擬L0filiform左對稱代數的導子

張盼 吳明忠

摘 要：本文利用導子的定義，通過分析擬L0filiform左對稱代數的結構特征，討論其導子在擬L0filiform左對稱代數的一組特殊基上的作用，得到擬L0filiform左對稱代數的導子代數結構。發現擬L0filiform左對稱代數的導子在這組特殊基下的矩陣是下三角矩陣，得出導子代數是可解李代數。

關鍵詞：左對稱代數；擬L0filiform左對稱代數；強充分基；導子；可解

中圖分類號：O152 文獻標志碼：A文章編號：1673-5072（2024）02-0155-04

左對稱代數是一類非常重要的非結合代數，它與數學和物理的許多領域都有密切聯系，如在向量場、頂點代數、算子理論、仿射流形、李群上的不變仿射結構等領域都起著很重要的作用［1］。Filiform左對稱代數是一類代數結構較好的左對稱代數，文獻［2］中對維數小于或等于5的filiform左對稱代數進行了分類，其中用到一類特殊的左對稱代數L0。與文獻［3-4］類似，本文給出了擬L0filiform左對稱代數的結構特征。

由于導子能反映代數最本質的結構和性質，近年來，一些特定代數的導子研究成為代數結構理論中的重要課題［3-10］。其中，文獻［5］討論了一類廣義的Virasoro代數的導子結構，文獻［6-7］討論了具有特殊結構的左對稱代數的導子，文獻［8］討論了一類n-李代數的導子，文獻［3-4］和［9-10］分別討論了一些特殊李代數的導子，這些代數導子的研究得到了一些有用的結論。

本文利用導子作用在擬L0filiform左對稱代數的一組特殊基來研究導子代數的結構特征。另外，本文所討論的線性空間和代數都定義在數域F上。

1 基本概念

定義1［1］ 設N是數域F上的一個線性空間，在N中定義一個雙線性映射（x，y）→xy，滿足等式：

（xy）z－x（yz）=（yx）z－y（xz）， x，y，z∈N，

則稱N是一個左對稱代數。

定義2［2］設N是一個n維左對稱代數，如果滿足對任意的1in，都有dimNi=dimNi=n+1－i，且Nn+1=Nn+1=0，則N被稱為filiform左對稱代數。

定義3［2］ 設N是數域F上的n+1維左對稱代數，如果在一組基{e0，e1，e2，e3，…，en}上，滿足：

e0ei=ei+1，0in－1，

其他的乘積為0，則稱這組基為N的強充分基，此時N為一個filiform左對稱代數，記為L0。

定義4 設L=L1+L2+L3+…+Lm，其中LiL0，1im，并且有LiLj=LjLi=0，i≠j，則稱L為擬L0filiform左對稱代數。

注1 這里L=L1+L2+L3+…+Lm是線性空間的和，但可以不是線性空間的直和，所以這樣的分解有非平凡的交。

引理1 設L=L1+L2+L3+…+Lm是一個擬L0filiform左對稱代數，dimLn=r

{ei0，ei1，ei2，ei3，…，ei，n－1，e1n，e2n，…，ern1im}

是L的一組基。

2 主要結果

設σ是代數A上的線性變換，而{v1，v2，v3，…，vn}是A的一組基。那么σ∈DerA當且僅當

σ（vivj）=σ（vi）vj+viσ（vj），1i，jn。（1）

另外，由前面的計算結果可以得出，擬L0filiform左對稱代數的每一個導子在引理1所述的特殊基下的矩陣是一個下三角矩陣，因此，可得下面的推論。

推論1 擬L0filiform左對稱代數的導子代數是可解李代數。

參考文獻：

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Derivation of Quasi L0filiform Left-symmetric Algebra

Abstract：In this paper，the definition of derivation is utilized and the structure characteristics of quasi L0 filiform left-symmetric algebra are analyzed to obtain the structure of the derivation algebra of quasi L0 filiform left-symmetric algebra by discussing the action of its derivation on a special base of quasi L0 filiform left-symmetric algebra.It is found that the matrices of the derivation of quasi L0 filiform left-symmetric algebra are lower triangle matrices on this special base and the derivation algebra is a solvable lie algebra.

Keywords： left-symmetric algebra；quasi L0 filiform left-symmetric algebra；strongly adequate base；derivation；solvable