自旋軌道耦合作用的等效磁場(chǎng)

馮玉芳　張瑜瑜

摘 要 自旋與電荷一樣，是電子的固有屬性，電子的周期性軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)與電子的自旋磁矩相互作用，這種磁相互作用就是自旋軌道相互作用。在原子物理學(xué)中，這種自旋軌道作用會(huì)影響原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)，然而教材中缺少自旋軌道耦合作用在二維半導(dǎo)體材料中的微觀描述。本文將引入Rashba和Dresselhaus自旋軌道耦合作用的哈密頓量，研究單電子在無(wú)外場(chǎng)下二維平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，討論一種或者兩種自旋軌道耦合的哈密頓量表示。通過(guò)自旋與等效磁場(chǎng)耦合的塞曼能量表示，本文計(jì)算了本征態(tài)下不同自旋軌道耦合作用下的等效磁場(chǎng)，從而有助于探索二維半導(dǎo)體材料中不同自旋軌道耦合作用下的物理特性。

關(guān)鍵詞 自旋軌道耦合;等效磁場(chǎng);塞曼能量

從施特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)以及烏倫貝克與古茲米特提出電子自旋的假設(shè)，我們知道了自旋是電子的固有屬性，從而能夠解釋原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)以及塞曼效應(yīng)等物理現(xiàn)象。

在原子物理的學(xué)習(xí)中，我們了解到，在單電子原子的能譜中，原子中電子與原子核的靜電相互作用是一項(xiàng)主要的相互作用，正是它決定了譜系的主要特征。同時(shí)，周期性運(yùn)動(dòng)的電子會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，由此產(chǎn)生的磁相互作用則決定了譜系的精細(xì)結(jié)構(gòu)[1]。這種電子自旋與軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互作用，叫做自旋軌道相互作用。一般來(lái)說(shuō)，我們比較熟悉電子和外磁場(chǎng)發(fā)生相互作用，即塞曼效應(yīng)，而說(shuō)到自旋軌道耦合我們卻難以有簡(jiǎn)潔而清晰的認(rèn)識(shí)。從經(jīng)典的角度來(lái)看，作周期運(yùn)動(dòng)的電荷勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生一個(gè)磁場(chǎng)。在學(xué)習(xí)原子物理課程時(shí)，我們知道電子軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)B 與電子的軌道角動(dòng)量有關(guān)（B∝l），且電子具有自旋磁矩μs（μs∝s），因此原子內(nèi)磁場(chǎng)的塞曼能可以表示為

U =-μs·B （1）

可見(jiàn)能量正比于s·l，被稱為“自旋軌道耦合”項(xiàng)[1]。它是電子軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)與自旋磁矩相互作用產(chǎn)生的附加能量，而正是這種磁相互作用引起了譜系的精細(xì)結(jié)構(gòu)。

在原子物理學(xué)教學(xué)中，對(duì)自旋軌道耦合效應(yīng)一般沒(méi)有深入探討，而自旋軌道耦合效應(yīng)是諸多二維半導(dǎo)體材料結(jié)構(gòu)中新奇物理現(xiàn)象產(chǎn)生的重要原因，也是自旋電子學(xué)研究的重要物理問(wèn)題之一，非常值得我們探討學(xué)習(xí)。

在自旋軌道耦合效應(yīng)中，我們可以將自旋軌道相互作用看作是電子自旋與一個(gè)等效磁場(chǎng)之間的磁相互作用，此時(shí)自旋軌道耦合的作用就等同于給電子外加了一個(gè)等效磁場(chǎng)，進(jìn)而我們可以用不同的等效磁場(chǎng)來(lái)表示不同的自旋軌道耦合作用，以便深化理解。

結(jié)合原子物理學(xué)中所描述的有關(guān)自旋軌道耦合效應(yīng)的最簡(jiǎn)單原理，我們將進(jìn)一步介紹半導(dǎo)體材料兩種重要的Rashba和Dresselhaus自旋軌道耦合作用，這兩種不同的作用有助于研究塞曼分裂，共振自旋霍爾效應(yīng)，及自旋進(jìn)動(dòng)等有意義的前沿科學(xué)問(wèn)題[2，3]。本文將分別給出Rashba 和Dresselhaus自旋軌道耦合作用的不同等效磁場(chǎng)，理解自旋軌道耦合及其等效磁場(chǎng)之間的聯(lián)系。

1 自旋軌道耦合介紹

自旋軌道耦合（spin-orbit coupling， SOC）本質(zhì)的特點(diǎn)是，即使在沒(méi)有外部磁場(chǎng)的情況下，電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)也會(huì)受到一個(gè)與動(dòng)量相關(guān)的類似磁場(chǎng)的作用，這個(gè)等效磁場(chǎng)與電子自旋磁矩發(fā)生相互作用。因此，自旋軌道耦合的哈密頓量一般形式表示為

