M(P,Q)的一個小注

肖 丹 丹

(重慶師范大學 數學科學學院, 重慶 401331)

0 引言

設H是希爾伯特空間,B(H)為H上所有有界線性算子的空間．若算子P滿足條件P=P*=P2,則算子P稱為正交投影．P(H)表示B(H)上所有正交投影的全體,R(P)表示P的值域空間,N(P)表示P的零空間,N(Q)表示Q的零空間,R(Q)表示Q的值域空間．

兩個投影算子理論是算子理論研究中的一個重要課題,其中M(P,Q)是研究P,Q的聯合譜的最重要的工具之一．M(P,Q)是由Gehér等[1]研究Wigner定理在Grassmann空間上的改進時引進的,定義為:

目前已經有了M(P,Q)的一些相關研究[2-4]．Gehér等[1]證明了M(P,Q)的一些性質,并提出了一個問題:若P,Q∈B(H)是正交投影,則是否有

dimR(P)∩N(Q)=dimN(P)∩R(Q)

當且僅當M(P,Q)非空?Dou等[2]證明了以下內容:若P,Q∈P(H),

dimPH∩(I-Q)H=dimQH∩(I-P)H,

則M(P,Q)非空．Gehér等[3]得到R的一些相關性質:‖R-P‖≤sinθ,‖R-Q‖≤cosθ．他們利用M(P,Q)構造了Mθ(P,Q),Mθ(P,Q)被定義為如下形式:

Mθ(P,Q)={R∈B(H):R2=R*=R,
‖P-R‖≤sinθ,‖Q-R‖≤cosθ}．

當R(P)∩N(Q)非空時,

給出了從P到Q的測地線,并討論

dim(PH∩(I-Q)H)=dim(QH∩(I-P)H)

與Mθ(P,Q)非空的關系．

本文需要的主要工具之一是著名的Halmos兩個投影理論[5]．假設P,Q∈P(H),則H可以被分解為:H=H1⊕H2⊕H3⊕H4⊕H5⊕H6,則P,Q具有相應的矩陣表示:

其中T是H5上的正壓縮算子,T的特征值不含0和1,V是從H6到H5的酉元,I是單位元．且

H1=PH∩(I-Q)H,H2=(I-P)H∩QH,
H3=PH∩QH,H4=(I-P)H∩(I-Q)H．

特別地,兩個投影理論也常作為研究算子的聯合譜的工具[6]．

本文將從兩個引理出發,證明有關Mθ(P,Q)的一個定理．

1 Mθ(P,Q)的刻畫

Mθ(P,Q)={R∈B(H):R2=R*=R,

‖P-R‖≤sinθ,‖Q-R‖≤cosθ}．

首先證明以下引理．

引理1若P,Q是B(H)上的投影算子,且

dim(PH∩(I-Q)H)=dim(QH∩(I-P)H)

將H分解為:H=H1⊕H2⊕H3⊕H4,其中

H1=PH∩(I-Q)H,H3=PH?H1,
H2=QH∩(I-P)H,H4=(I-P)H?H2．

根據這個分解,P,Q可以寫成如下形式:

其中V是H2和H3的酉元,T是B(H2)的正壓縮算子．

注意到在H1⊕H2上,P,Q限制在H1⊕H2的形式為:

因為

dim(PH∩(I-Q)H)=dim(QH∩(I-P)H),

所以H1和H4是同構的．把H1和H4看作相同的空間,令R1在H1⊕H2上為

又因為

‖P1-R1‖2=sin2θ,‖Q1-R1‖2=cos2θ,

所以

‖P1-R1‖=sinθ,‖Q1-R1‖=cosθ．

在H3⊕H4上,因為V是酉元,H3和H4是同構的．在酉變換的意義下,改寫P,Q限制在H3⊕H4上的形式如下:

令R2在……