基于剛柔耦合的PCB鉆床下鉆機構的振動分析與研究

張冬冬，韓雪

(1.南京林業大學工程培訓中心，江蘇南京 210037；2.皖江工學院土木工程學院，安徽馬鞍山 243031)

0 前言

PCB板鉆孔逐漸向著多層、高密度、細微化的方向發展。尤其是多層PCB板的應用越來越廣泛，對多層板孔的加工質量要求越來越高，多層PCB板層數最多可達52～60層[1]。目前，10層以下的PCB板鉆孔精度有很大提高，但10層以上的多層PCB板孔的加工精度仍然有很多不足。隨著PCB板層數的增加，孔的加工精度逐步降低。而目前對于高密度多層PCB板不同層數間的孔對位精度要求較高，一般要求孔的層間錯位控制在25 μm 以內[2]，所以在PCB板機械鉆孔領域，如何提高多層板鉆孔精度是目前PCB板鉆孔領域備受關注的課題。

PCB鉆床主軸系統的研究已經有了一定的進展，如吉林大學的瑪嘎拉[3]利用有限元方法建立轉子動力學模型，分析了鉆頭鉆孔時影響彎曲變形的因素。裴永臣[4]結合振動鉆孔特點，建立主軸系統振動鉆削轉子動力學模型，給出振動鉆削主軸系統動力學性能評價指標。EMA和MARUI[5]對深孔鉆削加工過程中切削系統的顫振問題進行了理論分析。KOSMOWSKI 和WELLS[6]提出一種評價印刷電路板用鉆頭加工鉆孔過程中受振動情況的測量系統，但對于PCB鉆床下鉆機構主軸系統的剛柔耦合效應未充分考慮，對引起鉆頭振動的柔性振動的研究較少，而主軸系統的柔性振動是引起鉆頭振動的重要因素之一。

剛柔耦合動力學在柔性機械臂領域的研究比較廣泛，主要利用廣義拉格朗日方法和模態假設法建立多自由度剛柔耦合機械臂的動力學方程[7-11]。如余峰、陳新元[12]針對N自由度柔性機械臂，提出了一種建立剛柔耦合動力學方程的通用方法。趙亮[13]針對帶有末端執行器的柔性機械臂，導出其剛柔耦合動力學方程，并分析了機械臂在不同運動狀態下的動力學響應。混合坐標方法在建立剛柔耦合動力學方程時得到了廣泛應用[14-19]。王佰超等[20]利用集中質量法建立了半球型錐齒輪副的動力學模型，并分析了其動態傳動性能。王博洋等[21]基于小變形假設，利用浮動坐標法，采用多體系統動力學單向遞推組集方法，建立了啞鈴型航天器的剛-柔耦合動力學模型。然而這些研究中并未對剛柔耦合機械臂或柔性梁帶有復雜的平移運動和轉動驅動狀態下的動力學狀態進行分析。在PCB鉆孔領域，鉆床下鉆機構的主軸系統在剛柔耦合狀態下的動力學分析與研究還不多，對于下鉆機構主軸系統需要考慮其下鉆時豎直方向上的下鉆運動以及柔性梁主軸柔性振動引起的轉動，并考慮其剛性梁和柔性梁的耦合。本文作者針對影響加工多層PCB鉆孔精度的主要因素進行分析，考慮下鉆機構主軸系統剛柔耦合效應對鉆孔振動的影響，建立主軸系統的剛柔耦合動力學方程，并進行分析；找出影響下鉆機構主軸系統柔性振動的因素，改善其動力學特性，提高多層PCB板的鉆孔精度。

1 影響下鉆機構鉆孔精度的因素分析

PCB鉆床下鉆機構主軸系統對孔位精度有著重要影響。由于鉆頭細長，并且電主軸轉速較高、加工的孔徑小等特點，所以對鉆孔機構的下鉆精度要求較高。而目前PCB鉆床機械鉆孔的質量問題主要體現在以下3個方面：(1)位移偏差，產生孔位偏移，對位失準。這主要是滑板X方向和工作臺Y方向的定位誤差以及鉆孔機構安裝誤差引起孔位軸線與鉆頭主軸的偏移，偏移量為s，如圖1所示；(2)角度偏差，產生孔位歪斜。對于多層PCB板通孔加工來說，底層板偏差較大。角度偏差產生原因包括：鉆孔機構安裝角度偏差以及主軸系統剛性不足引起的偏差角α，鉆孔過程中的鉆頭剛性不足引起的鉆孔偏差角β。其中角度偏差α越大，鉆頭在下鉆過程中產生的附加彎矩也越大，鉆頭彎曲產生角度β也越大；(3)振動誤差。孔的特點表現為孔壁粗糙、毛刺過大、孔形圓度失真以及孔徑失真。這主要與下鉆機構中的調心聯軸器有關，調心聯軸器中的調心軸產生的柔性變形引起柔性振動偏差。該柔性偏差對于多層PCB板中底層板孔的質量產生的影響較大。PCB板層數越多，振動偏差也越大，甚至出現鉆頭折斷。如何提高鉆孔機構動態特性、減小柔性振動誤差是提高多層PCB板鉆孔精度和質量的重要因素。

