流場波系引導的三維消波翼優化設計方法

戴今釗，陳海昕

清華大學 航天航空學院，北京 100084

根據Kucheman［1］、Corda 和Anderson［2］的統計研究，高超聲速飛行器的升阻比上限隨馬赫數的升高而不斷降低。高馬赫數下，實用飛行器的升阻比難以超過6，吸氣式動力高超聲速飛行器的升阻比甚至難以超過3［3］。

為改善高超聲速飛行器的飛行性能，人們針對高超聲速高升阻比氣動布局開展了大量研究工作。一種重要設計思想是通過精心布置飛行器的流場波系，使各組件引起的激波、膨脹波之間產生有利的相互作用，從而實現增升、減阻的效果［4］。該設計思想可追溯至Busemann 在1935 年提出的Busemann 雙翼構型［5］。在設計馬赫數下，Busemann 雙翼上、下翼的前緣激波在相交、折射后入射至對側機翼喉部，將對側機翼背風面壓力提升至與迎風面接近的水平，從而基本消除了雙翼的零升波阻。隨后，環形翼、半環翼、傘形翼［6-9］等多種基于旋成體機身的消波構型被提出。崔凱等［10-11］在2013 年提出一種高壓捕獲翼構型，該構型將半環形機翼布置于半錐形機身上方，利用機翼“捕獲”機身產生的激波，從而獲得較高的升力與升阻比。Zhai等［12］在2017 年提出了一種消波構型，其流場相當于半個Busemann 雙翼。他們在三角形翼型的主翼上方布置一個薄板，將主翼前緣激波反射至后方膨脹區，消除激波阻力。Hood 等［13］、徐藝哲等［14］分別提出一種將Busemann 雙翼構型機身垂直布置于機翼下方的高升阻比飛行器設計方案，在消除機身波阻的同時，利用機身產生的激波對上方升力面增升。

在上述高升阻比構型的設計中，現有設計方法多根據無黏二維流場或軸對稱流場的激波-膨脹波關系計算飛行器的設計參數。然而，實用高超聲速飛行器往往具有大后掠角、大根梢比、小展弦比，導致其流場存在較強的三維效應，流場的波系形態相比二維或軸對稱情形存在顯著差異。三維效應對流場的影響 在Maruyama 等［15］對三維Busemann 雙翼的研究、徐藝哲等［14］的研究中均有較明顯的體現。此外，由于空氣具有黏性，邊界層的排移作用［16］和邊界層內的低馬赫數區也會使流場波系形態偏離無黏設計情形。上述兩方面因素，導致現有方法設計的高升阻比布局的實際氣動特性相比于二維無黏設計情形發生退化。

為解決黏性流動中三維高升阻比構型的設計問題，本文提出一種流場波系引導的優化設計方法，并基于一種采用消波設計的消波翼構型，對設計方法進行應用、驗證。通過將優化后三維消波翼的流場、氣動性能與初始構型進行對比，證明優化設計方法的有效性；通過將優化后三維消波翼的性能與菱形翼進行對比，證明消波翼相比于常規構型在真實三維有黏情形下具有升阻比優勢。

1 二維無黏消波翼設計方法

1.1 消波翼原理

消波翼的基本原理與Zhai 等［12］提出的“新的超聲速雙翼”一致。其流場結構相當于半個Busemann 雙翼，但相比于文獻［12］中的無厚度薄板上翼采用了三角形翼型的有厚度上翼。圖1 展示了0°攻角下消波翼的流場示意圖。其中，c、θ分別為主翼的弦長、前緣楔角；上翼弦長為c/2；sw1、sw2為前緣激波、反射激波；β1、β2為相應的激波角。前緣激波sw1與上翼相交于前緣點B(xu，yu)，反射激波sw2與主翼相交于喉部C(xt，yt)。由于反射激波sw2對氣流的減速增壓作用，主翼背風面膨脹區（4 區）的壓力被提升至與迎風面（2 區）接近的水平，從而基本消除了主翼前后壓差所導致的激波阻力。此外，3 區氣流在經過2 道激波的增壓作用后具有很高的壓力，對上翼產生顯著的增升作用，與4 區壓力上升引起的負升力抵消。各區域壓力存在量級關系P2～P4，P3-P2～2(P3-P1)。上述關系在小擾動假設下（θ充分小、來流馬赫數充分大）精確成立。這表明，消波翼付出短弦長、薄厚度的上翼的阻力作為代價，卻獲得了大厚度、大弦長的主翼的容積與升力系數。

