基于刀齒軌跡模型的五軸側銑加工銑削力預測*

桂 昊，張立強，楊青平

（1.上海工程技術大學，上海 201620；2.成都永峰科技有限公司，成都 610511）

對于航空航天薄壁件來說，切削力是影響銑削加工的重要物理因素，過大的切削力會使刀具與工件發生振動、變形，從而出現零件表面加工質量低下、刀具磨損加劇等現象。雖然通過降低切削參數來減小切削力可以提升零件質量，但是犧牲了加工效率。預測切削力是研究銑削加工的穩定性、受力變形偏差以及工藝參數優化的基礎。

切削力模型建模方式主要有4種：物理模型[1]、經驗模型[2]、神經網絡模型[3]及機械力學模型[4]，其中機械力學模型應用最為廣泛，而對于該類模型，瞬時切屑厚度對于切削力的預測至關重要。Martellotti等[5]通過分析平面中圓弧的運動幾何，提出了圓柱銑刀的經典瞬時切屑厚度模型h=fzsinθ，其中fz為每齒進給量，θ為刀齒周向位置角，但是經典模型僅適用于三軸加工，五軸側銑刀具姿態多變，刀具與工件的接觸區域計算困難；Ferry[6]定義了各個刀具微元的進給坐標系，進而將經典三軸的瞬時切屑厚度計算公式推廣到了五軸銑削中；王立平等[7]提出了一種五軸側銑瞬時切屑厚度的拆分計算方法，通過判斷刀具姿態補償了經典切屑厚度模型；He等[8]提出了一種基于真實齒軌的五軸球頭銑刀切削力新模型；董永亨等[9]通過齊次坐標系建立了刀齒的運動軌跡，并計算了當前刀齒與工件的邊界交點，求出瞬時未變形切屑厚度；王博[10]結合球頭銑刀切削刃的幾何特點建立切削刃微元點的空間位置矢量，并進一步推導描述切削刃微元點軌跡的矢量形式。以上研究對五軸瞬時切屑厚度研究比較深入，但卻忽略了刀具跳動的存在會影響瞬時切屑厚度值。Li等[11]考慮了刀具跳動的影響，提出一種近似圓弧軌跡模型來替代真實的擺線齒軌模型，圓形假設引入的近似誤差在可以忽略的同時又提高了計算效率。Wang等[12]在切削力預測中探究了刀具跳動對刀齒運動軌跡的影響，并通過切削力試驗進行了驗證。

本文通過五軸側銑幾何運動學模型描述了五軸刀位在空間中的姿態，隨后提出一種基于刀齒軌跡模型的切削力預測模型，計算當前切削刃上切削點到前幾個刀齒回轉圓柱面的映射距離，并在坐標變換關系下，將空間中的線面求交計算轉換成二維平面的線與圓弧的求交運算。在考慮刀具跳動對圓弧軌跡的影響后，求解方程組獲得切削微元的瞬時切屑厚度值，最后在五軸機床上進行了加工試驗，驗證了本文所建立模型的有效性。

1 側銑幾何運動學模型

五軸側銑過程的刀具姿態變化復雜，在研究力學模型之前，首先建立幾何運動學模型。如圖1所示，每個刀位點信息包括刀尖點坐標Pi與刀軸矢量Ti，在刀位[Pi，Ti]向刀位[Pi+1，Ti+1]運動過程中，需要計算t時刻的刀位點Pt和刀軸矢量Tt，CNC系統在執行刀位文件時，兩相鄰刀位間的運動為線性插補運動，刀位點Pt計算公式表示為

圖1 刀具位置插補示意圖Fig.1 Schematic diagram of tool position interpolation

式中，fz為每齒進給量；n為主軸轉速；N為刀具齒數；dP1，P2為刀位點P1和刀位點P2之間的距離。

兩相鄰刀位點刀軸矢量Ti與Ti+1間的夾角γ計算公式為

已知刀位[Pi，Ti]向刀位[Pi+1，Ti+1]運動的刀軸矢量夾角γ，在t時刻刀軸矢量計算公式為

Rot（v，θ）·Ti為向量Ti繞向量v順時針旋轉角度θ，若矢量v=[vi，vj，vk]，則Rot（v，θ）·Ti計算公式[13]為

式中，versθ= 1- cosθ。

為準確描述五軸側銑的復雜空間運動，分別建立了工件坐標系、刀具坐標系、局部刀齒坐標系。首先建立固定不動的工件坐標系OWXWYWZW，刀具姿態和工件均在工件坐標系下表示。如圖2所示，在工件坐標系下，刀具側刃沿著兩條引導線滑動形成掃掠面，在這個過程中，以刀尖PC=[Pcx，Pcy，Pcz]為原點建立刀具坐標系OCXCYCZC。

