巧用導數求解含參函數零點問題
——以2022年全國乙卷第21題為例

王 慧

(揚州大學數學科學學院,江蘇 揚州 225009)

含參函數y=f(x,t)是隨參數變化而變化的動態函數,含參函數零點問題既是高考常考的熱點,也是難點.解決問題的關鍵是對參數的處理,有直接討論、分離參數兩種解決思路.本文基于這兩種思路,以2022年全國乙卷(理)第21題為例,給出三種解法,并對解法進行再反思.

1 真題再現

題目(2022年全國乙卷(理),21題)已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x,

(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)若f(x)在區間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點,求a的取值范圍.

第(1)問先算出切點,再求導得出斜率,最后根據點斜式方程便可得到切線方程;第(2)問是含參函數的零點問題,函數中包含學生熟知的以e為底的對數函數和指數函數,但又包含具有變化性的參數,所以它考查學生思維的靈活性、創新性,綜合運用知識的能力以及數學運算、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.下面是對第(2)問解法的探究.

2 解法探究

2.1 直接討論法

解決函數零點問題最直接的辦法就是求導,根據導數的正負性得到函數的單調性和極值、最值的符號,進而根據零點存在性定理判斷函數零點的存在情況[1].但對于含參函數來講,它是隨參數變化而變化的動態函數,并且原函數和導數中都含有參數,所以在判斷函數單調性時,就要考慮參數對某一區間內的單調性判斷是否有影響,如果有影響,必須分類討論.

解法1(ⅰ)當a≥0時,在(0,+∞)內ln(1+x)>0,axe-x≥0,即f(x)>0.

所以f(x)在(0,+∞)內無零點,不合題意.

顯然g′(x)在(-1,+∞)內單調遞增,且g′(-1)=e-1+2a,g′(0)=1.

所以g(x)>g(-1)>0,即f′(x)>0.

所以f(x)在(-1,+∞)內單調遞增.

又f(0)=0,所以f(x)在(-1,0),(0,+∞)內都沒有零點,不合題意.

②當g(x)<0,即a<-1時,存在x1∈(-1,0),x2∈(0,1)使g(x1)=g(x2)=0.

對f(x)的單調性分析見表1:

表1 f(x)的單調性分析

因為f(0)=0,所以f(x1)>0,f(x2)<0.

又當x→-1時,f(x)<0,當x→+∞時,f(x)>0,所以f(x)在(-1,0),(0,+∞)內各恰有一個零點.

綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1).

第(2)問處理的關鍵是在第(1)問中已算出f(0)=0,以及對參數a的分類,肯定與否定并用,否定只需說明在區間(-1,0)或(0,+∞)內f(x)沒有零點即可.

2.2 分離參數

函數的零點問題可以轉化為函數圖象與x軸的交點問題,也可以轉化為兩個函數圖象的交點問題,對于含參函數來說,通常是常函數與不含參的函數,或者是含參的一次函數與不含參的函數.

2.2.1完全分離參數

故h(x)在(-1,+∞)內單調遞增.

又h(0)=0,所以對g(x)的單調性分析見表2:

表2 g(x)的單調性分析

由極限思想可畫出y=g(x)的大致圖象.

由圖知當a<-1時,滿足曲線y=g(x)與直線y=-a在(-1,0),(0,+∞)內各有一個交點,綜上, 符合題意的a的取值范圍是(-∞,-1).

利用導數繪制函數g(x)的圖象,然后通過平移直線y=-a得到符合題目要求的a的取值范圍.

2.2.2不完全分離參數

令f(x)=0,得到ln(1+x)ex=-ax.將原問題轉化為函數g(x)=ln(1+x)ex的圖象與直線y=-ax的交點問題.

解法3令g(x)=ln(1+x)ex,顯然g(x)在(-1,+∞)內單調遞增,由極限思想可畫出g(x)的大致圖象.

設曲線y=g(x)與直線y=-ax在[0,+∞)內的切點為(x0,-ax0),則有

解得x0=0,a=-1,此時曲線y=g(x)與直線y=-ax在(0,+∞)內沒有交點,在(-1,0)內有一個交點.

所以當a<-1時,滿足曲線y=g(x)與直線y=-ax在(-1,0),(0,+∞)內各有一個交點.

綜上,符合題意的a的取值范圍是(-∞,-1).

此方法將a賦予了更明確的幾何意義——斜率,根據兩個函數在切點處的函數值和切線斜率相同,算出相切情況下a的值.此處函數g(x)比較特別,它在(0,+∞)內的圖形是凹的,而且在曲線y=g(x)與直線y=-ax相切時,以及在旋轉直線y=-ax使兩者在(0,+∞)內相交的過程中,兩者在(-1,0)內恒有交點.

3 結束語

這兩種思路都是利用導數解決含參函數零點問題的常用方法.對于這三種解法各有利弊,直接討論法是解此題型的通用方法,其關鍵是對參數的處理,需要熟練掌握一元一次、一元二次、分式、指數、對數等不等式的解法,而且有時還會涉及隱零點問題.在遇到無法求解的不等式時,通常需要二次求導來研究[2],解題過程復雜、繁瑣,這就要求學生思維縝密細致,并且對學生的數學運算能力、邏輯推理能力等要求較高.

完全分離參數法借助數形結合,經過平移直線與曲線相交,進而得到參數的取值范圍,但是并不是所有的函數都能分離出參數.不完全分離參數法實際上也是從函數圖象入手,將零點問題轉換為兩個函數圖象的交點問題,但與完全分離參數法不同的是,它是從兩個函數圖象相切的臨界情況入手,再通過直線繞定點旋轉,得到曲線和直線相交且符合題意的情況,進而求出參數的取值范圍.需要注意的是,這種方法只適合于在整個定義域內凹凸性不變的函數,或者在某個區間凹凸性不變,在另外的區間內恒符合題目要求的函數.

參數分離法雖然避免了對參數進行分類討論,但是它是借助數形結合思想來解決問題,缺乏嚴謹性,而且在刻畫不含參部分函數的大致圖象時,會借助極限思想.而極限思想對高中生的思維來講較困難,所以這個方法更適合用于選擇題或填空題中.

在高中數學知識庫中,函數占有很大比重,而導數是其中的重中之重,并且在高考選擇題、填空題、簡答題中都有所涉及.所以這就要求教師在教學時善于使用教材進行教學,幫助學生構建完整的知識框架.另外在教學過程中,教師要有意識地培養學生設而不求、分類討論、等價轉化、數形結合等思想,以及發展學生邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學學科素養.