初中數學解題能力培養的基本策略
——以人教版“圓”的相關知識為例

劉艾芳

(日照市新營中學,山東 日照 276800)

在初中數學教學中,培養學生的解題能力至關重要.筆者以具體的幾何問題為例,探索培養學生數學解題能力的基本策略,旨在為初中數學解題教學提供堅實的理論和實踐基礎,以促進學生全面而深入地學習數學,提高學生分析問題和解決問題的能力,提升其數學核心素養[1].

1 利用基本定義和公式直接解決問題

圖1 例1題圖

點評本題的解決,體現了學生利用基本定義和公式直接解決問題的能力.在解決本題的過程中,學生容易發現△ABC是等腰三角形,這是根據等腰三角形的定義得出的.進一步,△ABC實際上是等邊三角形,因為它的一個內角等于60°,根據等邊三角形的判定即可得出結論.利用三角形的內角和定理可以計算出未知角的度數,利用圓周角定理可以推斷出圓心角∠AOC的度數,這體現了學生對圓和三角形性質的基本理解[2].

2 利用輔助線解決問題

例2 如圖2所示,⊙O為△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,作OD∥BC,與過點A的切線交于點D,連接DC并延長,交AB的延長線于點E.求證：DE是⊙O的切線.

圖2 例2題圖

解析如圖3,連接OC.因為AD為⊙O的切線,所以∠DAO=90°.因為OC和OB均為⊙O的半徑,所以OB=OC,AO=CO,所以⊙OCB為等腰三角形,所以∠OCB=∠OBC.因為OD//BC,所以∠OBC=∠DOA,∠OCB=∠DOC,所以∠DOC=∠DOA,所以△ADO≌△CDO,所以∠DAO=∠DCO=90°.因為OC為⊙O的半徑,所以DE是⊙O的切線.

圖3 例2解法圖

點評在這個問題中,引入輔助線OC是關鍵步驟.它建立起了已知條件與所證結論之間的邏輯關系,從而使問題得以解決.問題中運用了圓的半徑相等、切線與半徑垂直、等腰三角形兩底角相等基本幾何性質,這些都是初中數學的核心知識點,通過實際問題的解決,加深了對這些性質的理解.通過這個例子,可以使學生了解如何在解決幾何問題時靈活運用基本定理和性質,鼓勵學生在遇到難題時嘗試引入輔助線,為問題解決創造條件[3].

3 利用轉化思想解決問題

例3 如圖4,水平放置的圓柱形水管道的截面半徑是0.8 m,其中水面高0.4 m,求截面上有水部分的面積(結果保留π).

圖4 例3題圖

圖5 例3解法圖

點評在解題過程中,展現了轉化思想的巧妙運用,將復雜的弓形面積問題轉化為扇形面積與三角形面積之差,彰顯了將問題轉化為更簡單形式的策略,為培養學生解決問題能力提供了有力的范例.

這種方法為教學實踐中培養學生解題能力、數學思維能力提供了有益的經驗,也適用于初中數學其他類型的題目.例如,復雜圖形面積的計算問題,在計算由不同形狀圖形組合而成的復雜圖形的總面積時,可將復雜圖形拆分為三角形、矩形、梯形等基本圖形,分別計算各個基本圖形的面積,然后根據圖形面積關系即可求得總面積.在初中數學教學中,教師可引導學生通過確定圖形間的相似性或等價性,將問題轉化為熟悉的圖形進行求解.

4 利用發散思想解決問題

例4 已知圓O的半徑是6,弦AB=10,弦CD=8,且AB∥CD,求AB與CD之間的距離d.

解析此題分兩種情況討論.

點評在數學解題教學中,分類討論思想是一個非常重要的解題策略,它對學生解題能力的培養具有深遠的影響.通過解決這道與圓有關的幾何問題,可以發現分類討論思想發揮了重要作用,它防止了漏解.其實,分類討論思想不僅適用于幾何問題,還廣泛應用于代數、概率、函數等多個數學領域.

5 利用數形結合思想解決問題

例5 如圖6所示,在平面直角坐標系中,以(m,0)為圓心的⊙O′與x軸相交于C、D兩點,與y軸相交于A、B兩點,連接AC、BC.

圖6 例5題圖

(2)在(1)的結論下,延長EC到P點,連接PB,若PB=PE,請證明PB與⊙O′相切;

(3)如果m=1,⊙O′的半徑為2,求(2)中直線PB的解析式.

(2)如圖7所示,連接O′B,則∠CO′B=2∠CAB.因為PB=PE,∠PBE=∠PEB=2∠CAB=∠CO′B,所以∠PBO′=∠PBE+∠EBO′=∠CO′B+∠EBO′=90°,所以PB⊥O′B,所以PB與⊙O′相切.

圖7 例5解析圖

點評本題借助數形結合思想,將圓的相關知識、直線方程、三角形及數學運算相結合,涉及初中數學多方面知識,其綜合性較強,具有一定的難度.在訓練此類問題時,教師要運用多媒體數字化工具,將數形結合過程演示給學生,以此激發學生的學習興趣,培養其解決問題的能力.

6 結束語

通過對與圓有關問題的深入探討,不僅揭示了基本數學概念和解題策略的重要性,還強調了在數學教學中培養學生綜合能力的必要性.這些教學方法和思維訓練將為學生打下堅實的數學基礎,為其未來的學習奠定基石.希望通過本文的討論,能夠為初中數學教學提供有益的參考和啟發,助力學生在數學學習道路上取得更大的成就,不斷提升其數學核心素養.