圖1 攻角AoA=0°下消波翼流場示意圖Fig.1 Flow field around a wave cancellation biplane at AoA=0°

根據圖1 中激波關系，1、2 區的馬赫數Ma1、Ma2與激波角β1、β2可通過式（1）～式（3）計算，消波翼的幾何參數可通過式（4）～式（7）計算

1.2 消波翼在無黏流動中的氣動性能

圖2 展示了基于上述方法所設計的設計馬赫數MaD=3、設計攻角AoAD=0°的消波翼的幾何外形及其無黏流場的壓力p、馬赫數云圖。圖中流場的波系結構與圖1 中設計流場吻合良好。在該算例中，主翼、上翼的相對厚度分別為0.070、0.035。為驗證消波翼的升阻力性能優勢，將消波翼在不同攻角（AoA）下的升力系數（CL）、升阻比（L/D）與單菱形翼、雙菱形翼進行對比，如圖3 所示。其中，單菱形翼與消波翼的主翼具有相同的弦長與厚度；雙菱形翼包含2 個分別與消波翼的主翼、上翼等弦長等厚度的大、小2個菱形翼。3 種構型均以消波翼的主翼弦長作為參考長度。計算雙菱形翼的升阻比時，分別獨立計算兩菱形翼的性能，如圖4 所示，再將兩者的升力系數、阻力系數分別相加，計算總的升力系數、阻力系數與升阻比。消波翼、雙菱形翼、單菱形翼的最大升阻比分別為12.53、8.04、7.03，前者分別超出后兩者55.8%、78.2%。

圖2 MaD=3、AoAD=0°的消波翼在設計工況的流場壓力、馬赫數云圖Fig.2 Flow field pressure and Mach number contour maps of wave cancellation biplane with MaD=3 and AoAD=0°

圖3 AoAD=0°的消波翼，AoAD=3°的消波翼、菱形翼、雙菱形翼的無黏升力系數、升阻比對比Fig.3 Comparison of inviscid CL and L/D of a wave cancellation biplanes with AoAD=0°，a wave cancellation biplane with AoAD=3°，a diamond airfoil，and a pair of diamond airfoils

圖4 兩菱形翼在Ma=3、AoA=3°工況的壓力云圖Fig.4 Flow field pressure contour maps for two diamond airfoils at Ma=3，AoA=3°

1.3 考慮設計攻角的消波翼設計方法

當存在正設計攻角AoAD=α時，消波翼的設計流場示意圖如圖5 所示。根據激波關系，考慮設計攻角的消波翼的幾何參數可由式（8）～（10）代替式（1）、式（6）、式（7）計算獲得

圖5 消波翼在正攻角下設計流場示意圖Fig.5 Flow field around a wave cancellation biplane with a positive AoAD

在小擾動假設下，圖5 中流場各區域的壓力系數存在如下關系：

通過式（11）～式（13）可推得消波翼在正攻角α下的升力系數為

這與超聲速薄翼理論中單翼的升力系數一致。通過圖3（a）可以看到，消波翼在各攻角下的升力系數與單菱形翼較為接近，與上述理論分析吻合。

圖6 展示了3°攻角下消波翼在無黏流動中的壓力云圖，其中消波翼分別按照未考慮攻角與考慮攻角設計。前者的流場相比于圖1 中設計流場出現少許偏差：主翼前緣激波較上翼前緣偏前；反射激波與主翼交點位置較主翼喉部偏后，導致反射激波與喉部間出現一段低壓區，并向下游傳播?？紤]設計攻角后，上翼、主翼間距較不考慮設計攻角的情形有少許增加，攻角引起的流場波系形態偏差量被完全消除?？紤]3°設計攻角的消波翼（圖3（b）中綠線）的最大升阻比為13.06，較未考慮設計攻角的情形提高4.3%，相比于雙菱形翼、單菱形翼分別提高62.4%、85.8%。

圖6 AoAD=0°、AoAD=3°的消波翼在Ma=3、AoA=3°工況的無黏流場壓力云圖對比Fig.6 Comparison of inviscid flow field pressure contour maps at Ma=3，AoA=3° of wave cancellation biplanes with AoAD=0° and AoAD=3°

