平面一般二次曲線的垂徑定理及其應(yīng)用

鐘德光 肖柔敏

(1.深圳職業(yè)技術(shù)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心,廣東 深圳 518055;2.廣東金融學(xué)院金融數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東 廣州 510521)

垂徑定理是圓的一個(gè)重要性質(zhì),它在橢圓、雙曲線以及拋物線都有類(lèi)似的推廣.目前為止,中小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于橢圓、雙曲線以及拋物線的垂徑定理的討論都是零散的,因此,尋找圓錐曲線的垂徑定理的統(tǒng)一形式有著重要意義.

1 圓的垂徑定理及其在圓錐曲線中的推廣

命題1設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),且設(shè)直線l與圓O相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)D為線段AB中點(diǎn).在直線OD的斜率存在且不為零的情況下,則有

kOD·kAB=-1.

圓的上述解析版本的垂徑定理已經(jīng)在圓錐曲線中得到推廣,見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3].

在文獻(xiàn)[1-3]中,他們給出了橢圓、雙曲線和拋物線的垂徑定理:

命題4 (拋物線的垂徑定理) 已知拋物線y2=2px(p>0)與斜率存在且不為零的直線l相交于M,N兩點(diǎn),設(shè)MN中點(diǎn)為P(x0,y0),則有kMN·y0=p.

2 關(guān)于圓錐曲線垂徑定理的一些問(wèn)題

我們知道,命題5是關(guān)于有心二次曲線的垂徑定理,它給出命題1～3的一種統(tǒng)一形式.實(shí)際上由解析幾何知識(shí)可知,有心二次曲線不但包括圓、橢圓以及雙曲線,還應(yīng)該包括相交的雙直線.因此,命題5并非完整地給出有心二次曲線的垂徑定理.于是我們自然提出如下問(wèn)題:

問(wèn)題1相交的雙直線的垂徑定理是什么?

問(wèn)題2 有心二次曲線與拋物線的統(tǒng)一垂徑定理是什么?

a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0,

①

其中,系數(shù)滿足a1,b1,c1,d1,e1,f1∈R,且a12+b12+c12≠0.由于平面上的圓、橢圓、雙曲線、雙直線以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)或非標(biāo)準(zhǔn)方程都具有①的形式,因此上述問(wèn)題可以總結(jié)為如下的問(wèn)題3:

問(wèn)題3設(shè)平面一般二次曲線方程為a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0,其中a1,b1,c1,d1,e1,f1∈R,且a12+b12+c12≠0,則相應(yīng)的垂徑定理如何?

3 平面一般二次曲線的垂徑定理

本文我們主要給出問(wèn)題3的答案,我們找到了如下的定理1.事實(shí)上,此結(jié)果可由文獻(xiàn)[4]第203頁(yè)的推論得到.但是,文獻(xiàn)[4]對(duì)于該推論的證明涉及到一般二次曲線的漸近方向,該概念在高中數(shù)學(xué)未提及.為了使所涉及的方法不超出高中數(shù)學(xué)的范疇,在此我們利用高中數(shù)學(xué)常用的“點(diǎn)差法”給出該結(jié)果的一個(gè)證明.

定理1 設(shè)斜率存在的直線y=kx+m與平面一般二次曲線①相交于互異的M,N兩點(diǎn),且設(shè)線段MN中點(diǎn)為Q(x0,y0),則直線MN的斜率kMN滿足關(guān)系式

(b1x0+2c1y0+e1)·kMN+2a1x0+d1+b1y0=0.

②

證明設(shè)M,N坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).由于點(diǎn)M,N在平面二次曲線①上,故有

將③式減去④式,并且整理可得

⑤

由于點(diǎn)M,N在直線MN上,故有

⑥

將⑥代入⑤并且整理,可得

⑦

由于M,N互異,故x1≠x2.

因此,將⑦式兩邊除以x1-x2并且整理,可得

⑧

2x0(a1+b1kMN)+2c1y0kMN+d1+b1m+e1kMN

=0.

⑨

由于點(diǎn)Q(x0,y0)在直線MN上,

故y0=kMNx0+m.

解得m=y0-kMNx0,代入⑨并整理,得

(b1x0+2c1y0+e1)·kMN+2a1x0+d1+b1y0=0.

4 定理1對(duì)于命題1～5的推導(dǎo)

現(xiàn)在我們利用定理1的結(jié)果推出命題2.而命題1以及命題3～5的情形可類(lèi)似給出,有興趣的讀者可自行檢驗(yàn),在此我們不再詳細(xì)推導(dǎo).

根據(jù)定理1,此時(shí)直線l的斜率kl滿足方程

5 平面一般二次曲線垂徑定理的應(yīng)用

題目(2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題第2題)若一直線l被另外兩條直線l1:4x+y+6=0與l2:3x-5y-6=0所截得的線段的中點(diǎn)恰好是原點(diǎn),則直線l的方程為_(kāi)___.

分析將直線l和直線l1的交點(diǎn)假設(shè)為(a,b),則根據(jù)條件可知點(diǎn)(-a,-b)在直線l2上.因此,有4a+b+6=0和-3a+5b-6=0.聯(lián)立這兩個(gè)方程可得a+6b=0,從而得出直線l方程為x+6y=0.考慮到相交的雙直線是平面二次曲線①的一種,且題意涉及弦的中點(diǎn),因此可以考慮平面一般二次曲線的垂徑定理.

解析(雙直線垂徑定理法)將雙直線l1:4x+y+6=0與l2:3x-5y-6=0寫(xiě)成平面二次曲線的形式,可得(4x+y+6)(3x-5y-6)=0,即

12x2-17xy-5y2-6x-36y-36=0,

評(píng)注上述例題需要我們知道平面上的兩條相交直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0可寫(xiě)成二次曲線的形式:

(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0.

此外,與命題1～5的情形不同,上述例題的雙直線的中心并不在原點(diǎn)處.這體現(xiàn)了定理1在處理一般二次曲線的垂徑定理相關(guān)問(wèn)題中所顯示出來(lái)的優(yōu)勢(shì).

6 結(jié)束語(yǔ)

總之,我們找到了橢圓、雙曲線以及拋物線的垂徑定理.其實(shí),我們用高中數(shù)學(xué)常用的“點(diǎn)差法”證明了更加一般的結(jié)果,即定理1.該結(jié)果給出了圓、橢圓、雙曲線、拋物線甚至雙直線的垂徑定理的一種統(tǒng)一形式.此外,定理1對(duì)于直線斜率等于零,以及對(duì)于中心不在原點(diǎn)處的圓錐曲線亦成立,這導(dǎo)致了定理1的使用范圍更加廣泛.