圖2 坐標系建立示意圖Fig.2 Schematic diagram of coordinate system establishment

XC=[Xcx，Xcy，Xcz]指向當前刀位進給方向，ZC=[Zcx，Zcy，Zcz]為刀軸矢量T。建立刀齒微元坐標系OfXfYfZf，其軸方向矢量Zf與刀具坐標系ZC軸同向，Xf軸為過點Of指向刀具中心線方向。由于存在螺旋角β，刀齒會隨著軸向位置變化而出現變化的滯后角φ。已知半徑R、軸向高度z，滯后角可以表示為

設刀具底端切削刃的旋轉角為?，齒數為N，則在刀具高度z處第j個刀齒的旋轉角表示為

在刀具坐標系下，高度z處第j個刀齒的切削點的坐標可以表示為

由于工件坐標系OWXWYWZW固定不動，而刀具坐標系OCXCYCZC會隨刀具姿態的變化而變化，將變化的刀具坐標系轉換到固定不動的工件系下表示，已知刀具坐標系XC、YC、ZC3個軸矢量，刀具坐標系轉換到工件坐標的旋轉矩陣可以由表示。PC為刀具坐標系的原點坐標，則將刀具坐標系轉換到工件坐標系中的轉換矩陣可以表示為

2 切削力模型

2.1 切削力計算

采用機械力學模型計算切削力，如圖3所示，將刀具沿刀軸方向劃分為M個厚度相等的切削微元盤。

圖3 切削力微元模型Fig.3 Micro-element model of cutting force

在刀具旋轉角度為θi，j時，作用在第j個齒第i個切削微圓盤的切削力公式表示為

式中，Ktc、Krc、Kac分別為切向、徑向和軸向剪切力系數；Kte、Kre、Kae分別為切向、徑向和軸向犁切力系數；hi，j（t）為第j個齒第i個切削微圓盤的瞬時切屑厚度；db為切削微圓盤厚度；W（θi，j（t））是判斷切削微圓盤是否參與切削的窗口函數，可以表示為

式中，θen，i，j、θex，i，j分別為第j個齒第i個切削微圓盤的切入角、切出角。

在t時刻，作用在工件上的總切削力分力可以通過將作用在軸向切削深度內的圓盤元件上的3個切削力相加和坐標變換得到，表示為

式中，Ti，j繞刀軸的旋轉矩陣表示為

2.2 瞬時切屑厚度計算

瞬時切屑厚度為在刀具工件嚙合區域內，當前刀齒的任意切削點沿刀齒面法向到已加工面的距離。如圖4所示，前一刀齒回轉面為已加工面，在切入角、切出角限制的接觸區域內，有效瞬時切屑厚度為當前刀齒回轉面與前一刀齒回轉面相交的實體部分。

圖4 瞬時切屑厚度模型Fig.4 Instantaneous chip thickness model

為計算瞬時切屑厚度，如圖5所示，刀位M為前一刀位點，刀位N為當前刀位點，刀具在作平移和旋轉運動時形成了瞬時切屑厚度h；Ai，j為刀具在刀位點N上第j個刀齒第i個切削微圓盤的切削點，計算點Ai，j到刀位M處的刀齒回轉面的距離為點Ai，j處的瞬時切屑厚度。

圖5 瞬時切屑厚度計算示意圖Fig.5 Instantaneous chip thickness calculation

首先建立刀位M的刀具坐標系OMXMYMZM以及刀位N的刀具坐標系ONXNYNZN。切削點Ai，j處的切屑厚度h滿足

式中，CM、、分別為在OMXMYMZM坐標系下M位置處的刀齒回轉面上的交點、M位置處的刀齒回轉面法向矢量及N位置處的刀齒切削點。

向量n垂直于刀位M的軸線，是切削點Ai，j垂直于M位置處刀齒回轉面的法向矢量；是刀具坐標系轉換到工件坐標系的轉換矩陣；Pn為坐標系原點。將點轉換到工件坐標系下表示為

在坐標系OMXMYMZM下，刀位M處刀齒回轉面的交點CM表示為

將式（20）～（22）代入式（15）求解方程組，得

交點CM的參數θ、z未知，聯立方程消去θ簡化計算為

法矢量與刀齒回轉面有兩個交點，所求解出未知數h的兩個解中，最小h值為切削點到回轉面有效切屑厚度值。

在實際加工過程中，刀具跳動不可避免，刀具跳動會改變瞬時切屑厚度的大小，從而使各齒的切削力峰值不同。如圖6所示，定義刀具徑向跳動偏移值為ρ，偏轉角度為λ，則刀具跳動影響下的刀具半徑為[12]