2 計算流體力學仿真方法驗證

本文采用雷諾平均Navier-Stokes（RANS）方法計算黏性流動中飛行器的流場與氣動性能。在計算過程中，采用隱式時間推進與HLLC（Harten-Lax-van Leer-Contact）格式的黎曼求解器。湍流模型采用Menter's SST（Shear Stress Transport）兩方程模型［17］。無黏通量空間離散時，前200 步采用一階迎風格式，隨后轉為帶TVD（Total Variation Diminishing）連續通量限制器的2階迎風格式。

Herrmann 和Koschel［18］、Reinartz 等19］針 對一種典型的二元超音速混合壓縮進氣道模型開展了一系列風洞試驗，獲得了清晰的紋影圖像和壁面壓力分布數據。該模型由外壓區域、內壓區域、隔離段、膨脹區組成，幾何外形、主要參數如圖7［19］、表1 所示，其已被廣泛應用于包含內流特征的超聲速飛行器的數值方法驗證。本文對該模型進行仿真，以驗證數值方法對超聲速流場波系結構的捕捉能力。該算例采用的結構網格如圖8 所示。其網格量為2.0×105，壁面處第1 層網格高度為2×10-6以保證y+＜1。

表1 進氣道模型的幾何參數Table 1 Geometric parameters of supersonic inlet isolator

圖7 超聲速混合壓縮進氣道模型［19］Fig.7 Supersonic inlet isolator［19］

圖8 混合壓縮超聲速進氣道算例的網格Fig.8 Mesh for supersonic inlet isolator case

圖9、圖10 分別展示了來流馬赫數Ma=2.41、單位雷諾數Re=5.07×107m-1、攻 角AoA=-10°工況下，CFD 計算得到的流場密度云圖與實驗拍攝的紋影圖像。圖11 展示了CFD計算與實驗測得的進氣道上、下壁面壓力分布，其中Pt為來流總壓。CFD 計算流場的波系形態與紋影圖像基本一致，壁面壓力分布與實驗結果吻合較好，證明了本文采用的CFD 方法在計算復雜超聲速流場波系時的有效性。

圖9 CFD 計算獲得進氣道流場密度云圖Fig.9 Flow field density contour map of supersonic inlet isolator obtained by CFD

圖10 風洞實驗拍攝的進氣道紋影圖像［19］Fig.10 Schlieren image of supersonic inlet isolator［19］

圖11 CFD 計算的進氣道壁面壓力分布與實驗結果對比Fig.11 Comparison of supersonic inlet isolator's wall pressure distributions obtained by CFD and wind tunnel experiment

3 黏性效應和三維效應的影響

3.1 空氣黏性對消波翼流場的影響

圖12 展示了基于無黏方法設計的MaD=3的消波翼在黏性流動中的流場壓力、馬赫數云圖。其中，來流壓力為1 200 Pa、溫度為224 K、主翼前緣楔角為8°。由于黏性的影響，飛行器表面形成具有顯著速度梯度的邊界層。邊界層對流場產生2 方面影響：一方面，由于邊界層的排移作用，主翼等效外形厚度與主翼前緣激波角增大，導致主翼前緣激波抬升、偏離上翼前緣，使上翼無法充分利用主翼激波的增升作用；另一方面，由于邊界層內存在馬赫數梯度，反射激波在主翼邊界層內顯著彎曲，導致反射激波與主翼交點的位置移動至主翼喉部的前方。此時，搭接點與主翼喉部間出現高壓區，增大了主翼的壓差阻力，如圖12（a）所示。

3.2 三維效應對消波翼流場的影響

圖13 展示了根據1.3 節中二維無黏設計方法所設計的三維消波翼構型。其展長b=2 m、梢根比為0.5、AoAD=4°、MaD=5。主翼根弦長為5.6 m、前緣楔角為8°、展弦比為10/21、前緣后掠角為60°。上翼弦長為主翼的1/2、前緣楔角為3°。在翼根、翼梢截面內，上翼、主翼的相對位置根據式（2）～式（5）、式（8）～式（10）計算，隨后基于翼根、翼梢處翼型放樣出整個機翼。其不同展向位置的上翼前緣點坐標在表2中列出。參考Maruyama 等［15］對三維Busemann雙翼的研究，在翼梢處布置薄端板以抑制展向流動。

表2 基于二維設計方法設計的三維消波翼的幾何參數Table 2 Geometric parameters of 3D wave cancellation biplane designed by using 2D design method

圖13 基于二維方法設計的三維消波翼幾何外形Fig.13 Geometry of a 3D wave cancellation biplane designed by using the 2D design method