Hsoc ～μBσ·Beff （2）

其中，μB 表示玻爾磁子，σ 表示泡利矩陣，Beff 表示自旋軌道耦合的等效磁場(chǎng)。因此，自旋軌道耦合可理解為一個(gè)自旋磁矩和等效磁場(chǎng)的相互作用。

如果電子以動(dòng)量p 在一個(gè)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其會(huì)感受到一個(gè)等效的磁場(chǎng)Beff ～E ×p/mc2，從而產(chǎn)生依賴動(dòng)量的塞曼能量[4，5]，這部分能量即為自旋軌道耦合能量，此時(shí)哈密頓量應(yīng)采取以下形式

Hsoc ～μB （E ×p）·σ/mc2 （3）

在晶體中電場(chǎng)由晶體勢(shì)的梯度E =-▽V給出。根據(jù)介質(zhì)材料所受力的性質(zhì)和材料結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的不同，我們可以將自旋軌道耦合分為Rashba自旋軌道耦合和Dresselhaus自旋軌道耦合。

1.1 Rashba自旋軌道耦合

1960年，Rashba引入了一種簡(jiǎn)單的自旋軌道耦合形式，而后，Bychkov和Rashba等人將這種自旋軌道耦合形式應(yīng)用到具有結(jié)構(gòu)反演對(duì)稱性破缺的二維電子氣模型中，以解釋二維半導(dǎo)體電子共振自旋霍爾效應(yīng)的特性，這種自旋軌道耦合被稱為Rashba自旋軌道耦合[6，7]。在各種不同的自旋軌道耦合作用形式中，Rashba自旋軌道耦合作用的研究最早開(kāi)始于半導(dǎo)體材料，在半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)處形成的較大電勢(shì)梯度導(dǎo)致了較強(qiáng)的自旋軌道耦合效應(yīng)，并因其強(qiáng)度可由外加電場(chǎng)靈活調(diào)控而備受關(guān)注。

Rashba自旋軌道耦合通常由半導(dǎo)體材料的結(jié)構(gòu)反演對(duì)稱性破缺引起，產(chǎn)生某個(gè)方向的界面電場(chǎng)E =Ez^z。自旋軌道耦合作用的哈密頓量可表示為[5]

HR =（α/ ）（σ×p）·^z （4）

也可以寫作

HR =（α/ ）（pyσx -pxσy ） （5）

其中，α 是Rashba自旋軌道耦合強(qiáng)度，也被稱為Rashba參數(shù)。

1.2 Dresselhaus自旋軌道耦合

1955年，Dresselhaus 注意到在缺乏體反演對(duì)稱性的半導(dǎo)體材料中，例如GaAs 或者InSb，電子的自旋與軌道之間的作用能夠引起半導(dǎo)體的能帶劈裂，由此發(fā)現(xiàn)這種體反演不對(duì)稱引起的自旋軌道耦合效應(yīng)則為Dresselhaus自旋軌道耦合[8]。哈密頓量可以表示如下[5]

HD =（β/ ）（pxσx -pyσy ） （6）

其中，β 是Dresselhaus自旋軌道耦合強(qiáng)度。

2 等效磁場(chǎng)

由于自旋軌道耦合效應(yīng)可以被看作是電子自旋和一個(gè)等效磁場(chǎng)之間的相互作用。由此，對(duì)于不同的Rashba和Dresselhaus自旋軌道耦合可以得出不同的等效磁場(chǎng)，而在一定程度上，等效磁場(chǎng)可以表現(xiàn)對(duì)應(yīng)自旋軌道耦合的特征。

在沒(méi)有外場(chǎng)存在的情況下，我們考慮二維電子氣中的單個(gè)電子運(yùn)動(dòng)，總能量包括動(dòng)能和自旋軌道耦合能量，且x，y 方向的動(dòng)量守恒。單電子的哈密頓量表示為

3 結(jié)語(yǔ)

我們分別介紹了Rashba和Dresselhaus兩種自旋軌道耦合作用，并表示為自旋磁矩和等效磁場(chǎng)耦合的塞曼能量，從而得到一種或者兩種自旋軌道耦合情況下的等效磁場(chǎng)。

本文中，我們通過(guò)解自旋軌道耦合哈密頓量的本征函數(shù)和本征能量，求其本征態(tài)下泡利算符平均值<σ>SOC 來(lái)得出等效磁場(chǎng)的表達(dá)式，且依賴于電子波矢k。此方法可看成將自旋1/2電子類比磁場(chǎng)中的小磁針，以電子受自旋軌道耦合作用的自旋取向表示磁場(chǎng)。通過(guò)本文給出的等效磁場(chǎng)，我們了解到自旋軌道耦合作用相當(dāng)于給電子外加了一個(gè)等效磁場(chǎng)，從而有助于分析半導(dǎo)體材料中不同自旋軌道耦合作用引起的物理現(xiàn)象。

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