帶有Besov正則性的雙線性乘子定理

張 子 梅

(重慶師范大學 數學科學學院, 重慶 401331)

1 研究背景

在介紹本文結論之前,先給出傅里葉乘子算子的定義:

其中ξ=(ξ1,ξ2)∈R2n.

定理2[4]假設1

則得到

此外,Tomita[5]和Fujita等[6]也探討了相關的帶有Besov正則性的乘子算子的有界性,并且細化了對于乘子算子的研究.Grafakos等[7-8]則找到了乘子算子的Sobolev最佳指標以及局部光滑性對傅里葉乘子算子有界性的影響.

本文的主要工作是將傅里葉乘子算子的相關結論推廣到Besov空間上,建立起帶有Besov正則性的傅里葉乘子算子定理,并且延拓指標p的取值范圍,得到關于該乘子算子有界性的最佳參數估計.對于定義在R2n上的有界函數m,定義其對應的乘子算子Tm如下

其中f1,f2均為定義在Rn上的Schwartz函數,ξ:=(ξ1,ξ2)∈(Rn)2,則dξ:=dξ1dξ2.本文主要結論可以歸納為以下的定理.

則有

‖Tm‖Lp1(Rn)×Lp2(Rn)→Lp(R2n)

2 預備知識

為了更加清楚地闡述結論,我們令ψ∈ζ(Rn)為一個Schwartz函數且滿足以下關系

其中f∈ζ′(Rn).

在介紹兩個重要的引理之前,給出關于Hardy-Littlewood極大函數的定義:

其中f為Rn上的局部可積函數,Q為Rn中包含x的任一方體.當0

‖{Mr(fj)}j∈Z‖Lp‖{fj}j∈Z‖Lp.

(1)

令φ和?為定義在Rn上的Schwartz函數且滿足

并定義φj:=2jnφ(2j·)和?j:=2jn?(2j·),則易得到以下估計

‖{?j*f}j∈Z‖Lp(l2)‖f‖Lp(Rn),
‖{φj*f}j∈Z‖Lp(l∞)‖f‖Lp(Rn).

除此之外,定義區間

在證明本文主要定理之前,先給出以下兩個重要的引理及其證明.

和

其中M為任意常數.

通過以上過程,易得到關于第一個式子的有界性估計.

另一方面,第二個式子的研究過程為

以上引理得證.

自然地,考慮將以上引理從L2函數空間延拓到L1函數空間,也有類似的結論.

引理2令M≥0和1

和

其中M為任意數.

證明利用變量替換有

由不等式(1)以及Littlewood-Paley不等式,得……