圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的解題策略

高玉榮

摘 要：圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題主要是指圓錐曲線試題中直線過(guò)定點(diǎn)或者圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.本文結(jié)合具體例子給出圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的解題策略，以期為一線教師提供解題思路與方法.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定點(diǎn)問(wèn)題；直線；斜率；解題策略

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）09-0024-04

圓錐曲線中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力等.圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的題型主要有：切點(diǎn)弦問(wèn)題、斜率之和為定值問(wèn)題、斜率之積為定值問(wèn)題以及定點(diǎn)的存在性問(wèn)題.筆者對(duì)圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)解析并給出解題策略.

1 解題策略

（1）從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意.

（2）解題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)，設(shè)線，直線與圓錐曲線聯(lián)系，然后表示出直線的斜率，進(jìn)而求直線方程并證明結(jié)論等.

2 兩垂直弦的中點(diǎn)所在的直線

3 切點(diǎn)弦問(wèn)題

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l的方程是x+y-6=0，點(diǎn)M是直線l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的切線MG，MH，切點(diǎn)分別為G，H，設(shè)切線的斜率都存在，試問(wèn)：直線GH是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由[2].

（2）證明設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），M（x3，y3），直線MG的方程為y-y1=k（x-x1）.

得（9k2+1）x2+18k（y1-kx1）x+9（y1-kx1）2-9=0，

則△=18k（y1-kx1）2-4（9k2+1）9（y1-kx1）2-9=0，

化簡(jiǎn)得（y1-kx1）2=9k2+1，

所以（x21-9）k2-2x1y1k+y21-1=0，

同理可得，直線MH方程為x2x+9y2y=9.

所以直線GH方程為x3x+9y3y=9.

又x3+y3-6=0，所以直線GH方程為6x-9+（9y-x）y3=0，

利用切點(diǎn)弦的結(jié)論，快速解決下面的例3.

證明 由題意得Ax0+By0+C=0，①

將①代入②消去x0得 （Aa2y-Bb2x）y0=a2b2+Cb2x，

4 斜率之積為定值

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)P為雙曲線的左頂點(diǎn)，直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率不為0，l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線m過(guò)x軸上一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），且與直線l的傾斜角互補(bǔ)，m與直線PA，PB分別交于M，N（M，N不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，若直線OM，ON的斜率之積為定值，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解 （1）略.

因?yàn)橹本€m過(guò)x軸上一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），且與直線l的傾斜角互補(bǔ)，所以km=-kl，即kMQ=-kOA，

整理可得（t+1）2-c（t-1）2y20+c（2t-1）=0，其中t≠1.

（方法2）設(shè)線[4].設(shè)A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），Q（t，0），由（1）知P（-1，0），

得（k2-1）x2+2k2x+k2+1=0，

因?yàn)橹本€OM，ON的斜率之積為定值，設(shè)定值為c，

5 定點(diǎn)的存在性問(wèn)題

（1）求證：k1k2=1；

（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，作OP⊥MN，垂足為P.是否存在定點(diǎn)Q，使PQ為定值？

化簡(jiǎn)得4-r2k2-8k+4-r2=0，

所以k1和k2是方程4-r2k2-8k+4-r2=0的兩根，由韋達(dá)定理知，k1k2=1.

（2）設(shè)點(diǎn)Mx1，y1，Nx2，y2，

所以直線MN的方程為

如圖1，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性[5]可知，直線MN必過(guò)軸上一定點(diǎn)Ex0，0

化簡(jiǎn)得40+12x0k2+3x0+10=0

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題的求解策略：

（1）對(duì)于定點(diǎn)、定值問(wèn)題，可考慮能否用特殊點(diǎn)或特殊值求得定點(diǎn)或定值，再把結(jié)論推廣到一般結(jié)論；

（2）運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法進(jìn)行解答，一般步驟：①選擇適當(dāng)?shù)淖兞浚虎诎岩C明的定點(diǎn)、定值的量表示為上述變量的函數(shù)或方程；③把定點(diǎn)、定值的量化成與變量無(wú)關(guān)的結(jié)構(gòu)形式，從而加以判定或證明.

6 結(jié)束語(yǔ)

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題是高考的難題，令很多考生望而生畏.破解圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的策略主要是通法（即設(shè)點(diǎn)、設(shè)線、聯(lián)立、韋達(dá)等），只不過(guò)還需要熟悉一些常用的結(jié)論，比如切點(diǎn)弦方程、兩點(diǎn)直徑圓、同構(gòu)思想、齊次化思想等.在解題時(shí)，熟悉通法與常用的數(shù)學(xué)思想最為關(guān)鍵，然后進(jìn)行分類(lèi)、總結(jié)，再加強(qiáng)訓(xùn)練，假以時(shí)日，定能提高學(xué)習(xí)效率與解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］李鴻昌.高中數(shù)學(xué)一點(diǎn)一題型（新高考版）[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022：7.

[2] 秦儉，林方.同構(gòu)思想在處理雙切線問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2022（07）：28-32.

[3] 李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2022：4.

[4] 李鴻昌.圓錐曲線中“非對(duì)稱(chēng)”問(wèn)題的成因及破解策略[J].數(shù)學(xué)通訊，2022（22）：32-35.

[5] 李鴻昌.二次曲線系在圓錐曲線四點(diǎn)共圓問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2022（07）：92-94.