利用“瓜豆原理”模型分析軌跡問題

陳禮弦

(貴州省貴安新區普貢中學,貴州 貴安新區 561113)

在初中數學教學中,軌跡問題是教學的難點,也是核心素養重點考查對象.根據筆者多年的教學經驗,引導學生弄清楚“瓜豆原理”模型,利用其分析軌跡問題,會收到事半功倍的效果.

“瓜豆原理”是一種數學問題的形象描述,即若兩動點到某定點的距離比是定值,夾角是定角,則兩動點的運動路徑相同.其中,主動點叫作“瓜”,從動點叫作“豆”.如果“瓜”在直線上運動,那么“豆”的運動軌跡也是直線;如果“瓜”在圓周上運動,那么“豆”的運動軌跡也是圓.這種主從聯動軌跡問題被稱為“瓜豆原理”或“瓜豆模型”,在某一個特殊位置,就是我們要解決的軌跡問題[1].

1 模型一 動點在直線上運動

這類問題的基本特點是主動點在直線上運動,從動點的運動軌跡也是直線.其結論主要有兩個：一是主動點和從動點所在直線的夾角是一個定值;二是主動點和從動點軌跡長度之比值是一個定值.

1.1 模型分析

例1 如圖1,G為線段EF一動點,D為定點,連接DG,取DG中點H,當點G在EF運動時,畫出點H的運動軌跡.

圖1 例1題圖 圖2 例1解析圖

例2 如圖3,△DEF是等腰直角三角形,∠EDF=90°且DE=DF,當點E在線段MN上運動時,畫出點F的運動軌跡.

圖3 例2題圖 圖4 例2解析圖

解析如圖4,線段F′F″即為點F的軌跡.取點F的起始位置F′和終點位置F″,連接即得點F軌跡為線段F′F″.因為主動點E和從動點F所在直線DE和DF的夾角為90°,易證△MND≌△F′F″D,主動點E和從動點F的軌跡長之比值等于MN∶F′F″=1,所以點E、F的軌跡是同一圖形.

1.2 模型應用

例3 如圖5,矩形DEFG中,DE=3,DG=4,點H在邊DG上且DH∶HG=1∶3.動點I從點D出發,沿DE運動到點E停止.過點H作HK⊥HI交射線EF于點K,設J是線段HK的中點.求在點I運動的整個過程中,點J運動的路徑的長.

圖5 例3題圖 圖6 例3解析圖

2 模型二 動點在圓周上運動

這類問題的基本特點是主動點在圓周上運動,從動點的運動軌跡也是圓.其結論主要有兩個：一是主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角是定值;二是主、從動點與定點的距離之比值等于兩圓心到定點的距離之比值.

2.1 模型分析

例4 如圖7,F是⊙D上一個動點,E為定點,連接EF,G為EF的中點,當點F在⊙D上運動時,畫出點G的運動軌跡.

圖7 例4題圖 圖8 例4解析圖

解析如圖8,⊙C是點G的運動軌跡.連接ED,取ED的中點C,連接CG,以C為圓心,CG為半徑作⊙C,所以點F在⊙D上運動時,點G在⊙C上運動.即⊙C是點G的運動軌跡.因為主、從動點與定點連線的夾角∠FEG等于兩圓心與定點連線的夾角∠DEC,是定值0°.又因為主、從動點與定點的距離FE、GE之比值等于兩圓心到定點的距離DE、CE之比值,也等于兩圓半徑DF、CG之比值,是定值.從而可知主動點F在圓周上運動,從動點G的運動軌跡也是圓.

例5 如圖9,M是⊙D上一個動點,B為定點,連接BM,在BM的上方以BM為邊作等邊△BCM.當點M在⊙D上運動時,畫出點C的運動軌跡.

圖9 例5題圖 圖10 例5解析圖

解析如圖10,點C的運動軌跡是以點E為圓心的圓,理由如下：點C滿足∠MBC=60°,BM=BC,點C的圓心E滿足∠DBE=60°,BE=BD,且EC=DM,可確定圓E的位置,任意時刻均有△BMD≌△BCE,可以理解BE是由BD旋轉得到,故圓E是由圓D旋轉得到的,旋轉角度與縮放比例均與BM與MC的位置和數量關系有關.

例6 如圖11,F是⊙C上一動點,E為定點,連接EF,以EF為斜邊在EF上方作等腰直角三角形EFD.當點F在⊙C上運動時,畫點D的軌跡.

圖11 例6題圖 圖12 例6解析圖

2.2 模型應用

例7 如圖13,⊙E的直徑BC=4,D為⊙E上的動點,連接BD,F為BD的中點,若點D在圓上運動一周,求點F經過的路徑長.

圖13 例7題圖 圖14 例7解析圖

如圖14,當點D在點C處時,點F在點E處,當點D在點B處時,點F在點B處,所以EB是這個圓的直徑,這個圓是⊙G.又因為BC=4,所以EB=2,所以GB=1,所以r=1,所以⊙G的周長為2πr=2π,所以點F經過的路徑長是2π.

例8 如圖15,FG=3,⊙F的半徑為1,E為⊙F上的動點,連接EG,在EG上方作一個等邊三角形EGH,連接FH.求FH的最大值.

圖15 例8題圖 圖16 例8解析圖

解析如圖16,以FG為邊在FG上方構造等邊三角形△FGI,連接IH,以點I為圓心,IH為半徑作圓I.因為主、從動點與定點連線EG、HG的夾角等于兩圓心與定點連線FG、IG的夾角,且是60°為定值.又因為主、從動點與定點的距離EG、HG之比值等于兩圓心到定點的距離FG、IG之比值,也等于兩圓半徑FE、IH之比值,是定值1.因為∠FGE=60°-∠EGI,∠IGH=60°-∠EGI,所以∠FGE=∠IGH.又因為FG=IG,EG=HG,所以△FGE≌△IGH,所以IH=FE=1.從而可知點H運動的軌跡是以點E為圓心、1為半徑的圓,當F、I、H三點共線且H在FI的延長線上時,FH的最大值為FI+IH=3+1=4,此時點H在點H′處.

3 結束語

在解決軌跡問題時,要結合圖形進行分析,主動點和從動點運動的軌跡是否屬于“瓜豆原理”.如果主動點和從動點運動的軌跡屬于“瓜豆原理”,就可以利用主動點在直線上運動,從動點的運動軌跡也是直線或主動點在圓周上運動,從動點的運動軌跡也是圓解決軌跡問題[2].