乘法公式與幾何圖形

文／萬(wàn)廣磊

學(xué)習(xí)整式的乘法公式時(shí)，大部分同學(xué)都是通過(guò)背誦來(lái)記憶公式的，很容易忘記和混淆。其實(shí)，同學(xué)們不妨選擇運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，結(jié)合幾何圖形進(jìn)行理解，這樣不僅能記憶清晰，還能準(zhǔn)確應(yīng)用。

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，人們常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這個(gè)思想稱為“算兩次”，也稱作“富比尼原理”。這是一種重要的數(shù)學(xué)方法。接下來(lái)，我們就運(yùn)用“算兩次”的方法，結(jié)合長(zhǎng)方形和正方形，來(lái)理解和記憶完全平方公式與平方差公式。

如圖1，大正方形的面積可以表示成（a+b）2，也可以表示成a2+2ab+b2，于是，我們得到兩數(shù)之和的平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2；同理，如圖2，我們得到兩數(shù)之差的平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2；如圖3，我們得到a+b、a-b、ab之間的等量關(guān)系公式（a+b）2=（a-b）2+4ab；如圖4，我們得到三個(gè)數(shù)之和的平方公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。

圖1

圖2

圖3

圖4

同理，如圖5，我們還可以得到兩個(gè)數(shù)的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；如圖6，我們得到兩數(shù)之和的立方公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3。

圖5

圖6

利用圖形來(lái)記憶這些公式，你有沒(méi)有覺(jué)得更簡(jiǎn)單呢？

我們?cè)賮?lái)繼續(xù)研究，兩個(gè)數(shù)之和的4 次方、5 次方……n次方（n≥4）的結(jié)果，有沒(méi)有什么規(guī)律可循呢？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們要請(qǐng)出“楊輝三角”了。我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝給出了如圖7 所示的三角形，這個(gè)三角形叫作“楊輝三角”，它里面的數(shù)字就是我們要找的規(guī)律。

我們把圖7 中局部的漢字轉(zhuǎn)化為圖8 中的數(shù)字，再來(lái)研究a、b之和的乘方公式，如圖9所示。

圖7

圖8

圖9

如圖8、圖9，這個(gè)三角形給出了（a+b）n（n=0、1、2、3、4）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小順序排列）的系數(shù)規(guī)律。例如，第三行的三個(gè)數(shù)1、2、1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2的展開(kāi)式a2+2ab+b2中各項(xiàng)的系數(shù)；第五行的五個(gè)數(shù)1、4、6、4、1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）4的展開(kāi)式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4中各項(xiàng)的系數(shù)。沒(méi)錯(cuò)，“楊輝三角”給出了二項(xiàng)和的乘方展開(kāi)式中的系數(shù)規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、對(duì)稱美、奇異美。

同學(xué)們，此時(shí)你應(yīng)該會(huì)寫(xiě)出（a+b）5的展開(kāi)式了吧？老師再來(lái)考考你們，如圖10，兩個(gè)兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成了一個(gè)梯形。你能利用面積相等的原理，發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系嗎？如果能，說(shuō)明你真的很棒，因?yàn)槟泸?yàn)證了數(shù)學(xué)史上著名的勾股定理哦！

圖10