專題教學中解題回顧的實踐探索
——以八年級幾何教學為例

傅 鵬

(鎮江市伯先中學,江蘇 鎮江 212132)

專題教學是一種針對特定主題進行深入學習的教學方法,與傳統的零散知識點教學相比,它能夠幫助學生建立知識的整體框架,提高學生的學習興趣和主動參與度[1].目前,很多教師認為專題教學就是讓學生多練習題、多接觸不同的題型,因此現有的專題教學主要以題海戰術為主.但在這種模式下,學生只能機械化解題,“見樹木而不見森林”,不利于學生解題能力的提升.

1 解題回顧的含義

波利亞在他的著作《怎樣解題》中將解題過程分為四個階段：理解問題意思、擬訂方案、執行方案和回顧.其中回顧意為檢查完整的答案,重新審查結果及得出該結果的過程.解題回顧是解題過程中的重要環節,它是解題活動中的“元認知”.通過解題回顧,不僅可以發現解題活動中的問題,還可以弄清數學問題的深層結構和數學思想方法.解題回顧的目的是幫助學生深入理解解題過程,發現解題中的錯誤和不足之處,并從中獲取反饋和改進的機會.通過回顧,學生可以審查自己的解題思路和方法是否正確,是否符合問題的要求,是否運用了適當的數學知識和技巧.解題回顧是培養學生批判性思維和自主學習能力的重要環節.通過反思和總結,學生可以不斷提高自己的解題能力和數學思維水平.

在幾何模塊,按照圖形的結構特征,可以分為不同的幾何模型.學生在平時的解題過程中,主要存在著以下幾個問題：一是無法精準識別幾何模型,即混淆不同的圖形,無法正確識別和分類不同的幾何模型;二是對模型的基本結論不夠熟悉,即缺乏對幾何模型基本結論的了解;三是對模型的處理方法不熟悉,即學生不知道如何構造和操作幾何圖形,對不同幾何模型的處理方法不熟悉;四是對特定模型的解題方法只知其然而不知其所以然,即學生只知道特定模型的解題方法,但缺乏對其背后原理和推理過程的理解.

2 教學實踐

2.1 一題多變,融會貫通

一題多變中的“變”,意為“變式”,是指在某一特定的數學定理、模型或規律的基礎上,通過改變條件、參數或數學情境,衍生出多個新的題目或問題形式.無論題目如何變化,都需要去掉題目的表面修飾,緊抓本質.通過一題多變的方式,可以深入挖掘知識的內涵和外延,幫助學生理解和掌握知識.

例1 如圖1所示,∠DAE的兩邊上各有一點B、C,連接BC,求證：∠DBC+∠ECB=180°+∠A.

圖1 例1題圖 圖2 變式1示意圖

解析因為∠DBC和∠ECB是△ABC的外角,所以∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC.又因為∠A+∠ACB+∠ACB=180°,所以∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.

點評本題主要考查三角形外角的性質,熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和,以及三角形內角和等于180°是解題的關鍵.

變式1 如圖2所示,△ABC中,∠A=65°,直線DE交AB于點D,交AC于點E,則∠BDE+∠CED=( )

A. 180° B.215° C. 235° D. 245°

解析因為∠A=65°,所以∠ADE+∠AED=180°-65°=115°,所以∠BDE+∠CED=360°-115°=245°,故答案為D.

點評本題主要考查三角形的內角和定理,與圖1相比,圖2略微復雜,但考查的知識點不變.

變式2 如圖3所示,在△ABC中,∠C=70°,沿圖中虛線截去∠C,則∠1+∠2=( )

圖3 變式2示意圖

A. 360° B. 250° C. 180° D. 140°

解析在△ABC中,因為∠C=70°,所以∠A+∠B=180°-∠C=110°,所以∠1+∠2=360°-110°=250°,故選B.

點評本題由三角形的內角和定理延伸到多邊形的內角和定理.一方面,可利用三角形內角和定理求出∠A+∠B=110°;另一方面,可考慮利用四邊形的內角和為360°求解.與變式1相比,本題難度更進一步.

變式3 圖4是某建筑工地上的人字架,若∠1=120°,那么∠3-∠2的度數為.

圖4 變式3示意圖

解析如圖4,因為∠1+∠4=180°,∠1=120°,所以∠4=60°.因為∠3=∠2+∠4,所以∠3-∠2=∠4=60°.

點評本題結合實際生活情境,主要考查三角形外角的性質、平角的性質等知識,解題的關鍵是熟練掌握基本知識.

變式4 如圖5所示,在△ABC中,∠B=58°,三角形兩外角的角平分線交于點E,則∠AEC=____．

圖5 變式4示意圖

解析利用三角形內角和定理及角平分線的性質易得∠AEC=60°,求解過程從略.

在數學教學中,引導學生通過探索問題的變式,可以幫助學生更深入地理解數學概念和原理.例如,通過將問題的條件稍作修改,或者將問題中的一些數值進行調整,可以引導學生思考問題的本質和關鍵點.這種探索過程不僅可以幫助學生理解數學概念的內涵,還可以培養學生問題解決能力和創新思維.另外,數學中存在許多關聯性知識,通過探索這些相關問題,也可以幫助學生加深對數學知識的理解.

2.2 一題多解,開闊思路

一題多解是指在解決一個問題時,存在多種不同的解決方法或策略.在數學的專題教學中,一題多解可以幫助學生從不同的角度去思考和解決問題,拓寬他們的思維方式和解題思路.不同的解法可以啟發學生發現問題的多個解決路徑,激發他們的創造力和想象力.通過比較多個解法,學生可以更深入地理解問題的本質和要求.

圖6 例2題圖 圖7 證法1示意圖

證法2 (構造梯形)如圖8,作NQ∥MB交BC于點Q.證明過程從略.

圖8 證法2示意圖 圖9 證法3示意圖

證法3 (轉移角構造全等三角形)如圖9,作BH⊥MN于點H,連結BN.證明過程從略.

證法4 (轉移角構造相似三角形)如圖10,連結BN,作EN⊥MB于點E.證明過程從略.

圖10 證法4示意圖 圖11 證法5示意圖

證法5 (作中位線轉移角)如圖11,作NF∥BC交MB于點F.證明過程從略.

在初中數學解題教學中,不要盲目追求解題數量,而應該注重解題質量.通過深入思考和精心解答一個問題,可以更好地掌握基礎知識和基本技能,提高學生的解題能力和思維深度.不同的解法,涉及不同的數學知識和思想方法.通過比較不同的解法,學生可以更深入地理解數學概念和原理,培養知識系統性和關聯性.這種比較和分析不同解法的過程有助于學生形成更全面的數學思維,同時提高學生的解題技巧.在深入解答一個問題的過程中,我們會發現其中的一些規律和特點,這有助于學生在解決類似問題時能夠更快地找到突破口和解題思路.在“一題多解”過程中,學生會不斷地重復和運用相關的數學知識,加深對知識點的記憶和理解,從而為更深層次的數學學習打下堅實的基礎.

3 結束語

在初中數學解題教學中,通過解題后的“回顧與反思”,可以將問題從具體的情境中抽象出來,進一步推廣引申.在推廣引申過程中,還可以發現不同數學問題之間的相似關系和相聯關系.通過比較不同問題的解題方法和思路,可以發現它們之間的共同之處,進而找到更一般性的解題方法或解題規律.