三維C 形臂X 光機的有限元計算及結(jié)構(gòu)優(yōu)化

趙志浩

（同濟大學 機械與能源工程學院，上海 200124）

C 形臂X 光機作為眾多X 射線設(shè)備中的一種，憑借其可移動、術(shù)中圖像實時曝光等特點，在各種手術(shù)中發(fā)揮了重要作用[1-3]。圖像引導(dǎo)是實現(xiàn)術(shù)前手術(shù)規(guī)劃和術(shù)中手術(shù)介入引導(dǎo)的關(guān)鍵。將三維C 形臂X 光機的三維重建系統(tǒng)與手術(shù)過程中提供導(dǎo)航信息的激光跟蹤系統(tǒng)相結(jié)合，可根據(jù)術(shù)中三維重建數(shù)據(jù)提供先進的導(dǎo)航[4]。三維C 形臂X 光機的掃描精度決定了基于三維重建系統(tǒng)與導(dǎo)航配準的手術(shù)精度。但是，由于設(shè)備使用過程中存在一定的振動，會造成一定的影像誤差。因此，針對整機進行模態(tài)分析與加速度實驗十分必要，并可基于分析結(jié)果優(yōu)化調(diào)整結(jié)構(gòu)。

1 三維C 形臂X 光機結(jié)構(gòu)分析

圖1 為三維C 形臂X 光機的結(jié)構(gòu)圖，分為C 環(huán)、C 環(huán)Holder、水平向傳動以及垂向傳動模塊。C 環(huán)與C 環(huán)Holder 側(cè)通過周向軸承定位，同步帶與同步帶輪傳動實現(xiàn)C 環(huán)的轉(zhuǎn)動。同步帶兩端與C 環(huán)兩端連接，其中一端設(shè)置有張緊輪，使同步帶時刻保持緊繃狀態(tài)。同步帶在C 環(huán)Holder 內(nèi)側(cè)通過兩個軸承和一個同步帶輪以M 形方式纏繞。C 環(huán)運行過程中，C 環(huán)Holder 側(cè)的伺服電機和行星齒輪減速箱帶動同步帶輪，使與其嚙合的同步帶傳動。同步帶兩側(cè)與C 環(huán)固定，可實現(xiàn)C 環(huán)的轉(zhuǎn)動。

圖1 三維C 形臂X 光機結(jié)構(gòu)

2 模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)和ANSYS 軟件的介紹

2.1 模態(tài)分析理論

模態(tài)分析是一種用來確定零部件結(jié)構(gòu)振動特性的技術(shù)，避免結(jié)構(gòu)設(shè)計階段發(fā)生共振或者在特定頻率段發(fā)生振動。采用這項技術(shù)可以確定結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型以及振型參與系數(shù)，即在某個方向上某一階振型在整體振動的參與比。模態(tài)分析是設(shè)備結(jié)構(gòu)動力學分析的基礎(chǔ)，是指結(jié)構(gòu)在無阻尼和無外力激勵作用下求解結(jié)構(gòu)本身的固有頻率和振型的過程。用數(shù)學方程的形式解釋模態(tài)分析，本質(zhì)為通過坐標相互變換的方法使一組相互耦合的微分方程轉(zhuǎn)化成各個獨立的方程[5]。考慮全部自由度的完整動力學方程為[6]

動力學方程中忽略阻尼矩陣和載荷向量，可以得到無阻尼自由振動體系的運動方程為

式中：0為零向量。

假設(shè)多自由度下的自由振動是簡諧運動，則

對結(jié)構(gòu)變形位移向量v(t)取二階導(dǎo)，則得到自由振動的加速度向量為

簡化后，方程為

即

2.2 ANSYS 軟件介紹

ANSYS 軟件是融合結(jié)構(gòu)、流體、電場、磁場以及聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件，由美國ANSYS 公司研制[7]。它能與眾多計算機輔助設(shè)計（Computer Aided Design，CAD）軟件實現(xiàn)數(shù)據(jù)共享交換，如Pro/Engineer、SolidWorks 以 及AutoCAD 等。ANSYS 軟件廣泛應(yīng)用于機械制造、航空航天、能源動力、車輛交通、土木工程及生物醫(yī)學等領(lǐng)域。

3 模態(tài)分析

3.1 模型前處理

在對整機模型進行模態(tài)分析前需要簡化模型，即在保證整機總質(zhì)量不變的前提下，對材料復(fù)雜、結(jié)構(gòu)不規(guī)則的部件（如球管、平板、電機及電動推桿等）進行簡化處理，同時刪除各零部件上的螺孔、圓角及倒角等微小細節(jié)，防止后續(xù)計算機進行一些不必要的計算。圖2 為各模塊模型簡化前后的對比。

圖2 整機模型簡化

簡化模型中，絕大部分零件設(shè)置為綁定接觸。以下4 個位置在連接約束中設(shè)置為彈簧彈性接觸，分別為：一是C 環(huán)與C 環(huán)Holder 接觸；二是水平向傳動結(jié)構(gòu)底部滑塊與導(dǎo)軌接觸；三是水平向傳動結(jié)構(gòu)與垂向傳動結(jié)構(gòu)處傳動軸接觸；四是設(shè)備6 個腳輪與大地接觸。