圖6 刀具跳動示意圖Fig.6 Schematic diagram of tool runout

若加工過程中受刀具跳動影響，當前切削點的瞬時切屑厚度不一定是到前一齒的刀齒回轉面，而是到前k個刀齒回轉面的距離。

依次計算當前切削點到前k個刀齒回轉面的距離，最小值為當前切削點對應的真實的瞬時切屑厚度，即

3 切削力預測試驗驗證

為驗證本文所提算法的有效性，在A擺頭B轉臺的上海拓璞臥式數控機床HMC - C100PL上進行側銑加工試驗。毛坯材料為AL7050 - T7451，刀具為直徑12 mm的整體硬質合金平底銑刀，切削刃數為3，螺旋角為45°，刀具跳動偏移值ρ為0.0017，偏轉角度λ為42°。主軸轉速2000 r/min、每齒進給量0.03 mm、切深10 mm、切寬1 mm，試驗試件壁厚大于10 mm。試件的被加工面與刀位點如圖7所示。

圖7 MATLAB仿真加工曲面與刀位點Fig.7 Machining curved surface and cutter location by MATLAB simulation

切削力測量設備為Kistler 9272型四分量測力計，其x和y方向的靈敏度為- 7.8 pC/N，z方向的靈敏度為-3.5 pC/N，試驗采樣頻率為10 kHz。數據采集設備為HR- CA- 411型電荷放大器、HRU1213MA型信號采集儀，試驗設備如圖8所示。

圖8 切削力測量裝置Fig.8 Cutting force measuring device

切削力系數標定采用文獻[14]的方法，做5組槽銑試驗，主軸轉速2000 r/min、軸向切深1.5 mm，通過測力儀設備分別采集每齒進給量0.04 mm/r、0.06 mm/r、0.08 mm/r、0.10 mm/r、0.12 mm/r的槽銑切削力試驗結果，獲得平均切削力值，試驗測量結果如表1所示。

表1 不同進給的平均切削力值Table 1 Average cutting force at different feeds

用最小二乘法擬合實測切削力的平均值，如圖9所示。

圖9 最小二乘擬合切削力Fig.9 Least square fitting cutting force

擬合的切削力系數如表2所示。

表2 切削力系數Table 2 Cutting force coefficient N/mm2

圖10為刀具旋轉一周期內測量與預測的結果對比圖。測量結果與預測結果接近，預測的y軸切削力無論是趨勢還是峰值都比較吻合；x軸切削力測量峰值與預測峰值相差較大，最大誤差在24.5%左右，但整體趨勢和實測值一致。在實際測量切削力值時，電荷放大器由于受潮及設備本身性能不穩定，測量的切削力值會發生漂移的情況，測量結果不可避免地會受到影響。

圖10 刀具旋轉一周期內切削力測量值與預測值比較Fig.10 Comparison of measured and predicted cutting force within one cycle of tool rotation

圖11是工件在整個切削過程中切削力的預測值與實測值，可以發現，工件在x軸向受力減小的同時，y向受力在增大；從預測結果與實測結果來看趨勢基本一致，但是切削力的輪廓線并未完全吻合，在側銑過程中受刀具跳動影響，理論刀軸矢量與實際刀軸矢量會發生偏差，而刀軸矢量是識別刀具位姿的重要變量，這也會導致預測值與實測值出現偏差。

圖11 工件整個切削過程切削力預測值和實測值Fig.11 Predicted and measured values of cutting force in the whole cutting process of the workpiece

4 結論

（1）以五軸側銑幾何模型表述了任意時刻的刀軸姿態，并建立了圓柱銑刀的刀齒運動模型，通過齊次坐標變換，把空間下的求交問題轉換成平面中的求交解析計算。

（2）通過切削力標定試驗獲得切削力系數，仿真的x軸方向力增大的同時y軸方向的力在減小，最后將仿真的力值與實測力值進行比較，最大預測誤差值在24.5%，從切削加工整個過程來看，切削力趨勢和大小基本吻合，驗證了本文模型用于預測切削力的有效性。

（3）在五軸側銑加工過程中，航空航天類薄壁零件會因切削力作用出現讓刀變形誤差，且恒定的進給速度將嚴重影響五軸側銑加工效率，基于本文的切削力預測模型可以進一步做薄壁件變形誤差預測和進給速度優化等研究。