圖1 主軸部分鉆孔示意

2 剛柔耦合下鉆機構主軸系統動力學模型

2.1 鉆孔機構結構模型

下鉆機構主軸系統的主要結構如圖2所示。直線電機連接板由直線電機驅動，帶動主軸系統沿著導軌方向實現上下的直線運動，從而帶動鉆頭完成鉆孔。連接座固定在連接板上，調心聯軸器連接著連接座和電主軸部分，該裝置主要實現對主軸部分的調心，配合空氣靜壓軸承對電主軸部分實現調心與固定。調心聯軸器為主軸系統重要的核心裝置，其動態特性與下鉆機構主軸系統鉆孔精度有直接關系。

圖2 下鉆機構主軸系統結構

圖3 調心聯軸器結構

2.2 下鉆機構主軸系統模型分析

為方便動力學建模與分析，將下鉆機構主軸系統簡化為二維模型，如圖4所示。對于主軸系統中的調心聯軸器，其結構中的調心軸屬于細長桿且剛性較差，而調心軸的柔性變形對主軸部分動態特性影響較大，所以在動力學建模過程中其柔性變形不能忽略。將其視為柔性體，其余部分將視為剛體。

圖4 主軸系統剛柔耦合分析模型

調心聯軸器中將球面上端蓋、保持架、支撐套和外套筒等部分視為整體，該部分和連接座以及電機連接板形成固定聯接，直線電機連接板和導軌、滑塊形成剛性滑移系統，在滑移系統滑移起始位置建立慣性坐標系O-XY。調心聯軸器中調心軸和上端蓋為球鉸聯接，調心軸嵌套在彈性套上，受到其彈性力和阻尼力的影響，將彈性套簡化為彈性阻尼系統，其剛度系數和阻尼系數表示為k1和c1。調心軸下端和電主軸相連，電主軸受到空氣靜壓軸承支撐，軸承受彈性力和阻尼力影響，將軸承簡化為彈性阻尼系統，剛度系數和阻尼系數表示為k2和c2。調心聯軸器上端蓋固聯部分和連接座以及電機連接板組成的剛性部分視為剛性梁，質量為m1，其長度為l1，滑移系統在驅動力作用下的位移為x；調心軸視為均質同向柔性梁，其長度為l2，線密度為ρ，質量為m2；柔性調心軸和剛性部分之間的夾角為偏差角θ1。調心軸軸端和電主軸軸線夾角為θ2，電主軸由于安裝偏差，其軸線與豎直方向形成的夾角為偏差角α，電主軸部分長度為l3，質量為m3；系統重力為G。

2.3 鉆孔機構剛柔耦合動力學方程建立

將柔性調心軸視為歐拉-伯努利梁，建立鉆孔機構的剛柔耦合動力學方程，在剛性梁端部和柔性梁聯接處建立局部坐標系o1-x2y2；位置向量r1為指向剛性梁端部向量，r2為指向柔性調心軸末端o2的向量，r3為指向電主軸軸端的向量。在驅動力作用下調心軸軸端處的柔性位移表示為v。文中只考慮在XY平面內的橫向位移。在描述柔性調心軸位移時選擇更加符合梁軸柔性彎曲理論的表述方法[23]，向量r1、r2和r3在慣性坐標系內表述如下：

(1)

(2)

(3)

重力向量表示為：GT=[Gcosα0]。

考慮到調心聯軸器中調心軸末端彈性變形引起的微小柔性位移v，系統動能T和勢能V表示如下：

(4)

(5)

在鉆孔系統動能表達式中柔性調心軸的動能表達式比較復雜，表示如下：

(6)

為充分考慮調心軸的柔性，連續的柔性位移被離散為有限序列，即

(7)

式中：φi(i=1,2…,S)為模態形函數；qi(t)為模態坐標。軸端模態形函數定義為φl，以式(6)為基礎，調心軸柔性動態方程是模態坐標變分的系數，得到：

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(8)

如果考慮N階模態，則出現N個獨立方程。

系統中廣義力包括鉆孔機構下鉆引起的軸向力f以及彈性套和電主軸空氣軸承引起的力矩τ1和τ2。

(9)

(10)

推導鉆孔機構系統的動力學方程依據如下哈密爾頓原理：

(11)

根據公式(1)—(11)推導整個系統的動力學表達式，由于廣義坐標變分的任意性，根據坐標變分δx、δθ1、δθ2系數項推導整個系統剛柔耦合動力學方程如下：

(12)

(13)

(14)

3 下鉆機構主軸系統的動力學數值分析

鉆孔機構下鉆完成主要由直線電機驅動，帶動直線電機連接板沿導軌方向上下運動實現鉆孔。鉆孔機構模型各個結構參數如表1所示。由于電主軸轉速高，鉆頭受到的切削力較小，所以鉆孔時主軸系統受到的軸向力f也較小，鉆孔軸向力的變化不大，平均值大約為5 N，方向豎直向上[3]。

