多角度思考 多方法解題

文／江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學 謝天暢

蘇科版數學八年級下冊第73 頁有這樣一道題：

如圖1，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，G、H分別是OB、OD的中點，過點O的直線分別交BC、AD于點E、F。求證：四邊形GEHF是平行四邊形。

圖1

要證明一個四邊形是平行四邊形，我們可以從平行四邊形的判定方法入手。我們已經知道平行四邊形的判定方法有：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。因此，我們可以從不同的角度進行思考，尋求解決本題的方法。

證法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO，BO=DO，AD∥BC。

∴∠DAO=∠BCO。

又∵∠AOF=∠COE，

∴△AOF≌△COE（ASA）。

∴OE=OF。

∵G、H分別是OB、OD的中點，

∴四邊形GEHF是平行四邊形。

對于證法一，我根據四邊形GEHF的對角線GH與四邊形ABCD的對角線BD共線這一特征，選擇從對角線的角度思考解題方法。

證法二：同證法一，可得AD=CB，AD∥BC，BO=DO，△AOF≌△COE。

∴AF=CE。

∴AD-AF=BC-CE，即DF=BE。

∵G、H分別是OB、OD的中點，

∴OG=OH。

∴OD+OG=BO+OH，即DG=BH。

∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO。

∴△DGF≌△BHE（SAS）。

∴GF=HE。

同理，可得△DHF≌△BGE，

∴HF=GE。

∴四邊形GEHF是平行四邊形。

對于證法二，我找出隱藏在圖形中的全等三角形，證得四邊形兩組對邊分別相等，從而解決問題。

證法三：同證法二，可得△DGF≌△BHE，

∴GF=HE，∠DGF=∠BHE。

∴GF∥HE。

∴四邊形GEHF是平行四邊形。

對于證法三，我在證法二的基礎上，根據圖形中的全等三角形，證得四邊形的一組對邊平行且相等，從而解決問題。

對于此題，雖然從不同的角度出發，可以選擇不同的解題方法，但是比較上面的3 種證明方法，我覺得證法一更為簡捷。

教師點評

謝同學能夠依據所學知識，從多個角度思考問題，積極尋求不同的解題策略，拓寬解題思路，不斷發展自己的思維能力。這種勇于思考、不斷探索的精神值得大家學習。