了圓環換能器彎曲振動模態的有效機電耦合系數,其得到的彎曲模態的有效機電耦合系數keff≈0.6k31.本文使用的壓電材料為PZT-4,其k31為0.33,因此其彎曲模態所對應的keff≈0.198.在吳德林等[12]的論文中,其復合圓環換能器彎曲振動四極子模態的最大keff不超過0.6k31,而從圖2 中可以看到,我們所設計的3 種徑向夾心式徑-彎復合換能器的最大keff都大于復合圓環彎曲振動模態的有效機電耦合系數0.6k31.這充分說明借助徑向振動所激發的彎曲振動的機電轉換性能優于復合圓環換能器的彎曲振動模態.

設換能器諧振頻率與ABH 部分n階本征頻率隨m的變化曲線的交點為m1,徑向夾心式徑-彎復合換能器最大機電耦合系數所對應的m為m2.從圖2 中可以看出,徑向夾心式徑-彎復合換能器最大機電耦合系數所對應的m2值處于換能器諧振頻率與ABH 部分彎曲振動諧振頻率交點值m1附近.設m1與m2之間的絕對差值Δ=|m2-m1|,從圖2 中可以看出,換能器a的Δa=0.004、換能器b的Δb=0.02、換能器c的Δc=0.02 .

這種尋找曲線交點的方法一方面有助于分析出與夾心式圓環換能器徑向振動所耦合的ABH 部分彎曲振動模態的階數,圖2 分別標注出了ABH部分所對應彎曲振動模態的階次,圖2(a)中n=2,而圖2(b),(c)中n=1.5.除此之外我們也可以通過計算換能器的諧振頻率給出其頻率隨尺寸參數m變化的曲線,并求解方程(9)給出ABH 部分本征頻率隨尺寸參數m變化的曲線,然后根據兩條曲線的交點確定耦合最強時m值的大致范圍,從而可以大大減少仿真的計算量.因為換能器諧振頻率及ABH 部分n階彎曲振動本征頻率與m的關系接近于線性,所以可以借助少量的計算進行曲線擬合來找到曲線交點的位置,并進一步通過有限元法確定耦合最強點所對應的m值.

4 徑向夾心式徑-彎復合換能器的聲場分析

本節給出了a,b,c 三種不同型號徑向夾心式徑-彎復合換能器其最大導納頻率fm所對應的空氣中輻射聲壓分布、聲強分布以及指向性圖案.在仿真的過程中采用二維平面建模.仿真中使用的壓電材料為PZT-4,壓電材料的極化方向沿徑向,壓電環內外兩壁面施加的有效電壓差為1 V.仿真中所用鋁材料的楊氏模量和泊松比分別為E=70 GPa,ν=0.33,密度ρ=2700 kg/m3.

4.1 聲壓分布

圖3 給出的是幾種換能器在空氣中的輻射聲壓分布以及對應的諧振頻率fm,其中a,b,c 為表1給出的3 種徑向夾心式徑-彎復合換能器,3 種換能器的m尺寸參數為圖2 中機電耦合系數最大時所對應的值,圖3(d)則為夾心式圓環換能器的輻射聲壓圖.

圖3 四種不同換能器在空氣中的輻射聲壓分布圖(a)a 型號換能器,fm=18.766 kHz;(b) b 型號換能器,fm=18.829 kHz;(c) c 型號換能器,fm=18.841 kHz;(d) d 型號換能器,fm=19.01 kHzFig.3.The radiation sound pressure distribution of four different transducers in the air: (a)Model a transducer,fm=18.766 kHz;(b) model b transducer,fm=18.829 kHz;(c) model c transducer,fm=18.841 kHz;(d) model d transducer,fm=19.01 kHz.

由上述分析可知,對ABH 部分的尺寸進行合理優化設計,使得ABH 結構與夾心式圓環換能器的耦合達到最強,可以提高換能器的聲輻射能力.

4.2 聲強分布

圖4 中a,b和c 為3 種具有不同尺寸徑-彎復合換能器的輻射聲強分布圖,圖4(d)為夾心式圓環換能器的輻射聲強分布圖,圖中聲強的單位為W/m2.從圖4 可以看到,具有ABH 結構的徑向夾心式徑-彎復合換能器其最大輻射聲強相較于圓環型換能器有大幅度的提高.其中以換能器b 的輻射能力最強.換能器a,c 的最大輻射聲強也有不同程度的提高.相較于圖3,圖4 可以反映出聲能量的輻射方向,由于ABH 部分處于換能器的左右兩側,因此3 種換能器的聲輻射主要集中在換能器的兩側.

4.3 指向性分析

圖5 給出的是距離換能器中心1 m 處4 種換能器的指向性圖.圖5 中a,b和c 為圖3 中3 種不同尺寸徑-彎復合換能器的指向性圖案,d 為夾心式圓環型換能器的指向性圖案.相較于夾心式圓環型換能器的全指向性,徑-彎復合換能器的指向性圖案出現較多小旁瓣,且左右兩側的旁瓣較為尖銳.ABH 結構的存在使得換能器向左右兩側的輻射能力得到提升.相比圖5 中a 型號換能器,b,c 型號換能器指向性圖案中左右兩側瓣更為尖銳.b,c 型號換能器與ABH 部分n=1.5 階彎曲振動相耦合,而a 型號換能器則與n=2 階彎曲振動相耦合.由仿真結果和上述分析可知,當換能器與ABH 部分較低階彎曲振動相耦合時,其左右兩側的輻射指向性更強.