各部件對應(yīng)的材料、質(zhì)量及材料屬性，如表1 與表2 所示。由于球管、互補金屬氧化物半導(dǎo)體（Complementary Metal Oxide Semiconductor，CMOS）平板、伺服電機、行星齒輪減速箱及電動推桿等元器件內(nèi)部零件較為復(fù)雜，其材料在此次仿真中與各相應(yīng)模塊統(tǒng)一。為了提高模態(tài)仿真的精確度，各部件的質(zhì)量與實際質(zhì)量相差范圍控制在5%左右。此外，各元器件的質(zhì)量通過查詢各使用說明書得到。

表1 各部件材料質(zhì)量參數(shù)

表2 材料屬性

3.2 仿真結(jié)果分析

使用ANSYS 軟件對整機進行模態(tài)仿真，得到前3階固有頻率及各方向質(zhì)量參與因子。表3 為前3 階模態(tài)計算結(jié)果。圖3、圖4 和圖5 分別為前3 階模態(tài)振型。其中：1 階模態(tài)振型為垂向傳動結(jié)構(gòu)與底盤互聯(lián)部件上的垂向傳動機構(gòu)以X軸為中心軸，沿Z軸正方向有傾覆趨勢；2 階模態(tài)振型為垂向傳動結(jié)構(gòu)與底盤互聯(lián)部件上的垂向傳動立柱、水平向傳動結(jié)構(gòu)、C 環(huán)Holder 及C 環(huán)以X軸為中心軸，沿Z軸正方向有傾覆趨勢；3 階模型振型為以C 環(huán)Holder 處為偏轉(zhuǎn)節(jié)點，C 環(huán)部件整體以Z軸為旋轉(zhuǎn)中心沿X軸負方向有扭轉(zhuǎn)趨勢，垂向傳動結(jié)構(gòu)與底盤互聯(lián)部件及水平向傳動結(jié)構(gòu)以Z軸為旋轉(zhuǎn)中心沿X軸正方向有扭轉(zhuǎn)趨勢。

表3 前3 階模態(tài)計算結(jié)果

圖3 1 階模態(tài)振型

圖4 2 階模態(tài)振型

圖5 3 階模態(tài)振型

4 整機加速度實驗

4.1 實驗方法

SNOEREN 等將加速度傳感器放置在平板與球管側(cè)，通過自由振動激勵器采用正弦波的形式給出不同頻率激勵得到兩端振動幅值，同時對顱骨模型進行二維屏片掃描，通過圖像比對發(fā)現(xiàn)振動對于圖像質(zhì)量的影響[8]。LIANG 等通過對C 環(huán)加速度及速度的測試，發(fā)現(xiàn)較低的加減速度及較高的等速能夠有效抑制設(shè)備的振動[9]。基于SNOEREN 及LIANG 等的研究，結(jié)合現(xiàn)有的測試工具，在整機水平向傳動結(jié)構(gòu)及C 環(huán)導(dǎo)軌一端處各布置1 個加速度傳感器，同時應(yīng)用16 通道同步數(shù)據(jù)采集卡與筆記本電腦組成加速度信號采集系統(tǒng)。

4.2 傳感器點位布置

C 環(huán)動態(tài)測試中，加速度傳感器在整機中分別在兩個點位進行布置。其中：一號傳感器布置在水平向傳動結(jié)構(gòu)側(cè)板上，此位置靠近C 環(huán)旋轉(zhuǎn)伺服電機；二號傳感器布置在C 環(huán)導(dǎo)軌上。

4.3 加速度測試結(jié)果

通過加速度實驗得到功率譜密度圖，如圖6 所示。功率譜密度圖表示在某個頻率段設(shè)備收到外部激勵后會產(chǎn)生振動。曲線對應(yīng)的縱軸大小不代表確定的振幅大小名義值，只表示其振動幅值。外部激勵越大，振幅越大。

圖6 順逆時針功率譜圖

綜合設(shè)備實際運轉(zhuǎn)狀態(tài)，結(jié)合表3 仿真前3 階固有頻率，可以得到如下結(jié)論：設(shè)備掃描頻率與整機1階固有頻率接近，可能引起共振；在10～20 Hz 頻率段，振幅非常密集，且振幅幅值變化不大，可能在C 環(huán)與C 環(huán)Holder 配合處發(fā)生一定的振動。因為設(shè)備在運行過程中只有C 環(huán)發(fā)生位移，C 環(huán)尤其是球管側(cè)靜力學變形最明顯，使得C 環(huán)導(dǎo)軌不規(guī)則，且各部件之間的裝配有一定誤差，導(dǎo)致軸承與C 環(huán)在嚙合接觸過程中受C 環(huán)重力影響有一定的瞬間沖擊，而沖擊頻率可能剛好與2 階、3 階固有頻率匹配，從而引起共振。

