Laplace方程上半平面邊值問題中的動態采樣*

方黃， 李松華， 彭宏杰

湖南理工學院數學學院， 湖南 岳陽 414006

當求解一些特殊區域上的Laplace方程邊值問題時，其解通常可表示為積分算子形式，如二維空間上半平面的Laplace方程邊值問題

但在實際應用中，邊值的獲得往往需要通過儀器在有限區域內測量.針對熱傳導方程初值問題，Lu et al.（2009）首次提出的動態采樣問題，即在研究如下邊值問題：

來恢復邊值信號f(x)，但在采樣數據量不足的情況下，則存在信號f(x)不能實現穩定恢復.

頻帶有限函數空間也稱為Paley-Wiener空間：

在采樣數據量不足的情況下，Aldroubi等提出利用Remez-Turan 不等式避開?的采樣盲點，成功解決了采樣密度不足導致的不能穩定重構的問題，即?A，B＞0，有以下不等式成立

其中L＞0 ，采樣集Λ ?R.

近年來，許多學者對平移不變（shift-invariant）子空間中的傳統采樣和重構進行了大量的研究，Liu（1996）、Sun et al.（2000）、 Aldroubi et al.（2001）、Chen et al.（2005）、Liu et al.（2007）和Xian et al.（2014）取得了十分豐富的成果.Sun（2007）和Nashed et al.（2010）利用Frame 理論研究了更廣的非頻譜有限信號空間中非均勻采樣與信號的重構算法.

本文考慮頻帶有限函數空間中的信號，研究采樣率不足的情況下，首先利用Laplace方程上半平面邊值問題中的卷積核= e-y||ξ的性質，再基于范德蒙德矩陣的特征值分析，得出采樣不等式（2）的下界.

1 Sub-Nyquist動態采樣

定義

引入采樣擴散矩陣

其中

令

由上面分解可知：如果可以恢復f(ξ)，那么可以恢復fp.

證明利用泊松求和公式，容易證明引理1.

注意到當?∈Φ，m≥2時，有

若采樣率不夠，一般情況下無法從式（3）上進行穩定重構，故需避開一些采樣點（即盲點）.假設存在使得

成立，則有

利用Ⅴandermonde矩陣來獲得式（5）中矩陣Bm(ξ)最小特征值λ(m)min(ξ)的下估計.

引理2令v0，v1，…，vm-1是m個不同的非0實數.設v=(v0，…，vm-1).對k∈N，定義函數Ψk：R →R，

對j= 0，…，m- 1，定義

令

對任意x∈Cm，有

利用Ⅴandermonde矩陣的性質及Yu et al.（1997）對m×m階矩陣的最小奇異值的估計，容易得到結論.函數ΨN在()

0，+ ∞上遞增，對y≠1，y＞0有，

推論1在引理2中，進一步假設0 ＜v≤vj≤1，m≥2.令

則對任意x∈Cm，有

定理1（Aldroubi et al.，2021） 設?∈Φ.定義

任意x∈Cm，有

則有

證明利用Lagrange微分中值定理容易得出.

針對問題（1）中的核函數， 我們有以下更具體的結論：

2 動態采樣結果的證明

根據Parseval 等式可知，利用Remez-Turan 不等式，只要限定在一定的函數空間，引理3 中的結果就可導出采樣不等式下界的估計.為此，我們首先研究PWc的一些空間中的Remez-Turan性質.

3 結 語

本文對Laplace 方程上半平面邊值問題中的動態采樣進行研究.該方法從周期性非均勻的Sub-Nyquist等間隔動態采樣入手，引入擴散矩陣并利用Remez-Turan性質避開盲點（采樣不穩定點），從而得出動態采樣的穩定性結果.