圖5 四種換能器的聲場指向性圖(a)a 型號換能器,fm=18.766 kHz;(b) b 型號換能器,fm=18.829 kHz;(c) c 型號換能器,fm=18.841 kHz;(d) d 型號換能器,fm=19.01 kHzFig.5.Four types of transducer sound field directionality graphics: (a)Model a transducer,fm=18.766 kHz;(b) model b transducer,fm=18.829 kHz;(c) model c transducer,fm=18.841 kHz;(d) model d transducer,fm=19.01 kHz.

5 實驗驗證

為了驗證基于聲黑洞理論設計徑-彎復合換能器的實際可行性,制作了如圖6 所示的換能器樣機,其中金屬內外環材料為鋁,壓電陶瓷為徑向極化的PZT-4 圓環,換能器的尺寸參數見表2.利用阻抗分析和激光測振實驗對換能器樣機的電參數特性以及振動模態進行實驗分析.

表2 換能器尺寸參數Table 2.Size parameters of the transducer.

圖6 換能器樣機圖片Fig.6.The picture of the prototype transducer.

5.1 換能器阻抗分析實驗

圖7 為有限元仿真所得到的換能器阻抗隨頻率的變化曲線,從圖中可知換能器的仿真諧振頻率頻率fFEM約為23.682 kHz.為了驗證仿真結果,采用WK6500B 精密阻抗分析儀對換能器的阻抗進行了測量.從圖8(b)可以看出,阻抗分析儀測得換能器的諧振頻率fEX約為23.323 kHz,實驗測量結果與仿真的誤差Δ=|fFEM-fEX|/fEX=1.54%.誤差的主要來源有: 1) 在理論分析和數值模擬中,使用了標準的材料參數,而換能器實物的材料參數與仿真參數有一定差距;2) 在仿真中忽略了換能器的機械/介電損耗,但是在實驗測量中不能忽略;3) 由于實物加工精度以及換能器裝配的原因,使得仿真模型與實物有一定的區別.同時由于換能器樣機的諧振頻率低于仿真值,使得換能器另一個彎曲模態(對應圖7 中第一個谷點)也被激發出,因此在23 kHz附近出現兩個諧振點.

圖7 換能器阻抗仿真結果曲線Fig.7.Simulation result of the transducer electrical impedance curve.

圖8 換能器阻抗分析實驗裝置以及阻抗測量結果(a)WK6500B 阻抗分析儀及換能器;(b) 換能器阻抗曲線Fig.8.Impedance analyzer experimental equipment of transducer and impedance measurement results: (a)WK6500B impedance analyzer and transducer;(b) impedance curves of the transducer.

5.2 換能器模態分析實驗

圖9 為利用有限元仿真測得的換能器在諧振頻率23.682 kH 時的振型.為進一步驗證仿真結果,使用圖10(a)的Polytec PSV-400 全場掃描式激光振動測量系統對換能器側邊ABH 環部分的振型進行測量并與仿真結果進行對比.

圖9 換能器振型仿真結果,頻率為23.682 kHzFig.9.Simulation result of transducer vibration mode,the frequency is 23.682 kHz.

圖10 PSV-400 全場掃描式激光振動測量系統及換能器振幅分布測量結果(a)激光測振實驗裝置;(b) 換能器側面振幅測量結果Fig.10.PSV-400 laser vibrometer measurement system and transducer displacement distribution measurement result: (a)Laser vibrometer experimental equipment;(b) the side displacement measurement result of the transducer.

圖10(b) 為利用激光測振儀對換能器側邊ABH 環位移振幅頻響的測量結果,實驗中換能器兩端施加的是電壓幅值為1 V 的掃頻電信號.測量結果中,換能器位移共振峰所對應的頻率為23.305 kHz,與阻抗分析儀所測的諧振頻率值接近.從圖10(b)的振型測量結果可以看出,換能器側邊ABH 環的振型與圖9 有限元仿真結果的振型相一致,測量結果中換能器側邊ABH 環厚度最小處的位移振幅最大,這也符合彎曲波在聲黑洞結構中振幅隨壁厚減小而不斷增大的特性.綜上可知,借助ABH 結構將換能器徑向振動轉換為ABH 部分彎曲振動的方法是切實可行的.

6 結 論

本文利用環形ABH 結構設計了一種新型徑向夾心式徑-彎復合換能器,實現了換能器徑向振動與彎曲振動之間的轉換,并通過實驗對換能器的徑-彎復合模態進行驗證,利用阻抗分析儀測得的換能器諧振頻率與仿真的誤差為1.54%,利用激光測振儀測得的換能器的振型與仿真結果一致.從理論計算與仿真結果可以得到以下幾點結論.

1) 當換能器總體諧振頻率與ABH 部分某一階彎曲振動本征頻率接近時,換能器徑-彎復合模態的有效機電耦合系數最大.

2) 換能器徑-彎復合模態的最大有效機電耦合系數值是大于復合壓電圓環型換能器的彎曲振動模態的.

3) 借助ABH 部分將夾心式圓環換能器徑向振動轉換為彎曲振動的徑-彎復合模態可以提高換能器的聲輻射能力.

4) 不同于徑向夾心式圓環換能器的無指向性,具有ABH 結構的徑向夾心式徑-彎復合換能器表現出一定的指向性,ABH 結構提高了換能器向左右兩側的輻射能力,并且與換能器相耦合的ABH 部分的彎曲振動階數越低,其左右兩側的輻射指向性越強.

本研究不僅證明在換能器設計中加入聲黑洞結構的可行性,也為徑-彎復合換能器的設計提供了參考模型.