圖14 展示了該構型在設計工況下的無黏流場壓力云圖，來流壓力1 200 Pa。在翼根附近區域，流場的三維效應較弱，波系形態與圖2 中二維情形下的設計波系形態較為接近，僅主翼前緣激波略低于上翼。但在25%b、50%b、75%b位置，三維消波翼的波系形態相比二維情形出現較明顯的差異。一方面，主翼前緣激波高于上翼前緣；另一方面，反射激波與主翼的交點位于主翼喉部的后方，導致交點與喉部之間出現低壓區，并向下游傳播。

圖14 基于二維方法設計的三維消波翼的流場壓力云圖Fig.14 Flow field pressure contour maps of 3D wave cancellation biplane designed by using 2D design method

4 流場波系引導的優化設計方法

為解決黏性流動中三維消波翼的設計問題，提出一種流場波系形態引導的優化設計方法。不同于以升阻比為優化目標、基于啟發類算法或梯度類算法的傳統優化設計方法，該方法以設計流場的波系形態作為目標，在優化過程中提取關鍵流場信息，根據實際流場波系形態與目標波系形態的偏差引導幾何參數的優化方向。

4.1 目標波系形態

在三維消波翼的優化設計中，優化目標就是通過調節消波翼的幾何參數，令主翼前緣激波準確搭接至上翼前緣，令反射激波與主翼準確相交于喉部，從而使流場波系形態達到圖5 中消波翼的設計波系形態，消除波系形態偏差及相應的氣動性能損失。

4.2 優化設計流程

圖15 展示了設計方法的主要框架。①根據輸入的初始設計參數進行飛行器幾何外形與網格的自動生成；②通過CFD 計算獲取當前構型在設計工況下的流場；③從流場中提取所需信息，判斷實際流場波系形態與目標波系形態的偏差；④根據波系形態的具體偏差，調整飛行器的設計參數，并將修改后的設計參數作為輸入，進入新一輪迭代。重復上述過程，直至實際波系形態達到設計波系形態，設計參數收斂。

圖15 流場波系引導的優化設計方法的框架Fig.15 Framework of the optimization design method derived by shock-wave morphology

4.3 待優化參數

在優化設計過程中，沿消波翼的展向均布多個優化控制截面，如圖16 所示。待優化參數為各控制截面中上翼的流向與法向位置，通過上翼前緣點坐標(xu，yu)定義。

圖16 優化控制截面示意圖Fig.16 Schematic diagram of optimization control sections

4.4 網格自動生成

優化過程中，CFD 計算所需網格為Ansys ICEM 19.0 生成的結構網格，生成過程通過腳本自動完成。自動生成的表面網格與橫截面網格在圖17 中展示。其中，網格量為1.6×107，壁面處第一層網格高度為2×10-6以保證y+＜1，上翼、主翼前緣與主翼喉部處網格的流向長度加密至1×10-4。

圖17 自動生成的消波翼結構網格Fig.17 Automatically generated structural mesh for 3D wave cancellation biplane

4.5 流場信息提取與波系形態判斷

在優化過程中，需要關注的流場特征包括反射激波-主翼交點的位置和主翼前緣激波的形狀。為確定上述特征，在每輪迭代中完成當前構型的CFD 計算后，提取主翼喉部前、后壁面附近的速度Ut1、Ut2與壓力Pt1、Pt2。此外，提取主翼前緣與上翼前緣之間相隔一定距離的流向位置xsw1、xsw2處壓力梯度最大點的法向坐標ysw1、ysw2，如圖18所示。

圖18 優化過程中提取的流場信息Fig.18 Extracted flow field information during the optimization process

在各展向位置的控制截面內，主翼的前緣激波形狀接近線性。因 此，根 據(xsw1，ysw1)、(xsw2，ysw2)兩點所在直線，就能夠確定主翼前緣激波的形狀。

反射激波-主翼交點與主翼喉部的相對位置可以根據Pt1/P∞、Pt2/P∞的大小與Ut1、Ut2的符號判斷。當反射激波-主翼交點與喉部距離較遠時，若交點位于喉部前方，則Pt1較大，如圖19（a）所示；若交點位于喉部后方，則Pt2較小，如圖19（b）所示。當反射激波-主翼交點與喉部距離較近時，由于邊界層內存在亞聲速區，壓力能夠向上游傳播，Pt1與Pt2較為接近。此時，可借助激波誘導邊界層分離現象判斷反射激波-主翼交點與主翼喉部的相對位置。由于喉部向斜后方發射一系列膨脹波，因此喉部附近存在較強的順壓梯度。與之相反，激波-壁面交點處的邊界層內存在較強的逆壓梯度。當激波-壁面交點與主翼喉部距離較近時，兩者之間形成穩定的分離泡，如圖19（c）、圖19（d）所示。若交點位于喉部前方，則Ut1＜0；若交點位于喉部后方，則Ut2＜0。

