讓圖形在動態和靜態之間架設思維橋梁

陳松

【摘 要】數學學習是一個“做數學”的過程，將靜態的圖形作動態處理，不僅可以幫助學生認識和把握圖形的本質屬性，明確圖形之間的內在聯系，而且還能培養學生化靜為動的思維方式，發展學生的空間觀念。

【關鍵詞】圖形與幾何 運動變化 概念本質 認知結構

挖掘圖形中的動態因素，引導學生用運動、變化的眼光看待問題，可以促進學生對知識的理解，幫助學生形成良好的空間觀念。通過教學實踐積累的經驗，筆者認為可以從動態演示圖形的形成過程、動態剖析圖形的瞬間變化、動態梳理知識脈絡三個方面來實施教學。

一、動態演示圖形的形成過程，突顯概念的本質屬性

以運動變化的觀點來看，任何圖形都是在原有的圖形概念基礎上不斷地發展變化而來的。設計動態圖形的方法有很多，下面重點闡述延長、平移、旋轉、分割這四種方法。

1.延長。延長若以運動的眼光來看，即把其中的某一點沿直線移動形成新的圖形。例如，在教學人教版四上“直線、射線和線段”時，以學生常見的線段為認知起點，引導學生想象往兩個不同方向延長，利用課件完整地演示三種線條的形成，感悟三者關系。

2.平移。平移即平行移動。例如，長方體或正方體的形成，教師在課件中顯示長方形或正方形的平移，讓學生感受柱體的形成過程，并引導想象：圖形的平移軌跡所形成的是什么圖形？在引導學生感受面動成體的同時，深刻體會到長方體或正方體的基本特征：所有橫截面的形狀、面積都相等且互相平行。

3.旋轉。旋轉就是把一個圖形繞某個點轉動一定角度。例如，在人教版四上“角的分類”一課中，將兩條射線重合，以射線的端點為定點，將其中一條射線進行旋轉就形成了角。旋轉的角度不斷變化，就形成了大小不同的角。通過射線旋轉的課件，幫助學生認識銳角、直角、平角和周角。

4.分割。通過圖形邊、角的分割變化，揭示圖形之間相互聯系、相互轉化，引導學生抓住知識的差異性，體會知識之間的整體聯系，使所學知識前后貫通。例如，在進行“四邊形的分類”相關內容的學習中，筆者出示這樣一道題：在三角形、長方形、正方形、平行四邊形這些圖形中畫一條線段，把它分割成一個或兩個梯形。學生通過分割操作，紛紛在各個圖形中得到了不同的梯形。接著，筆者提問：“要得到梯形，分割的時候需要怎么做？”引導學生觀察并思考。生1：“梯形必須有一組對邊互相平行，而三角形中沒有，所以要想辦法制造出一組相互平行的線。”生2：“因為正方形、長方形和平行四邊形都有兩組對邊平行，所以在這三種圖形中畫線分割，可以得到兩個梯形。”

當然，動態展示圖形形成過程的方法還有很多，比如縮放、滾動、翻轉、對稱等，有待進一步探究與實踐。這些動態的呈現方式很少被單獨使用，通常是以一種或兩種方法為主，其他方法為輔的綜合應用。

二、動態剖析圖形的變化瞬間，明晰圖形的內在規律

在教學中，教師要學會用運動的視角把常態下的各種直觀圖形看作是運動變化過程中的某個“瞬間”。剖析每個“瞬間”，就能把握圖形的共同性質；研究每一個瞬間的“臨界點”，就能把握圖形的結構，抓住圖形的本質。

1.化靜為動，感悟圖形背后的數學規律。在圖形與幾何基本概念的教學中，可以把一些靜態圖形聯結在一起，形成一個動態的過程。在比較和動態把握的過程中，讓學生更加清楚某一概念的內涵與外延。

