完美正方形

王世郭 整理

“完美正方形”是指一個大正方形可以分割成一些邊數各不相等且邊長為整數的正方形。分割成的小正方形的個數稱為這個完美正方形的階。

1936 年，英國劍橋大學三一學院的四個學生塔特、斯通、布魯克斯、史密斯對“完美正方形”產生了濃厚興趣。他們四人致力于尋找一個實際的“完美正方形”，但是幾經失敗后也開始懷疑“完美正方形”是否存在。正當他們一籌莫展的時候，德國的一位數學家找到了一個由55 個不同整數邊正方形組成的大正方形，被稱為“55 階完美正方形”。于是，他們很快改變了自己的研究方向，之后致力于尋找更小階數的完美正方形，并終于找到了一個由39 個不同整數邊正方形組成的大正方形，被稱為“39 階完美正方形”。1964 年，塔特的學生威爾遜博士找到了一個25 階的完美正方形（如圖1，圖中數字表示小正方形的邊長）；12 年后，威爾科克斯找到24 階完美正方形（如圖2）；1978 年，荷蘭特溫特大學的數學家杜依維斯廷用大型電子計算機算出了一個21階的完美正方形（如圖3）。

圖1

圖2

圖3

其實，早在1962 年，荷蘭數學家丟伐斯丁就證明了小于或等于19 階的完美正方形不存在；1978 年，他又證明了20 階的完美正方形不存在。因此，21階完美正方形是完美正方形的盡頭。但數學家的研究并沒有停止，他們又研究了不同大小正方形是否可以填充整個平面的問題。此外，他們還將完美剖分的問題推廣到莫比烏斯帶、圓柱面、環面和克萊因瓶上，也取得了許多有趣的成果。