圖19 反射激波與主翼交點偏離喉部時喉部附近流場壓力云圖Fig.19 Flow field pressure contour maps near the throat when the intersection point of the reflected shock wave and the main wing deviates from the throat

4.6 幾何參數調整

根據上述流場信息，就可以判斷流場波系形態的關鍵特征，指導待優化設計參數(xu，yu)的優化方向。首先調整上翼流向位置xu。若反射激波-主翼交點位于主翼喉部前方，則增大xu；反之，則減小xu。然后調整上翼法向位置yu，保證上翼前緣點位于主翼前緣激波上。

上述過程的數學表達如圖20 所示。其中，下標i代表第i輪迭代。flgi為上翼流向位置xu調整方向的記號。stpi為xu調整時的幅值，隨著優化的推進逐漸減小，直至優化收斂。y=sw(x)為主翼前緣激波的形狀函數，計算公式為

圖20 幾何參數調整Fig.20 Adjustment of geometric parameters

5 優化設計結果與分析

以MaD=5、AoAD=4°的三維消波翼為例，對本文提出的優化設計方法進行驗證。初始構型為3.2 節給出的根據二維無黏方法設計的三維消波翼，其幾何外形在圖13 中展示，初始設計參數在表2 中列出。設計工況來流壓力1 200 Pa、溫度224 K。在優化過程中，主翼的幾何外形與上翼的翼型保持不變。

5.1 基于2 個控制截面的優化設計結果

圖21 展示了基于2 個控制截面的優化設計（以下簡稱“2 截面優化構型”）結果。優化控制截面分別位于翼根，以及距離翼梢25%b位置，如圖16（a）所示。根據2 個控制截面內上翼與主翼的相對位置，令上翼前緣在整個展長范圍內呈線性分布，從而確定優化構型的上翼外形。優化構型在控制截面內的上翼設計參數見表3。與初始構型相比，2 截面優化構型在翼根處的上、下翼間距小幅下降，在翼梢處的上下機翼間距顯著增加，且翼梢處的上翼流向位置顯著前移，使上翼的1/2 弦線從后掠變為前掠。

表3 2 截面優化構型的主要設計參數Table 3 Design Parameters of optimal configuration with 2 control sections

圖21 2 截面優化構型三視圖Fig.21 Geometry of optimal configuration with 2 control sections

圖22 展示了設計工況下2 截面優化構型在0%b、25%b、50%b、75%b位置的流場壓力云圖。在控制截面對應的0%b、75%b位置，流場波系形態優化至與圖1 中設計波系形態一致，證明了優化設計方法的有效性。但在25%b、50%b位置，流場波系形態與設計波系形態仍存在一定偏差，主翼前緣激波高于上翼前緣。這表明在大后掠角、小梢根比的三維消波翼中，三維效應對翼根到翼梢間流場的影響是非線性的。將翼根、翼梢2 處流場優化至設計波系形態無法保證根、梢間全展長范圍的流場達到設計狀態，需要在展向設置多個控制截面開展優化設計。

圖22 2 截面優化構型在設計工況下的流場壓力云圖Fig.22 Flow field pressure contour maps of optimal configuration with 2 control sections

5.2 基于4 個控制截面的優化設計結果

圖23 展示了基于4 個控制截面的優化設計（以下簡稱“4 截面優化構型”）結果。優化構型在控制截面內的上翼設計參數見表4。與初始構型相比，4 截面優化構型的上翼前緣呈現顯著的拐折。上翼前緣線與1/2 弦線在翼根附近前掠，在其余區域后掠。相比于初始構型，4 截面優化構型的上翼位置在25%b、50%b、75%b處前移，與主翼的間距增大；在翼根處則呈現相反的趨勢，上翼位置小幅后移，與主翼的間距略有減小。上述結果再一次證明三維效應對翼根至翼梢之間的流場區域的影響存在顯著的非線性。

表4 4 截面優化構型的主要設計參數Table 4 Design Parameters of optimal configuration with 4 control sections