例如，在人教版四下“三角形的認識”這節課即將結束時，教師安排了一個創作三角形的活動：以線段BC為底，創作出高為3厘米的三角形。學生在學習單中呈現出多種畫法。通過此類開放性的創作，學生將銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形及相應的畫高方法進行了鞏固。接著，教師有意識地將這些圖形進行了有序整合，并利用課件進行動態的展示（如圖1所示）。當頂點A慢慢移動時，學生興奮地找到了各種類型三角形變化的臨界點。在進一步觀察后，有的學生發現這些三角形的頂點都在同一條直線上，有的學生表示上面這條直線和底邊是平行關系。雖然，學生的數學發現是不完整的，但通過動態展示，無疑幫助學生突破了“鈍角三角形的高也會在三角形的外面”這一難點，同時也為后續學習三角形的等積變形做了很好的鋪墊。

2.動中窺定，探索圖形的屬性。在研究圖形的屬性時，學生常常需要經歷觀察—猜想—驗證的過程。這是一個探索的過程，學生能不能形成合理的猜想是檢測這一過程是否行之有效的重要表現。教師可以運用變化的觀點，創設一個動態圖形，促使學生更易于猜測圖形的屬性，進而形成合理的猜想。

例如，在教學人教版四下“三角形內角和”時，筆者引導學生觀察圖2，圖中A點沿著垂直于BC的線段運動，可以形成很多不同的三角形。教師提問：“你發現了什么？∠A、∠B、∠C是怎樣變化的？它們的和會是多少度？”運用課件進行動態演示A點的運動軌跡，引導學生觀察∠A、∠B、∠C的大小變化，大部分學生能夠發現：當A點向下運動時，∠A不斷變大，∠B和∠C都在不斷變小。接著，引導學生想象，當A點不斷向下最后接近BC邊時，∠A就會接近180°，而∠B和∠C則都接近0°，三個角的和就可能是180°。相反，當A點向上運動時，∠A不斷變小，∠B和∠C不斷變大，當A點不斷向上運動時，最后∠A會趨向于0°，而∠B和∠C都趨向于90°，三個角的和同樣也可能是180°。通過這樣的動態過程，學生體會到雖然三個角的大小都在變化，有變大的，也有變小的，但三個角的和可能保持不變。

三、動態梳理知識脈絡，構建平面圖形的知識網絡

圖形與幾何領域中各種圖形的屬性往往會有密切的聯系。在教學中，教師要用知識關聯的視角，幫助學生動態梳理各種圖形之間的關系，進而形成知識網絡。

例如，在教學人教版六下“平面圖形的面積”相關內容的復習課時，為了讓學生通過面積計算公式探索平面圖形之間的聯系，筆者先出示兩條平行線，然后再畫一個梯形ABCD，接著進行動態演示：將頂點B沿平行線中的一條向左平移，相應的頂點D向右平移，移動過程中，上下底的和始終相等，直到點B和點A重合（見圖3）。在這一動態演示過程中，學生不難發現：梯形的上底在漸漸變小，而下底在隨之變長，但是梯形的面積不變。因此，把梯形面積計算公式運用于三角形的面積的計算，也同樣適用。接著，教師提問：“照此，如果把頂點B向右平移，會變成什么圖形？按照這樣的思路，梯形能變成長方形、正方形甚至圓嗎？”然后，通過課件動態演示圖形演變過程。學生由此發現所有平面圖形的面積公式都能用梯形的面積公式推導得到。

通過這樣的動態梳理，引導學生用運動、變化的眼光重新審視所學的平面圖形，使他們進一步理解各種圖形之間的相互關系，建立起多方面的、本質的聯系，形成更為豐富的、系統的平面圖形認知結構。

（作者單位：福建省連江縣文筆小學）

參考文獻

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［3］鄭亞云.借助幾何直觀 架設思維橋梁——以“分數的意義和性質”教學為例［J］.小學教學參考，2019（05）：33-34.