表1 下鉆機構主軸系統結構參數

根據鉆孔機構在鉆孔過程中對直線電機運動的數據監測，得到下鉆時Y方向上的位移變化曲線，該曲線作為下鉆系統的輸入曲線。完成鉆孔所需時間為0.6 s，如圖5所示。

圖5 下鉆機構輸入曲線

考慮到調心軸偏差角和調心軸柔性狀態的耦合，動力學方程結構較為復雜。根據下鉆機構的外部輸入曲線數據，將下鉆機構輸入曲線數據代入公式進行仿真計算，得出調心軸偏差角θ1和調心軸軸端與電主軸軸線夾角θ2的變化曲線，如圖6所示。可知：θ1和θ2的變化規律與下鉆機構輸入曲線形狀大致相似，不同的是角度變化中有振動偏差。角度變化包括大范圍剛性運動引起的角度變化和調心軸柔性振動引起的角度振動誤差。θ2的剛性運動引起的角度變化量大于θ1的角度變化量，而柔性振動引起的振動誤差變化使得θ1的柔性誤差略大于θ2。

圖6 下鉆過程中角位移變化

由于調心軸的柔性振動引起軸端微小位移偏差，其振動如圖7所示。在鉆孔過程中，下鉆開始階段柔性振動較小，隨著鉆孔的深入，其柔性振動越來越大，當PCB板鉆孔最深處時，其振動達到最大值，鉆頭退出時，調心軸振動隨之減小。所以在進行多層PCB板鉆孔時，由于剛開始振動小，所以上層板精度較高；當加工到底層板時，調心軸振動最大，較大的調心軸振動引起鉆頭的振動較大，所以底層板孔壁質量較差。

不同調心軸剛度對調心軸軸端與電主軸的夾角θ2有一定的影響，分別取調心軸剛度系數k=1.25 kN/m和k=0.85 kN/m，通過仿真分析得到如圖8所示曲線。可知：增大調心軸剛度可以一定程度上減小θ2，主要是因為剛度增加引起調心軸柔性振動減小，從而減小θ2。

圖8 不同調心軸剛度對θ2的影響

圖9所示為考慮調心聯軸器有無彈性套阻尼情況下偏差角θ2的振動偏差，在有阻尼和無阻尼情況下，θ2大范圍的運動基本變化不大，但小范圍的角度振動有區別。有阻尼時振動幅值減小，振動減緩。所以通過增加一定的阻尼可以減小θ2的振動幅值和頻率，減緩角度振動。

圖10所示為電主軸空氣軸承不同的阻尼c2對偏差角θ2的影響。空氣軸承不同阻尼系數c2=0.8×105N·s/m和c2=3.2×105N·s/m進行對比，在主軸系統開始下鉆時，不同阻尼對偏差角θ2的影響效果并不明顯，但隨著下鉆的深入，特別是下鉆到底部時，較大的阻尼系數可以明顯減小偏差角θ2的偏差值以及振動誤差，振動曲線也趨于平緩；當下鉆結束鉆頭退出時，不同阻尼對偏差角θ2的影響不明顯。從圖10可以看出：增大電主軸阻尼雖然在起鉆和結束鉆孔時對鉆孔精度的影響不大，但對PCB底層板的孔的加工影響明顯，可以減小底層板的鉆孔偏差，提高鉆孔的孔壁質量。

圖10 不同空氣軸承阻尼對θ2的影響

4 結論

通過對影響PCB鉆床下鉆機構鉆孔精度的因素進行分析，找出了影響加工多層PCB板鉆孔偏斜和電主軸產生柔性振動的主要原因，建立了主軸系統的剛柔耦合動力學方程，并進行了分析，得到如下結論：

(1)調心聯軸器中的調心軸偏差與電主軸的安裝偏差形成的偏差角對鉆孔有一定影響，通過提高下鉆機構主軸系統的安裝精度，減小電主軸的位移偏差以及角度偏差，使得偏差角θ1減小，可以提高鉆孔孔位精度。

(2)鉆孔過程中，隨著鉆孔的深入，電主軸部分在水平方向上的柔性振動加劇，導致鉆頭鉆孔的振動也加劇，使得PCB底層板孔徑發生變化以及引起孔壁質量下降。

(3)調心軸的柔性振動對主軸系統的鉆孔穩定性有一定影響，適當增大調心軸剛度可以減小主軸系統在下鉆運動過程中的穩定性，減小偏差角θ2的振動偏差。

(4)電主軸空氣軸承的阻尼對柔性振動有一定的抑制作用，增加空氣軸承阻尼可以減小偏差角θ2的偏差值以及電主軸部分的柔性振動幅值，達到減小PCB底層板的孔位加工誤差和提高孔壁質量的目的。