圖23 4 截面優化構型三視圖Fig.23 Geometry of optimal configuration with 4 control sections

圖24、圖25 分別展示了4 截面優化構型在設計工況下的壓力、馬赫數云圖。相比于2 截面優化構型，4 截面優化構型在整個展長范圍內的流場波系形態均達到圖1 中設計波系的形態。主翼前緣激波均與上翼前緣搭接并發生反射。反射激波在邊界層中彎曲，與主翼相交于喉部位置，增大了主翼背風面的壓力，從而起到消波減阻的作用。

圖24 4 截面優化構型在設計工況的流場壓力云圖Fig.24 Flow field pressure contour maps of the optimal configuration with 4 control sections

圖25 4 截面優化構型在設計工況的流場馬赫數云圖Fig.25 Flow field Mach number contour maps of the optimal configuration with 4 control sections

圖26 展示了2 截面優化構型、4 截面優化構型的升力、阻力性能對比，并與根據二維無黏方法設計的初始構型及菱形翼進行比較。其中，菱形翼與消波翼的主翼具有完全相同的平面形狀、厚度和容積。從圖中可以看到，消波翼的初始構型與2 種優化構型的升力線基本重合，升力線斜率與具有相同平面形狀的菱形翼接近，但0°攻角的升力系數略高于菱形翼。這與1.2 節中對二維消波翼的分析一致。

圖26 初始構型、2 截面優化構型、4 截面優化構型、菱形翼的升、阻力性能對比Fig.26 Comparison of lift and drag performance between the original configuration，optimal configurations with 2 control sections and 4 control sections，and a diamond wing

表5 列出上述4 種機翼的最大升阻比及對應的攻角。相比于菱形翼，4 截面優化構型的最大升阻比高出1.43，超過前者27.08%，并且在0°～8°攻角范圍內的升阻比均高于前者，表明在真實的三維有黏情形下，消波翼相比于傳統構型依然具有顯著的升阻比優勢。2 截面優化構型與4 截面優化構型的最大升阻比相比于初始構型分別高出0.14、0.29，超過初始構型2.18%、4.52%，表明本文提出的流場波系引導的優化設計方法是有效的，并且對流場波系形態的改善直接反應在飛行器氣動性能的提升上。基于多控制截面的優化構型在整個展長范圍的流場波系形態均優化至設計波系形態，故其升阻比提升幅度相比于2 截面優化構型更高。

表5 4 種構型的最大升阻比及最大升阻比對應攻角Table 5 Maximum lift-to-drag ratios and corresponding angles of attack for the four configurations

5.3 計算資源與優化效率

在上述兩優化設計示例中，2 截面優化構型經過13 輪迭代后收斂，4 截面優化構型經過16 輪迭代后收斂。

本文提出的流場波系引導的優化設計方法本質上是根據對流場的認識和當前構型的流場信息，對構型不斷改進。在優化過程中，通常僅需開展10～20 次CFD 計算。相比于往往需要開展上百次CFD 計算的差分進化、模擬退火等啟發類算法，本文提出的優化設計方法顯著降低了對計算資源的需求，具有較高的效率。上述三維消波翼優化設計示例基于英特爾40 核2.4 GHz 的工作站開展，從二維無黏方法設計的初始構型出發，經過約80 h 得到最終設計構型。

6 結論

1）針對三維高超聲速高升阻比構型的設計問題，提出一種流場波系引導的優化設計方法。不同于氣動性能導向的傳統方法，該方法將設計流場的波系形態作為目標引導飛行器幾何參數的優化方向，具有較高的效率。在Ma=5、AoAD=4°的三維消波翼優化設計示例中，從二維無黏方法設計的初始構型出發，經過10～20 輪迭代后可收斂至最終設計構型。

2）提出的優化設計方法具有較好的優化效果。4 截面的優化構型在翼根至翼梢范圍內的波系形態均優化至設計波系形態。2 截面優化構型、4 截面優化構型的最大升阻比分別超過初始構型2.18%、4.52%。

3）通過消波減阻設計，消波翼在設計馬赫數下具有較高的升阻比。4 截面優化構型獲得的三維消波翼在設計工況各攻角下的升阻比均優于與主翼具有相同平面形狀、厚度、容積的菱形翼。前者的最大升阻比超過后者27.08%。

4）本文提出的優化設計方法的應用前提，是對當前氣動問題的流場具有足夠的認識。其適用于原理較為清晰且需要對波系結構精心配置的超聲速構型的設計，例如消波翼、Busemann 雙翼、高壓捕獲翼、超聲速進氣道等。