方程組AX=B與XC=D的(反)自反酉約束解

史雅萍, 劉喜富

(重慶師范大學 數學科學學院, 重慶 401331)

0 引言

給定矩陣A,B∈Cm×n,C,D∈Cn×p,考慮如下矩陣方程組:

AX=B,XC=D.

(1)

本文主要解決如下兩個問題:

問題Ⅰ:求解方程組(1)在關于廣義反射矩陣P自反酉約束下的約束解;

問題Ⅱ:求解方程組(1)在關于廣義反射矩陣P反自反酉約束下的約束解.

矩陣方程及其解、特殊解在物理學、計算機科學等領域有著非常廣泛的應用.由于理論研究和實際應用的不同需求,對矩陣方程(組)解的性質和結構有著許多不同的約束,由此產生出不同類型的約束矩陣方程問題.對于矩陣方程AX=B的約束解也有許多研究成果,例如: (廣義)自反解和(廣義)反自反解[3-4],反對稱正交解[5],Hermitian自反和Hermitian反自反解與非負定自反解[6].文獻[1-2]分別給出矩陣方程AXB=C的自反解和矩陣方程A*XB=C的自反解與反自反解存在的充分必要條件及其解的通式.文獻[7-9]給出了矩陣方程組AX=B,XC=D的Hermitian(反)自反解,廣義(反)自反解,Re-nnd解與Re-pd解.文獻[10]進一步給出不同矩陣方程(Ⅰ)AX=C,(Ⅱ)AX=C,XB=D,(Ⅲ)AXB=C的Hermitian解和非負定解的存在性及其解的通式.Zhang等[11]利用矩陣的奇異值分解和譜分解給出了矩陣方程組AX=B,XC=D在X*X=Ip約束下的解.另外,關于非線性矩陣方程的數值解也有許多研究成果[12-13].本文通過奇異值分解和Hermite矩陣的譜分解討論了方程組(1)在關于廣義反射矩陣P自反酉約束和關于P反自反酉約束下的解,并給出其顯式表達式.這些問題尚未見相關文獻報道.

在對問題Ⅰ和問題Ⅱ的求解過程中,我們將用到文獻[3,11]中的以下結論.

引理1[3]給定一個廣義反射矩陣P∈Cn×n,則存在酉……