5 整機結(jié)構(gòu)優(yōu)化

LIU 等通過改變C 環(huán)大小、C 環(huán)與C 環(huán)Holder 連接處、垂向傳動結(jié)構(gòu)外徑以及輔助腳輪的位置，分析改變各自變量后的設(shè)備1 階固有頻率，以此作為依據(jù)來優(yōu)化結(jié)構(gòu)[10]。文中的三維C 形臂X 光機C 環(huán)大小無法改變。結(jié)合圖3 仿真1 階模態(tài)振型得知，整機向下平動且垂向傳動機構(gòu)有傾覆的趨勢，因此針對水平向傳動結(jié)構(gòu)底部滑塊與直線導(dǎo)軌處、垂向傳動結(jié)構(gòu)以及設(shè)備配重進行優(yōu)化設(shè)計。

根據(jù)振動理論，結(jié)構(gòu)的固有頻率由質(zhì)量矩陣和剛度矩陣確定[11]。本文分別改變滑塊與直線導(dǎo)軌寬度D1、垂向傳動結(jié)構(gòu)寬度D2以及底盤配重質(zhì)量G后進行整機模態(tài)分析得到1 階固有頻率，進而分析固有頻率變化趨勢，判斷如何優(yōu)化整機結(jié)構(gòu)。

如表4 所示，滑塊與直線導(dǎo)軌寬度D1初始值為20 mm，變化范圍設(shè)定為20～50 mm。垂向傳動結(jié)構(gòu)寬度D2初始值為129 mm，變化范圍設(shè)定為129～159 mm。底盤配重質(zhì)量M初始值為40 kg，變化范圍設(shè)定為40～70 kg。

表4 變量的初始值與變化范圍

通過改變變量的方式，分別得到在單獨改變滑塊與直線導(dǎo)軌寬度D1、垂向傳動結(jié)構(gòu)寬度D2以及底盤配重質(zhì)量M情況下，設(shè)備的1 階固有頻率變化曲線，如圖7、圖8 和圖9 所示。

圖7 自變量為D1 情況下1 階模態(tài)曲線

圖8 自變量為D2 情況下1 階模態(tài)曲線

圖9 自變量為M 情況下1 階模態(tài)曲線

滑塊與直線導(dǎo)軌寬度D1在20～80 mm 與設(shè)備的一階固有頻率成反比，且曲線斜率較小。1 階固有頻率的變化值大約在0.05 Hz，底盤配重質(zhì)量M在40～70 kg 與設(shè)備的一階固有頻率成反比。根據(jù)頻率公式k為結(jié)構(gòu)剛度，m為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，k與m成正比，說明在滑塊與直線導(dǎo)軌和底盤配重處，剛度與質(zhì)量之間差別不大。垂向傳動結(jié)構(gòu)寬度D2在129～189 mm，對應(yīng)的設(shè)備1 階固有頻率先是指數(shù)上升，達到169 mm左右時頻率值相對穩(wěn)定。

綜上所述，整機的1 階固有頻率對于垂向傳動結(jié)構(gòu)寬度較為敏感，因此結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計主要改變垂向傳動結(jié)構(gòu)寬度來實現(xiàn)1 階固有頻率的變化。

表5 是綜合分析后3 個自變量的優(yōu)化組合，其中滑塊與直線導(dǎo)軌處維持初始值20 mm，垂向傳動結(jié)構(gòu)寬度選用臨界值169 mm。底盤配重處考慮產(chǎn)品此處需要安裝隔離變壓器、工控機及濾波器等電氣件，因此配重質(zhì)量需超出電氣件質(zhì)量總和，此處參數(shù)為50 kg。

表5 優(yōu)化值組合

通過調(diào)整整機模型和進行模態(tài)仿真，得到優(yōu)化后的設(shè)備前3 階固有頻率，如表6 所示。其中，1 階固有頻率提升到6.42 Hz，比優(yōu)化前計算機輔助工程（Computer Aided Engineering，CAE）仿真和實物實驗數(shù)據(jù)提高了33%～40%，達到了設(shè)備1 階固有頻率避開掃描頻率的需求。優(yōu)化后的整機結(jié)構(gòu)不會在掃描頻率下引起共振。

表6 優(yōu)化前后1 階固有頻率對比 單位：Hz

6 結(jié)語

本文提出了一種結(jié)合ANSYS 模態(tài)分析、實物動力學實驗以及模型優(yōu)化驗證的解決振動方法。首先，簡化整機模型，設(shè)置各模塊的質(zhì)量參數(shù)。其次，通過ANSYS 軟件進行模態(tài)分析得到前3 階固有頻率和對應(yīng)的振型。再次，完成實物加速度測試，得到設(shè)備實體運轉(zhuǎn)狀態(tài)下最真實的振動能量分布，進而獲得整機需要優(yōu)化的位置。最后，通過調(diào)節(jié)3 個變量得到組合最優(yōu)解，并通過再次模態(tài)分析來驗證優(yōu)化結(jié)果是否滿足要求。