函數域中差集與不可約多項式的一個注記

藺玉榮，吳家淼，李國全，許貴橋

（天津師范大學數學科學學院，天津 300387）

設N 為全體自然數的集合，記N+=N{0}，P 為全體素數的集合，記P-1={p-1：p∈P}.對于B?N+，如果|B∩{1，2，…，N}|/N=0，則稱B 為正密度的.定義B 的差集為B-B={b-b′：b、b′∈B}.文獻[1]采用定量的方法證明了，如果B?N+是正密度的，那么（B-B）∩（P-1）=.此后，文獻[2-5]改進或推廣了文獻[1]的估計.目前，文獻[3]得到的界是已知最佳的，文獻[3]得到如下定理1.

定理1[3]設N∈N+，B?N∩[1，N].若（B-B）∩（P-1）=，則有

這里D≥1 和0

設Fq為q 個元的有限域，記Λ?Fq[t]為Fq上的多項式環.記Ω={ω∈Λ：ω 是首1 不可約的多項式}，對于N∈N+，令GN={m∈Λ：deg m

命題設N∈N+，A?GN.設r∈Fq[t]{0}.如果（AA）∩（Ω+r）=，則有

這里C≥1 和0

文獻[6]在命題的條件下得到

本文的主要結果如下：

定理2設N∈N+，A?GN，r∈Fq[t]{0}.如果（AA）∩（Ω+r）=，則有

這里C≥1 和C～>0 為只與q 有關的常數.

1 相關引理

對于N∈N+，記=qN.對于m∈Λ，記|m|=qdegm.對于Λ 中的一個有限集A，|A|表示A 的基數.定義Λ+={m∈Λ：m 是首1 的多項式}.

引理1[6]設N∈N+，r∈Fq{0}，m∈Λ+，A?GN，且則存在N′∈N+，m′∈Λ+，集合A′?GN′，且|A′|=，滿足

這里，0 < κ、c1、c2< 1，C1≥1，C2≥1 為只與q 有關的常數.

構造序列{（Ni，Ai，mi，δi）}i≥0.定義（N0，A0，m0，δ0）=（N，A，1，δ），設j∈N+，假設已定義序列如果下式成立

那么由引理1，存在（Nj，Aj，mj，δj），滿足

如果式（2）不成立，則終止定義（Nj，Aj，mj，δj）.

由δj-δj-1≥c2δ>0 和①可得，因為δj≤1，所以上面的定義過程必終止于有限步.設其終止于第J 步.

則上面的定義過程將進行到第Z+1 步，而Z+1>J，這導致矛盾，從而應有.

由①和②可得

再由③可得

通過計算ln R（x）的導數，可得下面的引理2.

引理2設

則R（x）在（0，ξ）上單調遞減，在（ξ，+∞）上單調遞增，且ξ≤，其中C4≥1 為與q、N 有關的常數.

文獻[6]通過說明

成立，從而確保式（3）是成立的.而對于1 ≤j0

即j=j0+1 時式（2）未必成立.因此，文獻[6]的證明不能確保定義過程進行到第j0+1 步，從而不能保證式（3）有效.

為了確保定義過程進行到第Z 步，需要說明對任意1≤j

對于x≥0，記

這里C5=C2（1+ c1），則|mj|≤Q（j）.由式（4）和式（5）可知，式（6）應修正為

證明使用反證法.假設δ

2 定理2 的證明

當N（只與q 有關）充分大時，有ln R（x）≥ln C1.

從而，當N（只與q 有關）充分大時，有ln R（x0）≥ln C1.證畢.

引理5如果δ≥C2exp（），則當N（只與q有關）充分大時，對于x≥0，有κln R（x）≥ln Q（x）.

證明記

則有

設

必有κ lnR（x）+lnS（x）≥0.當N（只與q 有關）充分大時，式（15）成立.

當N（只與q 有關）充分大時，有

因此，由式（12）—式（14）可知引理結論成立.證畢.

定理2 的證明

由引理4—6 可知，當δ≥C2exp（），N（只與q 有關）充分大時，對于x≥0，有κ lnR（x）-lnQ（x）≥0，ln R（x）≥ln C1，κ ln R（x）+ln S（x）≥0，從而式（7）成立.取C=C2，，則定理得證.

定理2 也可以通過反證法證明.設前述定義給出了一個有限序列，則下面3 個不等式

至少有一個成立，進而得到一個關于δ、N、q 的關系式，從而得到定理2 的結論.具體思路參見文獻[7-9].相比反證法，本文方法利用函數性質可精準確定δ 的范圍，得到最佳結果.